1、2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理问题导学一、归纳推理及其应用活动与探究 11下面各列数都依照一定规律排列，在括号内填上适当的数(1)1,5,9,13,17，( )；(2) ，1， ， ， ，( )；23438(3)32,31,16,26，( )，( ),4,16,2,112给出下列命题：命题 1：点(1,1)是直线 yx 与双曲线 的一个交点；1yx命题 2：点(2,4)是直线 y2x 与双曲线 的一个交点；8命题 3：点(3,9)是直线 y3x 与双曲线 的一个交点27yx请观察上面命题，猜想出命题 n(n 为正整数)为_迁移与应用1观察下列等式1123493456725456
2、7891049照此规律，第五个等式应为_2已知数列a n，a 11，a n1 (n1,2,3，)2a(1)求 a2，a 3，a 4；(2)归纳猜想a n的通项公式根据给出的数与式，归纳出一般结论的步骤：(1)观察数与式的结构特征，如数、式与符号的关系，代数式的相同或相似之处等；(2)提炼出数、式的变化规律；(3)运用归纳或类比推理写出一般结论二、类比推理及应用活动与探究 21对于等差数列a n，有如下一个真命题：“若 an是等差数列，且 a10，s，t 是互不相等的正整数，则(s1)a t(t1)a s0”类比此命题，对于等比数列 bn，有如下一个真命题：若 bn是等比数列，且 b11，s，t
3、 是互不相等的正整数，则 _2已知ABC 的边长分别为 a，b，c，内切圆半径为 r，用 SABC 表示ABC 的面积，则SABC (abc )类比这一结论有：若三棱锥 A BCD 的内切球半径为 R，则三棱锥体积rVA BCD_ 迁移与应用在平面内，若两个正三角形的边长比为 12，则它们的面积比为 14类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为 12，则它们的体积比为_(1)类比定义：本类型题解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性(2)类比性质( 定理 )：本类型题解决的关键是要理解已知性质(定理) 的内涵及应用环境、使用方法，通过研究已知性质(定理)，刻画新性质(定理)的“面貌”(3)
4、类比方法( 公式 )：本类型题解决的关键在于从解题方法( 或公式) 中，获得使用方法(或公式)的启示或推导方法(或公式)的手段，从而指导解决新问题(4)类比范例：对有些提供范例的推理题，解答时可根据所给的信息与所求问题的相似性，运用类比的方法仿照范例，使问题得到解决答案：课前预习导学【预习导引】1部分对象 全部对象 个别事实 一般结论 类似 已知特征 部分 整体 个别 一般 特殊 特殊预习交流 1 (1)凸 n 边形的内角和是(n2)180(2)夹在两平行平面之间的平行线段相等2(1)已有的事实 观察 分析 比较 联想 归纳 类比 提出猜想预习交流 2 提示：(1)在数学研究中，得到一个新结论
5、之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；(2)证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向；(3)一般来说，合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠课堂合作探究【问题导学】活动与探究 1 (1)21 (2)5 (3)8 21116解析：(1)相邻两项之间相差 4，并且是逐渐变大的，所以应填入的数是 17421(2)把数的结构统一， ，1， ， ， ，会发现后一个数是前一个数的 倍，所以括号23 32 94 278 32中的数是 5 278 32 8116 116(3)分成两列数，奇数位的数：32,16，( ),4,2偶数位的数：31,26，( ),16,11 ，所以
6、括号中的数依次是 8,21活动与探究 2 点(n，n 2)是直线 ynx 与双曲线 y 的一个交点 解析：由已知交点依次n3x写为(1,1 2)，(2,2 2)，(3,3 2)，命题 n 中交点为(n，n 2)，直线中系数依次为 1,2，3，命题 n 中直线的系数为 n双曲线中系数依次为 13,23,33，命题 n 中双曲线的系数为 n3，命题 n 为：点(n，n 2)是直线 ynx 与双曲线 y 的一个交点n3x迁移与应用 1.567891011121381 解析：观察等式左侧：第一行有 1个数是 1，第二行是 3 个连续自然数的和，第一个数是 2，第三行是 5 个连续自然数的和，第一个数是
