1、2.11 指数与指数幂的运算1n 次方根定义 一般地，如果 xna，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1，且 n N*正数的 n 次方根是一个正数n 是奇数负数的 n 次方根是一个负数a 的 n 次方根用符号 表示na正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数正数 a 的正的 n 次方根用符号 表示，负的 nna次方根用符号 表示正的 n 次方根与负的nan 次方根可以合并写成 (a0)nan 是偶数负数没有偶次方根性质及表示0 的任何次方根都是 0，记作 0n0谈重点 对“n 次方根”的理解 “n 次方根”的定义及性质是平方根、立方根定义及性质的推广，根式记号是平方根、立方根记号
2、的推广，可以通过类比进行理解【例 1】已知 m102，则 m 等于( )A B C D010102102解析：m 102，m 是 2 的 10 次方根又10 是偶数，2 的 10 次方根有两个，且互为相反数m 10答案：D2根式定义 式子 叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方na数( )nana性质当 n 为奇数时， a；nan当 n 为偶数时， |a| nan ,0.点技巧 根式的记忆口诀正数开方要分清，根指奇偶大不同，根指为奇根一个，根指为偶双胞生负数只有奇次根，算术方根零或正，正数若求偶次根，符号相反值相同负数开方要慎重，根指为奇才可行，根指为偶无意义，零取方根仍为零【例 21
3、】求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) (5)3()4(2)2(3)解：(1) 5(2) 2(3) 2(4)4 2(3) 32()【例 22】化简：(1) ；3434(1)()(2) (x ，n N*)n解：(1)错解 (1 )(1 )234342错解原因 因为 ，而 1 0，所以 1 4(1)044(正解(1 )3434(12)()2 1 1 (2)x，x0，当 n 为偶数时， |x|x；()nn当 n 为奇数时， x辨误区 的错误应用 (1) 表示 an的 n 次方根，对任意 a R 都有意义，但等式nan a 不一定成立当 n 的值不确定时，应注意分 n 为奇数和偶数两种
4、情况对 n 进行讨论n(2) 与( )n的区别：当 n 为奇数，且 a R 时，有 ( )na；当 n 为偶n数，且 a0 时，有 ( )na3分数指数幂(1)分数指数幂的意义正数的正分数指数幂 (a0，m，n N*，且 n1)mn正数的负分数指数幂(a 0，m，n N*，且 n1)1n0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义谈重点 对分数指数幂的理解 (1)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数；(2)指数幂 不可以理解为 个 a 相乘，它是根式的一种新写法在定义的规定下，根式mnan与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于
5、指数运算，所以分数指数幂与根式可以相互转化；(3)通常规定分数指数幂的底数 a0，但要注意在像 中的 a，则需要 a014()a【例 31】用根式的形式表示下列各式(a0)：， ， ， 54352解： ， ， ， 345351a23321a谈重点 分数指数幂与根式互化的易错点 (1)分不清分子、分母的位置，如 写成 ；nmna(2)负分数指数幂化简时不注意负号的位置，如 或者 mna mna(2)有理数指数幂的运算性质符号表示 文字叙述arasa rs (a0 ，r，s Q)同底数幂相乘，底数不变，指数相加(ar)sa rs(a0，r，s Q) 幂的幂，底数不变，指数相乘(ab)ra rbr(
6、a 0，b0，r Q) 积的幂等于幂的积点技巧 巧记有理数指数幂的运算性质 有理数指数幂在运算中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘【例 32】求值：(1) ；(2) ；438341(3) ；(4) 3223715解：(1) 4443318()6(2) 3 327344(3) 2278(4)23337155 29【例 33】用分数指数幂表示下列各式(a0，b0)：(1) ；(2) ；4a(3) ；(4) 32323()b分析：解决本题的关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性质进行化简解：(1)原式 1173342aa(2)原式 82824(3)
