1、2.4 函数与方程1函数的零点(1)概念一般地，如果函数 yf( x)在实数 处的值等于零，即 f()0，则 叫做这个函数的零点谈重点 对函数零点定义的理解(1)函数的零点可以理解为一个函数的图象与 x 轴的交点的横坐标(2)并不是所有的函数都有零点，如函数 yx 24，y3，y3x 21 等都没有零点(2)意义方程 f(x)0 有实数根 函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点 函数 yf(x )有零点求函数的零点就是求相应的方程的根，函数 f(x)的零点就是方程 f(x)0 的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程 f(x)0 是否有实数根，有几个实数根(3)二次函数 ya
2、x 2bxc( a0)的零点与相应的一元二次方程的根 b24ac 0 0 0ax2 bxc0(a0) x1 ， b 2ax2 b 2a x1x 2b2a方程无实根yax 2bxc (a0)的图象零点个数 2 个 1 个二重零点 0 个 b24ac 0 0 0与 x 轴的交点 (x1,0)，( x2,0) (x1,0)(或( x2,0) 无例 11】函数 f(x)x 4x 的零点是( )A0 B0,1C0,1，1 D无穷多个解析：函数 yf( x)的零点就是方程 f(x)0 的实数解，由 x4x 0，得 x(x31)0，故x0 或 x1.因此，函数 f(x)x 4x 有 2 个零点，分别是 0,
3、1.答案：B点技巧 函数零点与方程解的关系求函数 f(x)的零点时，可考虑解方程 f(x)0，方程 f(x)0 的解就是函数 f(x)的零点方程f(x) 0 有解则函数有零点方程 f(x)0 无解则函数无零点【例 12】已知函数 f(x)x 22xa 没有零点，则实数 a 的取值范围是( )Aa1 Ba1Ca1 Da1解析：由函数的零点与方程的解的关系可知，若函数 f(x)x 22x a 没有零点，则方程x22x a0 没有实数解，即 44a0，所以 a1.答案：B2零点存在性的判断方法(1)如果函数 yf(x )在一个区间a，b上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即 f(a)f
4、(b)0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点 x0( a，b)，使 f(x0)0.(2)若函数 f(x)的图象通过零点时穿过 x 轴，则这样的零点为变号零点；(3)若函数 f(x)的图象通过零点时没有穿过 x 轴，则这样的零点为不变号零点(4)二次函数零点的性质当函数的图象通过零点且穿过 x 轴时，函数值变号；相邻两个零点之间的所有函数值保持同号谈重点 如何理解零点的判断方法1当函数 yf( x)同时满足：函数的图象在闭区间a，b上是不间断的；f(a)f(b) 0 时，才能判定函数 yf( x)在区间( a，b)内至少有一个零点，即相应的方程 f(x)0 在区间(a，b) 内至少
5、有一个实数解，这两个条件缺一不可，也就是说，当函数 yf(x )的图象在闭区间 a，b上是间断的，或不满足 f(a)f(b)0 时，函数 yf(x)在区间a，b内可能存在零点，也可能不存在零点，相应的方程 f(x)0 在区间 (a，b)内可能有实数解，也可能没有实数解例如，二次函数f(x) x22x3 在区间2,4上图象是不间断的，而 f(2)f (4)0，但是函数 f(x)x 22x 3 在区间 2,4内有两个零点1 和 3，相应的方程 x22x 3 0 有两个实数解 x1 或 x3；又如，分段函数 f(x)Error! 在区间 1,1上有 f(1)f(1)(4)20，但是其图象在区间1,1
6、上是间断的，函数 f(x)在区间( 1,1)内无零点在这里所说的“不间断的” 是相对于某个区间而言，当 f(a)f(b)0 时，只要函数 f(x)在 a，b上的图象是不间断的，则函数在(a，b)内就存在实数解也就是说，“不间断的” 只要在区间a，b上满足即可2函数零点的判断方法指出了函数零点和相应方程实数解的存在，并不能判断具体有多少个零点，多少个实数解【例 21】函数 f(x)x 32x 23x6 在区间2,4上的零点必在的区间是( )A2,1 B 54，C D74， 72，解析：由于 f(2)0，f(4) 0，f(1)0，2f， ，145=2ff5172=04ff所以零点在区间 内7,4答
7、案：D【例 22】已知函数 f(x)x 3，则 f(x)0 在区间(1,3)内( )1A恰有一个解 B恰有两个解C至少有一个解 D无解解析：因为 f(x)x 3 的图象在区间1,3上是连续不间断的，且在1,3上是递增的，f(1)f(3)( 1) 0 ，所以 f(x)x 3 在区间 (1,3)内恰有一个零点，即 f(x)0 在11区间(1,3)内恰有一个实数解答案：A点技巧 单调性与函数零点的关系函数在区间a，b上的图象是不间断的曲线，且在区间(a，b) 上单调，若 f(a)f(b)0，则函数 yf( x)在( a， b)上有且只有一个零点，方程 f(x)0 在( a，b) 上有且只有一个实数解
8、【例 23】求函数 f(x)x 3x 的零点，并画出它的图象分析：解方程 f(x)0，求零点若方程是高次，一般考虑利用因式分解解：f(x)x 3xx( x21)x (x1)(x 1)，令 f(x)0，即 x(x1)(x1) 0，解得已知函数的零点为1,0，1.这三个零点把 x 轴分成 4 个区间：(，1，( 1,0，(0,1，(1， )在这四个区间内，取 x 的一些值( 包括零点)列出这个函数的对应值表：x 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 y 1.875 0 0.375 0 0.375 0 1.875 在直角坐标系内描点作图，这个函数的图象如下图所示点技巧 函数零点与函数的性质、图
