1、2.2 椭圆2.2.1 椭圆及其标准方程问题导学一、椭圆的定义活动与探究 1已知命题甲：动点 P 到两定点 A，B 的距离之和|PA|PB |2a，其中 a 为大于 0 的常数；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件迁移与应用1下列说法中正确的是( )A已知 F1(4,0)，F 2(4,0)，到 F1，F 2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆B已知 F1(4,0)，F 2(4,0)，到 F1，F 2 两点的距离之和为 6 的点的轨迹是椭圆C到 F1(4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和等于点 M(5,3
2、)到 F1，F 2 的距离之和的点的轨迹是椭圆D到 F1(4,0)，F 2(4,0)两点距离相等的点的轨迹是椭圆2椭圆 1 上一点 P 到其一个焦点的距离为 3，则 P 到另一焦点的距离为x225 y216_由椭圆的定义可知，点的集合 PM|MF 1|MF 2|2a(其中|F 1F2|2c) 表示的轨迹有三种情况：当 ac 时，轨迹为椭圆；当 ac 时，轨迹为线段 F1F2；当 ac 时，轨迹不存在在利用椭圆的定义判断有关点的轨迹问题时一定要注意所给常数与已知两定点之间距离的大小关系二、椭圆的标准方程活动与探究 2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是( 3,0) ，(3,0
3、) ，椭圆经过点(5,0)；(2)两个焦点坐标分别是(0,5) ，(0 ，5)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 26；(3)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过 A( ，2)和 B(2 ，1)两点3 3迁移与应用1已知椭圆焦点在 x 轴上，且 a4，c2，则椭圆方程为( ) A 1 B 1x216 y24 x216 y212C 1 D 1x24 y212 x212 y242已知椭圆过点 P 和点 Q ，求此椭圆的标准方程(35， 4) ( 45，3)求椭圆标准方程的基本步骤是先定型，后计算所谓定型，就是确定方程的类型，即确定椭圆的焦点所在的坐标轴，从而可设出椭圆的标准方程；计算就是求解 a
4、2 与 b2 的值另外采取设椭圆方程的一般形式的方法，可以避免讨论，当已知椭圆经过的两个点的坐标时常采用这种方法三、焦点三角形活动与探究 3已知 P 为椭圆 1 上一点， F1，F 2 是椭圆的焦点，F 1PF260，求F 1PF2 的面x225 4y275积迁移与应用1椭圆 的焦点为 F1，F 2，点 P 在椭圆上若| PF1|=4，则29xy|PF2|=_，F 1PF2 的大小为_2已知椭圆的方程为 1，椭圆上有一点 P 满足PF 1F290(如图)求PF 1F2 的x24 y23面积1椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1，F 2 构成的F 1PF2 称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角
5、形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识2焦点三角形的周长等于 2a2c答案：课前预习导学【预习导引】1距离的和 焦点 焦距预习交流 1：提示：在椭圆定义中，要求常数应该大于两定点 F1，F 2 之间的距离，这是一个非常重要的条件如果常数等于|F 1F2|，动点的轨迹应是一条线段；如果常数小于| F1F2|，其轨迹将不存在在应用椭圆定义判断动点轨迹时务必注意这一隐含条件2 1 (c, 0)y2a2 x2b2预习交流 2：提示：给出一个椭圆方程 1( 其中 m0 ，n0，m n) ，判断该椭圆焦x2m y2n点所在的坐标轴时，可用如下方法：椭圆的焦点在 x 轴上 mn ；
6、椭圆的焦点在 y 轴上 m n，这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法课堂合作探究【问题导学】活动与探究 1：思路分析：利用椭圆定义，结合充要条件定义作出判断B 解析：若 P 点轨迹是椭圆，则一定有|PA| PB|2a(a0，为常数) 所以甲是乙的必要条件反过来，若|PA|PB|2a(a0，为常数)，当 2a|AB |时，P 点轨迹是椭圆；当 2a|AB |时， P 点轨迹是线段 AB；当 2a| AB|时，P点的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件综上，甲是乙的必要不充分条件迁移与应用：1C 解析：A 中常数 8|F 1F2|，B 中常数 6| F1F2|，所以轨迹都不是椭圆；可计算 C 中常数
