1、安徽高中数学 http:/ 第 1 页 共 16 页2010 年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学试题命题单位：常州市教育教研室 20103参考公式： 样本数据 ， 的方差 ，其中 = 12x,nx221()niisxx1ni一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1 函数 的最小正周期为 ()2sin(31)fxx(R2 若 （ ， 是虚数单位） ，则 +aba,i iab3 某地区在连续 7 天中，新增某种流感的数据分别为 4，2，1，0，0，0，0，则这组数据的方差 = 2s4 已知两个单位向量 , 的夹角为 ，若向量 ，
2、，则 = 1e2012ae14beab5 已知集合 ，若从 A 中任取一个元素 x，则恰有 的概,345,6nAx cos0x率为 6 在平面直角坐标系 中，已知双曲线 ： （ ）的一条渐近线与直线 ：xOyC21xya0al垂直，则实数 210xya7 设 为不重合的两条直线， 为不重合的两个平面，给出下列命题：,ab,（1）若 且 ，则 ；（2）若 且 ，则 ；babab注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题） 本卷满分160 分，考试时间为 120 分钟考试结束后，请将答题
3、卡交回2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚4. 如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔安徽高中数学 http:/ 第 2 页 共 16 页（3）若 且 ，则 ；（4）若 且 ，则 aa上面命题中，所有真命题的序号是 8 若等差数列 的公差为 ，前 项的和为 ，则数列 为等差数列，公差为 类似
4、nadnnSnS2d地，若各项均为正数的等比数列 的公比为 ，前 项的积为 ，则数列 为等比bqnTnT数列，公比为 9 已知集合 ，设函数 （ ）的值域为 ，若 ，20Axx,R 2xfa()ABA则实数 的取值范围是 a10已知 是等差数列，设n 12|nnTa某学生设计了一个求 的部分算法流程图()N（如图） ，图中空白处理框中是用 n 的表达式对 赋值，nT则空白处理框中应填入： nT11已知函数 ，正实数 m，n 满足 ，且2()logfx，若 在区间 上的最大值为 2，()fmnf2,则 12若不等式 对于任意正实数 x，y 总成立的210843 kxy必要不充分条件是 ，则正整数
5、 m 只能取 ,m 13在平面直角坐标系 中，设直线 ： 与圆 ： 相交于 A、B 两点，xOyl10kxyC24xy以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OAMB，若点 M 在圆 上，则实数 k= 14若函数 （ ）的最大值是正整数 ，则 = ()132ft二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分 14 分)在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ， 4cos5Abc（1）求 的值；sin（2）求 的值；()（3）若ABC 的面积 ，求 a 的值3sin2SBC （第 10 题图）结
6、束 开始输入 n n5 Tnn 29n 输出 Tn Y N 安徽高中数学 http:/ 第 3 页 共 16 页安徽高中数学 http:/ 第 4 页 共 16 页16(本小题满分 14 分)如图，在四棱锥 中，PABCD AB ， ， ， ， ，DC2ABDCE为 的中点P求证：（1） 平面 ；AEPB（2） 平面 C17 （本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 C：xOy（ ）的左焦点为 ，右顶点为 A，21xyab0aF动点 M 为右准线上一点（异于右准线与 轴的交点） ，x设线段 交椭圆 C 于点 P，已知椭圆 C 的离心率为 ，F23点 M 的横坐标为 92（1）求
7、椭圆 C 的标准方程；（2）设直线 PA 的斜率为 ，直线 MA 的斜率为 ，求 的取值范围1k2k1218(本小题满分 16 分) 如图，ABCD 是正方形空地，边长为 30m，电源在点 P 处，点 P 到边 AD，AB 距离分别为m， m某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕 ，93 MNEF线段 MN 必须过点 P，端点:16:9MNEM，N 分别在边 AD，AB 上，设 AN=x（m） ，液晶广告屏幕 MNEF 的面积为 S(m2)(1) 用 x 的代数式表示 AM；（2）求 S 关于 x 的函数关系式及该函数的定义域；（3）当 x 取何值时，液晶广告屏幕 MNEF 的面积
8、S 最小？M A P F O xy （第 17 题图）D CB AE P（第 16 题图）目N M PF E D CBA （第 18 题图）安徽高中数学 http:/ 第 5 页 共 16 页19(本小题满分 16 分)已知等比数列 的公比为 ，首项为 ，其前 项的和为 数列 的前 项的naq1annS2na和为 ， 数列 的前 项的和为 nA1()nB（1）若 ， ，求 的通项公式；252Bna（2）当 为奇数时，比较 与 的大小；SA当 为偶数时，若 ，问是否存在常数 （与 n 无关） ，使得等式n1q恒成立，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由()0nnBSA20(本小题满分 16 分