9、象间的关系利用函数的零点，可研究函数的性质，并能较准确地画出函数的图象事实上，由于该函数是奇函数，可只作出当 x0 时的部分图象，再利用对称性画出另一部分的图象即可3求函数零点近似解的一种计算方法二分法(1)二分法对于在区间a，b上连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 yf(x) ，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)“二分法”求函数零点的一般步骤已知函数 yf( x)定义在区间 D 上，求它在 D 上的一个变号零点 x0 的近似值 x，使它满足给定的精确度用二分法求函数零点的一般步骤：在 D 内取一个闭区
10、间a 0，b 0D，使 f(a0)与 f(b0)异号，即 f(a0)f(b0)0，零点位于区间a0，b 0中取区间a 0，b 0的中点，则此中点对应的坐标为 x0 (a0 b0)12计算 f(x0)和 f(a0)，并判断：如果 f(x0)0，则 x0 就是 f(x)的零点，计算终止；如果 f(a0)f(x0)0，则零点位于区间a 0，x 0中，令 a1a 0，b 1x 0；如果 f(a0)f(x0)0，则零点位于区间x 0，b 0中，令 a1x 0，b 1b 0.取区间a 1，b 1的中点，则此中点对应的坐标为 x1 (a1 b1)12计算 f(x1)和 f(a1)，并判断：如果 f(x1)0
11、，则 x1 就是 f(x)的零点，计算终止；如果 f(a1)f(x1)0，则零点位于区间a 1，x 1上，令 a2a 1，b 2x 1；如果 f(a1)f(x1)0，则零点位于区间x 1，b 1上，令 a2x 1，b 2b 1.继续实施上述步骤，直到区间a n，b n，函数的零点总位于区间a n，b n上，当区间长度bna n不大于给定的精确度时，这个区间a n，b n中的任何一个数都可以作为函数 yf(x )的近似零点，计算终止谈重点 对二分法的进一步理解(1)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合(2)初始区间 a， b决定了求哪一个零点，初始区间
12、 a，b的长度 ba 关系着解题过程的繁琐程度区间越短，求解过程越简短(3)二分法常用来求函数指定区间上的某一个零点，不便于求解其所有零点【例 3】求方程 x5x 33x 230 的无理根(精确到 0.01)分析：求方程的无理根问题可以通过因式分解，发现其有理根，然后转化为求另一个方程的无理根问题方程 x5x 33 x230 的无理根是 x33 0 的根，只需求出 g(x)x 33 的零点即可解：令 f(x)x 5x 33x 23，则 f(x)(x 21)(x 33)，显然无理根就是 x330 的根令 g(x)x 33，以下用二分法求函数 g(x)的零点由于 g(1)20，g(2) 50，故可
13、取1,2 作为计算的初始区间，列表如下：端点或中点横坐标 端点或中点的函数值 定区间a01，b 02 g(1.5)0.3750 1,1.51.25 g(1.25)1.0470 1.25,1.51.375 g(1.375)0.400 40 1.375,1.51.437 5 g(1.437 5)0.029 50 1.437 5,1.51.468 75 g(1.468 75)0.168 40 1.437 5,1.468 751.453 125 g(1.453 125)0.068 40 1.437 5,1.453 1251.445 312 5 g(1.445 312 5)0.019 20 1.437
14、5，1.445 312 5由于 1.445 312 51.437 50.007 812 50.01，因此可取 1.44 作为原方程的无理根析规律 利用二分法求方程近似解的步骤(1)构造函数，转化为求函数的零点；(2)明确精确度和函数的零点所在的区间(通常区间的左右端点相差 )；(3) 利用二分法求函数的零点；(4)归纳结论4一元二次方程根的分布问题关于 x 的一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根的分布问题，通常借助于二次函数 f(x)ax 2bxc( a0)的图象来解决，利用函数思想研究一元二次方程根的分布问题体现了数形结合的思想，一般要考虑四个因素：(1)二次项的系数；(2)判别式；(3
15、)对称轴；(4)区间端点的取值，通过列出满足条件的不等式(组)来解决我们知道函数 yf( x)的零点就是方程 f(x)0 的根函数的零点把函数和方程紧密地联系在一起，函数的零点是函数的一个重要特性，在分析解题思路、探求解题方法中发挥着重要作用，有些看似复杂的问题，借助零点都能迎刃而解【例 4】已知关于 x 的方程 3x25x a0 的两根 x1，x 2 满足 x1( 2,0)，x 2(1,3) ，求实数 a 的取值范围解：关于 x 的方程 3x25xa0 的两根 x1，x 2 满足 x1( 2,0)，x 2(1,3) ，函数 f(x)3x 25x a 有两个零点 x1，x 2，且 x1(2,0
16、)，x 2(1,3)由二次函数 f(x)3x 25x a 的图象可得(2)0,1,(3)ff即4()0,0,35271,a解得12a0.实数 a 的取值范围是(12,0).5二分法的实际应用二分法在实际生活中有着非常广泛的应用，它不仅可用于查找线路、水管、气管故障，还可用于实验设计、资料查询、辨别真伪等体会理解二分法的思想是本节的重点，也是高考的要求其基本思想是通过“取中点”的方法即每次“一分为二”地逐步缩小研究的范围，使问题得到解决【例 5】在 26 枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量轻一点) ，现在只有一台天平，请问：你最多称_次就可以发现这枚假币解析：将 26 枚金币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那 13 枚金币里面，将这 13 枚金币拿出 1 枚，将剩下的 12 枚平均分成两份，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那 6 枚金币里面；将这 6 枚平均分成两份，则假币一定在轻的那 3 枚金币里面；将这 3 枚金币任拿出 2 枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则轻的那一枚即是假币综上可知，最多称 4 次就可以发现这枚假币答案：4
