1、2.1.1 椭圆及其标准方程问题导学一、椭圆的定义及应用活动与探究 1(1)椭圆 1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5，则 P 到另一个焦点的距离为( )x225 y29A5 B6 C4 D10(2)已知 F1，F 2 是椭圆 1 的两焦点，过点 F2 的直线交椭圆于 A，B 两点，在x216 y29AF1B 中，若有两边之和是 10，则第三边的长度为_迁移与应用设 F1，F 2 分别是椭圆 E：x 2 1(0b1)的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与 E 相交于y2b2A，B 两点，且 |AF2|，| AB|，| BF2|成等差数列，则|AB |_椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简
2、化解题过程因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1，F 2 构成的F 1PF2 称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识，对于求焦点三角形的面积，若已知F 1PF2，可利用 S absin C 把| PF1|PF2|看成一个整体，运用公式12|PF1|2| PF2|2(|PF 1| PF2|)2 2|PF1|PF2|及余弦定理求出| PF1|PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量二、椭圆的标准方程及应用活动与探究 2求适合下列条件的椭圆的标准方
3、程：(1)两个焦点的坐标分别为 F1( 4,0)，F 2(4,0)，并且椭圆上一点 P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点分别为(0，2)，(0,2) ，经过点 (4,3 )；2(3)经过两点(2 ， )， 2 ( 1，142)迁移与应用1若方程 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是_x25 k y2k 32两焦点坐标分别为(3,0)和( 3,0)且经过点(5,0) 的椭圆的标准方程为 _(1)利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤可总结如下：由焦点坐标确定方程是 1( ab0)，还是 1(ab0)；运用定义、平方关系等求出 a，bx2a2 y2b2 y2a2 x2b2(2)
4、当焦点不确定时，可设方程为 Ax2By 21(A0，B0，且 AB) ，这样可以避免讨论三、焦点三角形问题活动与探究 3如图所示，已知椭圆的方程为 1，若点 P 在第二象限，且PF 1F2120 ，求x24 y23PF1F2 的面积迁移与应用已知 P 是椭圆 1 上一点， F1，F 2 是椭圆的两个焦点，F 1PF260，求F 1PF2 的x225 y29面积四、与椭圆有关的轨迹问题活动与探究 4(1)已知圆 x2y 29，从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作垂线段 PP，点 M 在 PP上，并且2 ，求点 M 的轨迹PM MP (2)已知在ABC 中，| BC|6，周长为 16，那么顶点 A
5、 在怎样的曲线上运动？迁移与应用如图，在圆 C：(x1) 2y 225 内有一点 A(1,0)，Q 为圆 C 上一点，AQ 的垂直平分线与C，Q 的连线交于点 M，求点 M 的轨迹方程解决与椭圆有关的轨迹问题，一般有两种方法：(1)定义法用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可(2)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法用相关点法求轨迹方程的步骤：设所求轨迹上的动点 P(x，y)，再设具
6、有某种运动规律 f(x，y) 0 上的动点 Q(x，y )；找出 P，Q 之间坐标的关系，并表示为Error!将 x，y代入 f(x，y)0, 即得所求轨迹方程答案：课前预习导学【预习导引】1距离之和 常数 两个定点 两焦点间的距离|MF1|MF 2|2a预习交流 1 (1)提示：当 2a|F 1F2|时，点 M 的轨迹是线段 F1F2；当 2a|F 1F2|时，点 M的轨迹不存在(2)提示：B2 1(ab0) 1(ab0) F 1(c,0)，F 2(c,0) F 1(0，c)，F 2(0，c) x2a2 y2b2 y2a2 x2b2a2b 2c 2预习交流 2 (1)提示：相同点：它们都有
7、ab0，a 2b 2c 2，焦距都是 2c，椭圆上的点到两焦点距离的和均为 2a方程右边为 1，左边是两个非负分式的和，并且分母不相等不同点：两类椭圆的焦点位置不同，即焦点所在坐标轴不同，因此焦点坐标也不相同，焦点在 x 轴上的椭圆两焦点坐标分别为(c, 0)和(c,0)，焦点在 y 轴上的椭圆两焦点坐标分别为(0，c )和(0，c )当椭圆焦点在 x 轴上时，含 x2 项的分母大；当椭圆焦点在 y 轴上时，含 y2 项的分母大(2)提示：5 3 4 (4,0) ，(4,0)课堂合作探究【问题导学】活动与探究 1 (1)思路分析： 求 出 a|PF1| |PF2|2a|F1F2| 求 出 P到
8、 另 一个 焦 点 的 距 离A 解析：点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a10,10 55(2)思路分析：结合图形，利用定义求第三边6 解析：由已知 a216，a4从而由椭圆定义得|AF 1|AF 2|2a8，|BF 1|BF 2|2a8，AF 1B 的周长为| AF1|AB|BF 1|16又知三角形有两边之和为 10，第三边的长度为 6迁移与应用 解析：由椭圆定义知|AF 2| AB|BF 2|4，43又 2|AB|AF 2|BF 2|，所以|AB| 43活动与探究 2 思路分析：(1)由已知可得 a，c 的值，由 b2 a2c 2 可求出 b，再根据焦点位置写出椭圆的方程(2)利用