7、原式 3136(4)原式 12217332 62()ababa根式化为分数指数幂的方法 将根式化为分数指数幂的依据是(a0，m，n N*，且 n1)当要变化的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，n由里向外用分数指数幂写出，然后再利用性质进行合并4无理数指数幂(1)一般地，无理数指数幂 a(a0， 是无理数)是一个确定的实数；(2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂，即：a aa (a0， 是无理数) ；(a )a (a0， 是无理数) ；(ab) a b(a0，b0， 是无理数) 【例 4】求值：(1) ；2213 38(2) 2 5 解：(1)原式22132 3()() 2 382
8、 3 (2)原式 5 22 1272135指数幂(根式)的化简与计算化简、计算指数幂(根式)时，应注意以下几点：(1)运算顺序：先进行幂的运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算，有括号的先算括号内的(2)如果指数是小数，那么通常化为分数指数，这样可以随时检验运算的正确性，是常用的化简技巧比如，(3) 2.1 ，由于(3) 21 是一个负数，所以( 3) 2.1 无意义，210(3)10( 3)21这说明化简中出现了错误(3)将其中的根式化为分数指数幂，利用指数幂的运算性质进行计算比如，化简 a ，如a果不将根式 化为指数幂，就很难完成化简：a a a a1232a(4)计算或化简的结果尽量最简
9、，对于根式计算结果，并不强求统一的表示形式，一般用分数指数幂的形式来表示如果有特殊要求，则按要求给出结果，但结果中不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形式综上所述：进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序【例 51】计算下列各式：(1) 2 2 (0.01) 0.5；03124(2) (0.1) 2 3 0 ；0.57937748(3) 16 0.75 13(.64)083()12|.0|解：(1)原式1 1122469015(2)原式 1001235679370.4848(3)原式0.4 1 1( 2
10、) 4 2 3 0.1 16【例 52】化简：(1) (a0，b0)；(2) (ab0)；5334b 1ab(3) (ab0，且 a8b) 11332238)解：(1)原式 11552 0424ab(2)原式 ab1(3)原式 a133212(8)4bab6条件求值问题利用指数幂的运算性质解决带有附加条件的求值问题，一般有三种思路：(1)将条件用结论表示，直接解出结论；(2)有些时候，直接代入求值不方便，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，常用整体代入法来求值要求同学们熟练掌握平方差、立方和(差)以及完全平方公式，如 ab，ab 等等，运用这些公式的变形，可快1212333()ab1122(
11、)()ab速巧妙求解(3)有时适当地选用换元法，能使公式的使用更清晰，过程更简洁所以在解题时要先审题，比较各种思路的优劣，然后再动手做题，养成良好的思维习惯例如：已知 2x 2x a(常数)，求 8x8 x 的值解：(方法一)8 x8 x 2 3x2 3x (2 x)3(2 x )3(2 x2 x )(2x)22 x2x (2 x )2(2 x2 x )(2x2 x)232 x2x (2 x2 x )(2x2 x )23 a(a 23) a33a(方法二) 令 2xt，则 2x t 1 ，所以 tt 1 a，两边平方整理得 t2t 2 a 22，则8x8 x t 3t 3(tt 1 )(t2
12、tt1 t 2 )a 33a【例 6】(1)已知 ， ，求 的值；yyx(2)已知 a，b 是方程 x26x4 0 的两根，且 ab0，求 的值ab解：(1) ，22()()4yyxyxx将 ， 代入，12x3得原式146 1283(2)a，b 是方程 x26x4 0 的根，由根与系数关系得 ,.ab又ab0， ，2624105ab 15析规律 条件求值问题的处理方法 对于条件求值问题，常采用“整体代换”或“求值后代换”的方法求解要注意运用恰当的变形，如分解因式等用乘法公式时，还要注意开方时正负号的选取，如本题第(2)小题7二次根式与完全平方公式的综合问题由于乘方和开方互为逆运算，则完全平方公式(m n)2m 22mnn 2 与二次根式的关系也是互逆运算在化简 时，可设Error!解得 x，y ，则akb |x y|akb x22xy y2 (xy)2因此，只要把 ak 凑成完全平方公式的形式，利用 | c|即可完成化简b c2【例 7】化简 _526解析：原式 2(3)(3) | 23答案：点技巧 ak 的处理有技巧 将 ak 化为 a2 的形式，然后观察求出满足( )2(b b c d c)2a 的 c，d 的值，则 ak ( )2例如本题中的 52 52 ，则 52 (d b c d 6 2 3 6 )22 3
