1、第二章 有理数 高远1 / 17【中考命题趋势】本章在各地中考题中主要是对有理数有关概念的理解及运算能力的考察，大多数以填空题、选择题的形式命题，有时出现个别判断题型，虽然试题内容相对简单，一般不会出现高难度题，属于中考的送分题，但考察的分值和比例并不多。【知识点归纳】一、有理数的基本概念考点 1负数1 用正负数表示相反意义的量（增加，减少；零上，零下；向前，向后。 。 。 ）定义：在正数前面加“” （读负）的数， （-5，-2.8， ）3.4 不一定是负数，关键看 a 是正数、负数还是 0a负 数 ， 有 理 数数 轴相 反 数概 念 绝 对 值有 理 数 的 大 小 比 较倒 数加 法减
2、法乘 法有 理 数 运 算 除 法乘 方混 合 运 算科 学 记 数 法近 似 数 和 有 效 数 字第二章 有理数 高远2 / 17例题：例 1：设向东行驶为正，则向东行驶 30m 记做 ，向西行驶 20m 记做 ，原地不动记做 ， 5m 表示向 行驶 5m，+16m 表示向 行驶 16m.。例 2：收入2000 元，表示 。考点 2有理数定义：整数： 正整数、零和负整数统称为整数。 .2,10,.自然数：正整数和零。 0,13分数：正分数和负分数统称为分数。4.,.5有 限 小 数小 数 无 限 循 环 小 数无 限 小 数 无 限 不 循 环 小 数有限小数和无限循环小数与分数可以相互转
3、化。【注】 ，以及 的倍数都不是分数。有理数：整数和分数统称为有理数。2 有理数分类 按有理数的定义分类 按正负分类正整数 正整数整数 0 正有理数 有理数 负整数 有理数 正分数正分数 0 负整数分数 负有理数 负分数 负分数3 习惯上将“正有理数和零”称作非负有理数 （即非负数）4 数集：把一些数放在一起就组成了一个数集，简称数集。有理数集，整数集，非负整数集等等。5 【注】0 既不是正数也不是负数， 0 是整数，0 是自然数，0 是非负数，0 是非正数。0 不仅仅表示没有。第二章 有理数 高远3 / 17最小的正整数是 1，最大的负整数是 -1，没有最大、最小的整数，最小的自然数是 0。
4、例题：例 1： ，负数有 个，正数有 个，整数有 76%,520,1,20.,20,- 3 个，正分数有 个，非负整数有 个。例 2：下列说法正确的是：（ ）一个数，如果不是正数，必定就是负数正有理数是正整数和正分数的统称。3 一个有理数不是分数就是正数。 4 整数不是奇数就是偶数。5 0 是最小的有理数。 3.1415926 不是分数 正整数和负整数统称为整数。 奇数是正数 有理数包括整数和分数 0.6 是分数 0 不是正数也不是负数。 0 是自然数，不是整数。 没有最小的有理数。【中考链接】例（2009 绵阳）在电视上看到天气预报中，绵阳王朗国家级自然保护区某天气温为“5 ”表示的意思是
5、。例（2010 广东广州）如果10%表示“增加 10%”，那么 “减少 8%”可以记作（ ）A18% B8% C2% D8%例（2010 安徽）在，这四个数中，既不是正数也不是负数的是（ ）A-1 B. 0 C.1 D.2例（2010 新疆乌鲁木齐）在 这四个数中负整数是（ ）2,1A-2 B0 C D1考点 3数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴2 数轴的三层涵义： 数轴是一条直线，可以向两方无限延伸 数轴的三要素：原点，正方向，单位长度，三者缺一不可 原点的确定，单位长度大小的确定都是根据实际而定的，但一条数轴上的单位长度要统一，一般规定第二章 有理数 高远4 / 17向
6、右为正方向。（3） 数轴的画法 画一条水平的直线；在这条直线上的适当位置取一点作为原点；确定正方向，用箭头表示；选取适当长度作为单位长度，并对应标上数字。（4）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数（5）在数轴上比较有理数的大小 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数。 例题：例 1：写出数轴上 A,B,C,D,E 各点表示的数，并用“”号连接起来。例 2：写出大于 4 而不大于 2 的所有的整数，并在数轴上表示出来。例 3：若数轴上的点 A 向右移动
7、2 个单位长度后，又向左移动 1 个单位长度，此时正好对应8 这个点，那么原来 A 点对应的数是 。例 4：写出两个比2 大的负有理数 。【中考链接】例 1 （2010 吉林）如图，数轴上点 A 所表示的数是_。例（2010 连云港）下面四个数中比2 小的数是（ ）A1 B0 C1 D3例（2010 河北）如图，矩形 ABCD 的顶点 A，B 在数轴上， CD = 6，点 A 对应的数为 ，则点 B 所对应1的数为 BCA 0D例 4不大于 4 的正整数的个数为（ ） 第二章 有理数 高远5 / 17A、2 B、3 C、4 D、54相反数（1） （代数意义）只有符号不同的两个数称互为相反数，如