9、)已知函数 （ ，实数 ， 为常数） 2(lnfxmx0mn（1）若 （ ） ，且函数 在 上的最小值为 0，求 的值；30n()f1,)xm（2）若对于任意的实数 ， ，函数 在区间 上总是减函数，对每个1,2aba(f(,)ab给定的 n，求 的最大值 h(n)m安徽高中数学 http:/ 第 6 页 共 16 页2010 年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学（附加题） 命题单位：常州市教育教研室 20103注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷只有解答题，供理工方向考生使用本试卷第 21 题有 4 个小题供选做，每位考生在 4个选做题中选答 2 题，3
10、题或 4 题均答的按选做题中的前 2 题计分第 22、23 题为必答题每小题 10 分，共 40 分考试用时 30 分钟2答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考 试号填写在试卷及答题卡的规定位置3请在答题卡上按照顺序在对应 的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必 须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚本卷考试结束后，上交答 题卡4如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚， 线条、符号等须加黑、加粗5请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔 21 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共计 20 分请在答
11、题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲如图，在梯形 中， BC ，点 ， 分别在边ABEF， 上，设 与 相交于点 ，若 ， ， ，BCDEFGBC四点共圆，求证： EDB选修 42：矩阵与变换 已知矩阵 = ，求 的特征值 ， 及对应的A31012特征向量 12, G F E DCB A（第 21A 题图） 安徽高中数学 http:/ 第 7 页 共 16 页C选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 的方程 ，设 ， 为参数，求曲线 的参数方程23yxytxCD选修 45：不等式选讲设实数 满足 ，求 的最小值，并求此时 的值,xyz26yz22
12、xyz,xyz【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 (本小题满分 10 分)如图，在直三棱柱 中，1ABC，AB =AC=a， ，点 E，F 分别在棱 ，90oBACb1B上，且 ， 设 113E13ba（1）当 =3 时，求异面直线 与 所成角的大小；A（2）当平面 平面 时，求 的值AF1E23(本小题满分 10 分)一个袋中装有黑球，白球和红球共 n( )个，这些球除颜色外完全相同已知从袋中任*N意摸出 1 个球，得到黑球的概率是 现从袋中任意摸出 2 个球 25（1）若 n=15，且摸
13、出的 2 个球中至少有 1 个白球的概率是 ，设 表示摸出的 2 个球中红47球的个数,求随机变量 的概率分布及数学期望 ；E（2）当 n 取何值时，摸出的 2 个球中至少有 1 个黑球的概率最大，最大概率为多少?FEC 1B1A 1CBA（第 22 题图）安徽高中数学 http:/ 第 8 页 共 16 页2010 年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学试题参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1 2 3. 2 4. 0 5 62 7 （2） （4） 8. 931037q 10 11 12. 1 或 2 13. 0 14. 7,9n2二、解答题：本大题
14、共 6 小题，共计 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15解：（1） = = ，22cosabA24605c28 2 分3 ， ， 4cos5A03sin5 ，iniaC = = 5 分siicAa352c10（2） ， 为锐角，C 27cos1in0 ，342in2cos5A， 8 分267cos1 =i()Csincos2inAC= 10 分2472510710（3） ， ， bcsi5nBbcsiniB 12 分23sii20C又S= ，1i1abcA ， 14 分 230a3516证明：（1）取 中点 ，连结 ， ，PCFEBF安徽高中数学 http:/ 第 9 页 共
15、16 页 为 中点，EPD 且 = 2 分FC1 且 ，AB 且 = 4 分EAB四边形 为平行四边形 F 6 分A 平面 ， 平面 ，EPBCPBC 平面 . 8 分（2） ， ， ，ADD 平面 CPB 平面 ， 10 分A ， 为 的中点，PDE 12 分 ，AC 平面 . 14 分PE17解：（1）由已知，得2 分2,39,ca解得 4 分,2.c29,5.ab椭圆 C 的标准方程为 6 分21xy（2）设点 （ ） ，点 M ，1(,)Pxy1329(,)y点 、P、M 三点共线， ，Fx ， ，123yx1(2)yFPEA BCD（第 16 题图）安徽高中数学 http:/ 第 1
16、0 页 共 16 页点 M 8 分139(,)2yx ， ，1k1(2)k = = 10 分12113()yx213()yx点 P 在椭圆 C 上， ， 219522115(9)yx = = = 12 分12k2153()93x13672x16()7x ，1x 269k 的取值范围是 14 分1 26(,)918解：（1） 2 分39xAM103 （2） 4 分222(9)xN ， :16:E16NEM 6 分2229(9)xS定义域为 8 分10,3（3） = ，11 分2498(9)(18)26xxS3()19x令 ，得 （舍） ， . 13 分03当 时， 关于 为减函数；3109x ,