7、 3，第四行是 7 个连续自然数的和，第一个数是 4，第 5 行应该是连续 9 个自然数的和，第一个数为 5，第 5 行左侧：5678910111213；等式右侧：第一行 11 2，第二行 93 2，第三行 255 2，第四行 497 2，则第 5 行应为 819 2，第五个等式为 5678910111213812解：(1)当 n1 时， a11，由 an1 (n N*)，得 a2 ，an1 2an 13a3 ，a21 2a2 15a4 a31 2a3 17(2)由 a11 ，11a2 ，a 3 ，a 4 ，13 15 17可归纳猜想a n的通项公式为 an (n N*)12n 1活动与探究
8、2 1思路分析：等比数列是等差数列类比的“升级”，利用概念中体现出的四则运算的关系进行类比“加”类比“乘”，“减”类比“除”，“乘”类比“乘方”，“除”类比“开方”1 解析：(s1)与 at，(t1)与 as 是乘法，类比到数列 bn中分别为 ，bs 1tbt 1s 1stb ( s1)a t 与(t1) as 是减法，类比到数列b n中为 又b 11，结论为 1t 1sbs 1tbt 1s bs 1tbt 1s2思路分析：解答本题的关键是确定好类比对象平面中圆类比空间中球，平面中长度类比空间中面积，平面中面积类比空间中体积R(SABC S ACD S BCD S ABD) 解析：内切圆半径
9、r 内切球半径 R，13 类 比三角形的周长：abc 三棱锥各面的面积和：S ABC S ACD S BCD S ABD ， 类 比 三角形面积公式系数 三棱锥体积公式系数 12 类 比13类比得三棱锥体积 R(SABC S ACD S BCD S ABD )ABCDV13(证明时，三角形中的结论可用等面积法，三棱锥中的结论可用等体积法)迁移与应用 18 解析：两个正三角形是相似的三角形，它们的面积之比是相似比的平方同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，它们的体积比为 18当堂检测1“鲁班发明锯子”的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能
10、上是类似的因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的该过程体现了( )A归纳推理 B类比推理C没有推理 D以上说法都不对答案：B 解析：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理2已知数列a n满足 an1 a na n1 (n2)，a 1a，a 2b，设 Sna 1a 2a n，则下列结论正确的是( )Aa 100a，S 1002baBa 100b，S 1002baCa 100b，S 100baDa 100a，S 100ba答案：A 解析：a 1a，a 2b，a 3ba，a 4a 3a 2a，a 5a 4a 3b，a 6a 5
11、a 4ab，a 7a，a 8b，可得数列具有周期性，每连续 6 项为一个周期a 100a 4a，S 100S 42ba3下列类比推理恰当的是( )A把 a(bc )与 loga(xy)类比，则有：log a(xy)log axlog ayB把 a(bc) 与 sin(xy )类比，则有：sin(xy) sin xsin yC把(ab) n 与( ab) n 类比，则有： (ab) na nb nD把 a(bc )与 a(bc )类比，则有：a(bc) abac答案：D 解析：类比推理结论正确的只有 D，选项 A，B，C 可根据公式知是错误的4在ABC 中，D 为 BC 的中点，则 ，将命题类比
12、到四面体中去，1()2ADBC得到一个命题：_答案：在四面体 ABCD 中，G 是BCD 的重心，则 解析：1()3GAD平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线5对于大于 1 的自然数 m 的 n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，记 53 的“分裂”中的最小数为 a，而 52 的“分裂”中最大数为 b，则 ab_答案：30 解析：2 2 的“分裂”是 2 个从 1 开始的连续奇数，32 的“分裂”是 3 个从 1 开始的连续奇数，42 的“分裂”是 4 个从 1 开始的连续奇数，5 2 的“分裂”应为 5 个从 1 开始的连续奇数5 2 的“分裂”为 ，b9又2 3,33,43 的“分裂”依次是从 3 开始的连续奇数，5 3 的“分裂”中第一个数为 21，即 a21，ab30提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记