8、5 与 5 互为相反数。 （几何意义）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（2）互为相反数的性质正数的相反数是负数，负数的相反数是正数 ，0 的相反数是 0互为相反数的两个数和为 0 ，反过来，和为 0 的两个数互为相反数即：a,b 互为相反数 a+b=0，有时也可以表示为 a=-b 或 b=-a（3）相反数的求法：只需在一个数前面加一个“”号，即 。aa的 相 反 数 是在一个数的前面加一个“+”号，表示这个数的本身。（4）多重符号化简 多重符号化简的结果是由“”号的个数决定的。如果“”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负
9、偶正”。（5） 【注】 相反数等于本身的数只有 0，正数的相反数小于它本身，负数的相反数大于它本身。aa的 相 反 数 的 相 反 数 是例题：例 1：下列说法正确的是( )A 一个数比它的相反数小，那么这个数是正数。B 符号相反的两个数互为相反数。C 互为相反数的两个数可能相等。D 一个数的相反数不可能大于它本身。例 2：（1）0.1 与 a 互为相反数，那么 a= 。（2）a-1 的相反数是 。（3）若-x 的相反数是-7.5，则 x= 。（4）如果 m 的相反数是最大的负整数，n 的相反数是-2，那么 m+n= 。例 3：-（-3.5）= -（+8）= 第二章 有理数 高远6 / 17【
10、中考链接】例（2010 江苏淮安）-(-2)的相反数是（ ）A2 B C- D-21212例（2010 浙江金华）如图，若 A 是实数 a 在数轴上对应的点，则关于 a，a ，1 的大小关系表示正确的是（ ）Aa1 a Ba a1 C 1 aa D aa15绝对值（1） （几何意义）在数轴上表示数 a 的点离开原点的距离，叫做数 a 的绝对值。（代数意义）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零 （2）绝对值的求法：去掉绝对值符号，必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。 (0)a()a（3）绝对值性质 一个数的绝对值是一个非负数，
11、0。a【注】绝对值最小的数是 0，绝对值等于本身的数是正数和 0（非负数） ，绝对值等于它的相反数的数是负数和 0（非正数） 。（4）两个相反数的绝对值相等即：若 则 a=b 或 a=-bab例题：例 1：若|a|=2，则 a= 。例 2：到原点 5 个单位长度的点是 。例 3：若|m|=-m,则 m 是 。若|m|=m,则 m 是 。例 4：若|x+2|+|y-3|=0，则 x= ,y= 。例 5：若|a|=4,|b|=3,且 a0 a,b 同号。 ab00ba0ab0a例 6 （2010 广东中山）阅读下列材料：第二章 有理数 高远13 / 17，)2103(12，4，)5(3由以上三个等
12、式相加，可得 .20543121读完以上材料，请你计算下列各题：（1 ） （写出过程） ；1（2 ） = ；)(43n（3 ） = 98752例（2010 重庆江津区）先观察下列等式：1 112 12 123 12 13 134 13 14则计算： _.112 123 134 145 156例 8 （2009 济宁模拟题）计算： 的结果是（ ）3A.9 B.-9 C.1 D.-1考点 6有理数的乘方（1 ）定义：求几个相同因数积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂，a 叫做底数，n 叫做指数。an个n（2 ）有理数乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0
13、 的任何非 0 次幂都是零。【注】单独的一个数字或字母，它的指数是 1，通常省略不写；当底数是分数或负数时，要加上括号。理解 22121nnnaa（ =,3.)特别的，当时，有 （ 12,.第二章 有理数 高远14 / 1723456789104,8,26,324,21,256,5记 忆 ： ， ，例题：例 1：在 中，指数是 ，底数是 ，幂是 。43在 中，指数是 ，底数是 ，幂是 。例 2： ， ， 32323例 3： 表示（ ）5A 5 个-2 相乘 B 5 个 2 相乘的相反数 C 2 个-5 相乘 D 2 个 5 相乘的相反数例 4：|x+5|+(y-2) =0,那么 x= ,y=