17、Sx当 时， 关于 为增函数；30 ,当 时， 取得最小值 15 分9xS答：当 AN 长为 m 时，液晶广告屏幕 的面积 最小16 分3 MNEFS19解: (1) ,25,A1B安徽高中数学 http:/ 第 11 页 共 16 页 或 2 分215,aq12,aq1,. ，或 . 4 分2()nn 1na(2) 常数， =常数，2112naq211()()nnaqa数列 ， 均为等比数列，首项分别为 ， ，公比分别为 ， n1()na21 2q6 分 当 为奇数时， 当 时, ， ， , 1q1nSa21nA1nBa . 21nB当 时, ， ， ,qnSa21n1na . 8 分21n
18、A当 时, 设 ，q1()kN， ，2112()kkaS22121211()()kkkkaqaqA ,212112()()kkkqBq 2121kkSA综上所述，当 为奇数时， . 10 分nnBSA当 为偶数时，存在常数 ，使得等式 恒成立 11 分12aq()0nn ，q ， ， 1()nnaS21()naqA1()naqB安徽高中数学 http:/ 第 12 页 共 16 页 =()nnBSA2111()()()nnnaqaq222111()()()nnnaqq211()()nnaq= 14 分11()na由题设， 对所有的偶数 n 恒成立，又 ，11()2)0nqa1()0naq 16
19、 分12a存在常数 ，使得等式 恒成立 1q()0nnBSA20解：（1）当 时， 230nm22)3lfxmx则 2()() mfx 令 ，得 （舍） ， 3 分03x当 1 时，mx1 (1,)m (,)m()f- 0 + 23lnm当 时, xm23ln()inxf令 ，得 5 分23l0e当 时， 0 在 上恒成立，01 ()fx1,)在 上为增函数，当 时, ()fx,xmin()1fx令 ，得 （舍） m综上所述，所求 为 7 分23e(2) 对于任意的实数 ， ， 在区间 上总是减函数，1,a1ba()fx(,)ab安徽高中数学 http:/ 第 13 页 共 16 页则对于 x
20、(1,3)， 0， 2()2nxmnfx 在区间1,3上恒成立 9 分()0f设 g(x)= ，2mn ，g(x) 在区间1,3上恒成立由 g(x)二次项系数为正，得即 亦即 12 分1(3) 0, 2318nm 0,23nm -, .6 = ，2n(6)4()3 当 n6 时，m ，n-当 n6 时，m ， 14 分2 当 n6 时，h(n)= ，63当 n6 时，h(n)= ， 即 16 分6.,()22010 年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学（附加题） 参考答案21、 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作
21、答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲证明：连结 EF 四点共圆,BCFE, 2 分AD ， 180 B 180 6 分AEF 四点共圆 8 分D, 交 于点 G，安徽高中数学 http:/ 第 14 页 共 16 页 10 分AGFDEB选修 42：矩阵与变换解：矩阵 的特征多项式为= = ， 2 分 ()f310(3)1令 =0，得到矩阵 的特征值为 1=3， 2= 4 分()fA当 1=3 时，由 =3 ，得 ， ，取 ，得到属于特征值 3 的310xy3xy,0y1x一个特征向量 = ； 7 分1当 2= 时，由 = ，得 ，取 ，则 ，得到属于特征值3
22、0xy3xy,1x4y的一个特征向量 = 10 分1214C选修 44：坐标系与参数方程解：将 代入 ，ytx23x得 ，即 4 分23t 2tx()当 x=0 时，y =0；当 时， 6 分2t从而 8 分3ty原点 也满足 ，(0,)23txy,曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） 10 分23txy,D选修 45：不等式选讲解: , 5 分2222()(1)36xyzxyz (安徽高中数学 http:/ 第 15 页 共 16 页 ，当且仅当 时取等号, 8 分226()xyz 2zxy ， 1, 的最小值为 6,此时 10 分22xyz1,xyz【必做题】第 22 题、第 23 题，每
23、题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22解：建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz（1）设 a=1，则 AB=AC=1， 3，各点的坐标为1, ， ， (0)A(1,)E(0,)(,2)F， 2 分,1,F , ，21A 11, 1cos 2AEF向量 和 所成的角为 ，10o异面直线 与 所成角为 4 分AEF6（2） ， ，(,0)3ba2(,)3ba ,0,设平面 的法向量为 ，AEF1(,)xyzn则 ，且 10n0即 ，且 3bzax23bzay令 ，则 1, = 是平面 的一个法向量 6 分12(,)3ban2(,1)3AE
24、F同理， = 是平面 的一个法向量 8 分2,1平面 平面 ，AEF1zyxFEC1B 1A1CBA（第 22 题图）安徽高中数学 http:/ 第 16 页 共 16 页 120n2109解得， 3当平面 平面 时， 10 分AEF13223解：（1）设袋中黑球的个数为 (个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事x件 A，则 2()15xP 1 分6x设袋中白球的个数为 (个)，记 “从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事y件 B，则 ，2154()7yCP ， 或 (舍) 290y24y红球的个数为 (个) 3 分1564随机变量 的取值为 0，1，2，分布列是0 1 2P2453的数学期望 6 分1601230E（2）设袋中有黑球 个，则 ） z(,5n设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件 C，则 ， 8 分23516()1nCPn当 时， 最大，最大值为 10 分()70