7、等于 4 | F1F2|，符合椭圆定义，轨迹是椭圆；D 中点的轨迹应该是一条直10线，故选 C 27 解析：设 F1，F 2 为椭圆的两焦点，且 a225，即 a5又|PF 1|PF 2|2a10，设|PF 1|3|PF 2|7，即 P 到另一焦点的距离为 7活动与探究 2：解：(1)椭圆的焦点在 x 轴上，设其标准方程为 1(ab0)x2a2 y2b22a 10,2c 6，(5 3)2 02 (5 3)2 02a5，c3b 2a 2c 216所求椭圆方程为 1x225 y216(2)焦点在 y 轴上，设其标准方程为 1( ab0)y2a2 x2b22a26,2c10，a13，c5b 2a 2
8、c 2144所求椭圆方程为 1y2169 x2144(3)方法一：当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2依题意，有Error!解得Error!所求椭圆的方程为 1x215 y25当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 1(ab0)y2a2 x2b2依题意，有Error!解得Error!ab，不合题意，所求椭圆的方程为 1x215 y25方法二：设所求椭圆方程为 Ax2By 21(A0，B0 且 AB) ，依题意，得Error!解得Error!所求标准方程为 1x215 y25迁移与应用：1B 解析：依题意 a216，b 2a 2c 216412，又焦点在
9、 x 轴上，所以椭圆方程为 1x216 y2122解：设所求椭圆方程为 Ax2By 21(A0，B0，AB) ，则有Error!解得Error!故此椭圆的标准方程为 x2 1y225活动与探究 3：思路分析：由 |PF1|PF2|sinF 1PF2 可知，只要求得|PF 1|PF2|即12FPS12可，而| F1F2|是已知的，可结合余弦定理求得|PF 1|PF2|解：如图所示，在PF 1F2 中，|F1F2|2|PF 1|2|PF 2|22|PF 1|PF2|cos 60，即 25|PF 1|2|PF 2|2|PF 1|PF2|由椭圆的定义得10|PF 1|PF 2|，即 100|PF 1|
10、2|PF 2|22|PF 1|PF2|由得|PF 1|PF2|25，所以 |PF1|PF2|sin 60 12FPS12 2534迁移与应用：12 120 解析：如题图，|PF 1|PF 2|2a6，|PF 2|6|PF 1|2在F 1PF2 中，cosF 1PF2|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| ，16 4 28242 12F 1PF2120 2解：由已知得 a2，b ，3所以 c 1a2 b2 4 3从而|F 1F2|2c 2在PF 1F2 中，由勾股定理可得|PF2|2|PF 1|2|F 1F2|2，即|PF 2|2|PF 1|24又由椭圆定义知|PF 1|
11、PF 2|224，所以|PF 2|4|PF 1|从而有(4|PF 1|)2| PF1|24解得 |PF1| 32所以PF 1F2 的面积 S |PF1|F1F2| 2 12 12 32 32当堂检测1已知定点 F1，F 2，且|F 1F2|8，动点 P 满足|PF 1|PF 2|8，则动点 P 的轨迹是( )A椭圆 B圆C直线 D线段答案：D 解析：由于|PF 1|PF 2|F 1F2|，所以动点 P 的轨迹不是椭圆，而是线段 F1F22若 P 是以 F1，F 2 为焦点的椭圆 上一点，则三角形 PF1F2 的周长等于( =59xy)A16 B18 C20 D不确定答案：B 解析：依题意 a5
12、，c 4，所以PF 1F2 的周长是2|PF1| PF2|F 1F2|2a2c 108183已知方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是( )2=19xymA9m25 B8m25C16m25 Dm8答案：解析：由于椭圆的焦点在 y 轴上，所以250,9,解得 8m254已知 F1，F 2 为椭圆 的两个焦点，过 F1 的直线交椭圆于 A，B 两点，若2=159x|F2A| F2B|12 ，则|AB |_ 答案：8 解析：由椭圆的定义得|AF1| AF2|2a10，|BF1| BF2|2a10，|AF 1|AF 2|BF 1|BF 2|20又|F 2A|F 2B|12，|AB|AF 1|BF 1|85一个动圆与已知圆 Q1：(x 3)2y 21 外切，与圆 Q2：(x3) 2y 281 内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程答案：解：由已知两定圆的圆心和半径分别为 Q1(3,0)，r 11；Q 2(3,0)，r 29设动圆圆心为 M(x，y) ，半径为 R，如图，则由题设有|MQ 1|1R，|MQ 2|9R，|MQ 1|MQ 2|10|Q 1Q2|6由椭圆定义可知 M 在以 Q1、Q 2 为焦点的椭圆上，且 a5，c 3b 2a 2c 225916故动圆圆心的轨迹方程为 2=6xy提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记