14、, 2 yx例 5：一根绳子，第一次减去一半，第二次减去剩下的一半，如果剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为 。例 6： 的末位数字是 。203【中考链接】例（2010 成都） 表示（ ）3x（A） （B） （C） （D）3xxx 3x例（2010 湖北孝感） 的值是（ ）201)(A1 B1 C2010 D2010例（2010 广东深圳）观察下列算式，用你所发现的规律得出 的末位数字是（ ）20121=2，2 2=4，2 3=8，2 4=16，2 5=32，2 6=64，2 7=128，2 8=256，A2 B4 C6 D8例（2008 深圳）若 2230,abab则 的 值 是 （ ）A.0
15、 B.1 C.-1 D.2007例 5 （.125 ） 2005 2005+（1） 2004+（1 ） 2003 的值是（ ）(A) 2 (B) 1 (C) 0 (D)1考点有理数的混合运算第二章 有理数 高远15 / 17（1 ）先算乘方，再算乘除，最后算加减。（2 ）同级运算，按照从左至右的顺序进行。（3 ）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的。例题：例 1：有理数 a 等于它的倒数，有理数 b 等于它的相反数，求 的值。2098a例 2：用 3，-5,7，-13 这四个数，进行加、减、成、除运算，每个数字用一次，使其结果为 24。例 3：3214654考点科学记
16、数法（1 ）定义：一个大于 10 的数记成 的形式。其中 n 是正整数。像这样的记数法叫做科学na10,10a记数法。（2 ） 10 的指数 n 确定方法：等于原数的整数位数减 1；等于小数点向右移动的位数。（3 ）一般的，10 的 n 次幂，在 1 的后面有 n 的 0。例题：例 1：把下列各数用科学记数法表示4879.5= -369000000=例 2：下面是用科学记数法表示的数，则原来的数是什么？ 4 5(1).390(2)5.01例 3：25.8 万用科学记数法表示 。 例 4：光的传播速度是 300000km/s，太阳照射到地球上大约需要 500s，则太阳岛地球的距离用科学记数法可表
17、示为 。【中考链接】例 1 （2010 浙江绍兴）自上海世博会开幕以来 ,中国馆以其独特的造型吸引 了世人的目光.据预测,在会展期间, 参观中国馆的人次数估计可达到 14 900 000,此数用科学记数法表示是( )A. B. C. D.6049.81049.7109.471049.例 2 （2010 辽宁丹东市）在 “2008 北京” 奥运会国家体育场的 “鸟巢” 钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为 帕的钢材，那么 的原数为（ ）8.68.6第二章 有理数 高远16 / 17A4 600 000 B46 000 000 C460 000 000 D4 600 000
18、 000例（2010 安徽芜湖）2010 年芜湖市承接产业转移示范区建设成效明显，一季度完成固定资产投资 238 亿元，用科学记数法可记作（ ）A23810 8 元 B23.810 9 元 C2.3810 10 元 D0.23810 11 元三、近似数和有效数字（1 ）准确数：完全符合实际的数。近似数：和准确数非常接近的数，近似数和准确数接近的程度叫做精确度。（2 ）有效数字：一个近似数，从左边第一个不是 0 的数字起到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。（3 ）近似数的精确度有两种形式：1 ）精确到哪一位，2）保留几个有效数字。（4 ）对于较大的数取近似数时，结果一般要用科学记
19、数法表示，不看幂，只看 a例题：例 1：按要求对下列各题去近似值0.005308 （保留三个有效数字） 0.49996 （精确到 0.001）120000 （保留 2 个有效数字） （保留 3 个有效数字）41096.2738600000（精确到百万位） （精确到百位）5378.98 万（精确到万位）例 2：下列各数均为近似数，分别精确到哪一位，有几个有效数字。0.0280 4.876 5504103 0.028 30 万 48760例 3：近似数 2.30 表示的精确度 的范围是（ ）A2.2952.305 B.2.252.35 C.2.2952.305 D.2.252.35【中考链接】例（2010 山东威海）据统计，截止到 5 月 31 日上海世博会累计入园人数 803.27 万人803.27 万这个数字（保留两位有效数字）用科学记数法表示为 （ ） A8.010 2 B. 8.03102 C. 8.0106 D. 8.03106 例（2010 山东青岛）由四舍五入法得到的近似数 8.8103，下列说法中正确的是（ ） 第二章 有理数 高远17 / 17A精确到十分位，有 2 个有效数字 B精确到个位，有 2 个有效数字 C精确到百位，有 2 个有效数字 D精确到千位，有 4 个有效数字