9、两点间的距离公式求出 2a，再写方程；也可用待定系数法(3)利用待定系数法，但需讨论焦点的位置也可利用椭圆的一般方程Ax2 By21( A 0，B0，AB)直接求 A，B 得方程解：(1)由题意可知椭圆的焦点在 x 轴上，且 c4，2a10，所以 a5，b 3a2 c2 25 16所以椭圆的标准方程为 1x225 y29(2)(方法一 )因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以可设它的标准方程为 1(ab0)y2a2 x2b2由椭圆的定义知 2a 12，4 02 32 22 4 02 32 22所以 a6又 c2，所以 b 4 a2 c2 2所以椭圆的标准方程为 1y236 x232(方法二) 因为椭
10、圆的焦点在 y 轴上，所以可设其标准方程为 1(ab0)y2a2 x2b2由题意得Error!解得Error!所以椭圆的标准方程为 1y236 x232(3)(方法一 )若椭圆的焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为 1(ab0)x2a2 y2b2由已知条件得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为 1x28 y24同理可得：焦点在 y 轴上的椭圆不存在综上，所求椭圆的标准方程为 1x28 y24(方法二) 设椭圆的一般方程为 Ax2By 21(A0，B0，A B)将两点(2， )， 代入，2 ( 1，142)得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为 1x28 y24迁
11、移与应用1(3,4) 解析：由已知得Error!解得 3k 42 1 解析：易知 c3，a5，则 b2a 2c 216x225 y216又椭圆的焦点在 x 轴上，所求椭圆的方程为 1x225 y216活动与探究 3 思路分析：由余弦定理和椭圆定义分别建立|PF 1|，| PF2|的方程，求出|PF1|，| PF2|后，再求PF 1F2 的面积解：由已知 a2，b ，3所以 c 1，|F 1F2|2c2，a2 b2 4 3在PF 1F2 中，由余弦定理，得|PF 2|2|PF 1|2|F 1F2|22|PF 1|F1F2|cos 120，即|PF 2|2|PF 1|242|PF 1|，由椭圆定义
12、，得|PF 1|PF 2|4，即|PF 2|4|PF 1|，将代入解得|PF 1| 65 |PF1|F1F2|sin 12012PFS12 2 ，12 65 32 335即PF 1F2 的面积是 353迁移与应用 解：在椭圆 1 中，x225 y29a5，b3，c4，则|F 1F2|8，|PF 1|PF 2|10由余弦定理，得|PF 1|2|PF 2|22|PF 1|PF2|cos 6064 2得|PF1|PF2|12S |PF1|PF2|sin 60 12 3 12 12 32 3活动与探究 4 (1)思路分析：先设出 M 的坐标(x ，y)，用 x，y 表示出点 P 的坐标代入圆方程即可解
13、：设点 M 的坐标为(x ，y) ，点 P 的坐标为(x 0，y 0)，则 x0x，y 03 y因为 P(x0，y 0)在圆 x2y 29 上，所以 x y 920 20将 x0x，y 03 y 代入圆方程，得 x29y 29即 y 21x29又 y0，所以点 M 的轨迹是一个椭圆，且除去(3,0)和(3,0) 两点(2)思路分析：利用椭圆的定义解决，最后要注意检验解：由|AB |BC|AC| 16，|BC|6，可得|AB|AC| 106| BC|，故顶点 A 在以 B，C 为焦点，到两焦点距离的和等于 10 的一个椭圆上运动，且除去 BC 直线与椭圆的两个交点迁移与应用解：由题意知 M 在线
14、段 CQ 上，从而有|CQ|MQ|MC|又 M 在 AQ 的垂直平分线上，连接 AM，则|MA | MQ|，|MA |MC|CQ| 5|AC|2M 的轨迹是以 C(1,0)，A (1,0)为焦点的椭圆，且 2a5，a ，c1，b 2a 2c 2 52 214M 的轨迹方程为 1，即 1x2254y2214 4x225 4y221当堂检测1设 P 是椭圆 上的点，若 F1，F 2 是椭圆的两个焦点，则| PF1|PF 2|等于( 2=6xy)A4 B5 C8 D10答案：D 解析：由椭圆定义知|PF 1| PF2|2aa 225，2a10|PF 1|PF 2|102椭圆 的焦点坐标为( )=67
15、xyA(4,0)和(4,0) B(0， )和(0， )7C(3,0)和(3,0) D(0，9) 和(0,9)答案：C 解析：由已知椭圆的焦点在 x 轴上，且 a216，b 27，c 29，c3椭圆的焦点坐标为(3,0)和(3,0)3已知椭圆的焦点是 F1，F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长 F1P 到 Q，使得|PQ| PF2|，那么动点 Q 的轨迹是 ( )A圆 B椭圆 C抛物线 D无法确定答案：A 解析：由题意得|PF 1| PF2|2a(a 为大于零的常数，且 2a|F 1F2|)，|PQ| PF2|，|PF 1|PF 2|PF 1|PQ|2 a，即|F 1Q|2a动点 Q 到定点
16、 F1 的距离等于定长 2a，故动点 Q 的轨迹是圆4已知 P 是椭圆 上一点，F 1，F 2 为焦点，且F 1PF290，则PF 1F2 的面2=516xy积是_答案：16 解析：由椭圆定义知：|PF 1| PF2|2a10，又F 1PF290，|PF 1|2|PF 2|2|F 1F2|24c 236 2得|PF 1|PF2|32S |PF1|PF2|165已知椭圆 上一点 M 到左焦点 F1 的距离为 6，N 是 MF1 的中点，则=9xy|ON|_答案：2 解析：设右焦点为 F2，连接 F2M，O 为 F1F2 的中点，N 是 MF1 的中点，|ON | |MF2|又|MF 1|MF 2|2a10，|MF 1|6，|MF 2|4，|ON|2提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记
