1、综合法和分析法核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P36P 41 的内容，回答下列问题(1)阅读教材 P36“已知 a，b0，求证 a(b2c 2)b( c2a 2)4abc”的证明过程，思考下列问题：该题的条件和结论各是什么？提示：条件：a，b0；结论：a(b 2c 2)b( c2a 2)4abc.本题的证明过程是从“已知条件”出发，还是从“要证明的结论”出发？即证明该题的顺序是什么？提示：本题是从已知条件 a，b0 出发，借助基本不等式 证 明待证结论的(2)阅读教材中证明基本不等式“( a0，b0)”的过程，回答下列问题：该证明过程是从“条件”还是从“结论”开始证明的？提
2、示：从结论开始证明的该证明过程是综合法吗？提示：不是该证明过程的实质是寻找使结论成立的什么条件？提示：充分条件2归纳总结，核心必记(1)综合法综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法综合法的框图表示(P 表示已知条件 、已有的定义 、定理、公理等，Q 表示所要 证明的结论)(2)分析法分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件( 已知条件、定理、定义、公理 等) ，这种证明的方法叫做分析法分析法的框图表示问题思考(1)综合法与分析法的推理
3、过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它 们的每一步推理都是 严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想” (2)综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步 寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因(3)已知 a，b，c 为正实数，且 abc1，求证：8.证明过程如下：a，b，c 为正实数，且 abc1.10，10，10，8，当且仅当 abc 时取等号，不等式成立这种证明方法是综合法还是分析法？提示：综合法课前反思(1)综合法的定义是什么？如何用框图表示综合法？；(2)
4、分析法的定义是什么？如何用框图表示分析法？.讲一讲1设 a，b，c 均为正数，且 abc1.证明：(1)abbcac；(2)1.尝试解答 (1)由 a2b 22ab，b 2c 2 2bc，c 2a 22ca，得 a2b 2c 2abbc ca.由题设得(abc) 21，即 a2b 2c 22ab2bc 2ca1.所以 3(abbcca)1 ，即 abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2( abc) ，即abc .所以1.利用综合法证明问题的步骤(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件( 包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、 结
5、论，确定恰当的解题方法(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的相互 转化， 组织过程时要有严密的 逻辑，简洁的语言，清晰的思路(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题 方法的选取练一练1已知 xyzm.求证：x 2y 2z 2.证明：xy zm，(x yz )2x 2y 2z 22(xyyzzx) m 2.又 x2y 22xy，y 2z 22yz，z 2x 22xz，2(x2 y2z 2)2(xyyzzx)，即 x2y 2z 2xyyzzx，m2x 2y 2z 22(
6、 xyyzzx )3(x 2y 2z 2)x2y 2z 2.思考 1 分析法的证明过程是什么？名师指津：从“未知”看“需知” ，逐步靠 拢“已知” ，其逐步推理的过程，实际上是寻找使结论成立的充分条件思考 2 分析法的书写格式是什么？名师指津：分析法的书写格式是：“要证，只需证，只需证，由于显然成立(已知，已证)，所以原结论成立 ”其中的关联词语 不能省略讲一讲2已知 a0，求证： a2.尝试解答 要证 a2.只需证 2a.因为 a0，故只需证22，即 a244a 2222，从而只需证 2，只需证 42，即 a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立(1)当问题的证明用综合法不易寻找思路时，
7、可从待证的结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件，从而得原 问题 成立(2)含有根号、绝对值的等式或不等式的证明，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法(3)书写形式：要证，只需证，即证，然后得到一个明显成立的条件，所以 结论成立练一练2当 a2 时，求证：abc.由基本不等式得0，0 ，0，又 a，b，c 是不全相等的正数，abc.即abc 成立logxlog xlog x0 Bab0 且 abCab0 且 ab Dab(ba)0解析：选 D ，() 3()3，ab33ab， ，ab 2a2b，ab(ba)0.5将下面用分析法证明ab 的步骤补充完整：要证ab，只需
8、证 a2b 22ab，也就是证_，即证_，由于_显然成立，因此原不等式成立解析：用分析法证明ab 的步骤为：要证ab 成立，只需证 a2b 22ab，也就是 证a2b 22ab0，即证(ab) 20.由于(ab) 20 显然成立，所以原不等式成立答案：a 2b 22ab0 (ab )20 (ab) 206已知 a，b，ab1，求证：2.证明：要证2，只需证 2(ab)22 8.因为 ab1，即证2.因为 a，b，所以 2a10,2b10，所以2.即2 成立，因此原不等式成立题组 3 综合法与分析法的综合应用7设 a，b(0，)，且 ab，求证：a 3b 3a 2bab 2.证明：法一：要证 a
9、3b 3a 2bab 2 成立，只需证(ab)(a 2abb 2)ab(ab) 成立又因为 ab0，所以只需证 a2abb 2ab 成立即需证 a22abb 20 成立，即需证(ab) 20 成立而依题设 ab，则(ab) 20 显然成立由此命题得证法二：abab0(ab) 20a 22abb 20a 2 abb 2ab.因为 a0，b0，所以 ab0，(ab)(a 2ab b2)ab(ab )所以 a3b 3a 2bab 2.8已知ABC 的三个内角 A，B，C 为等差数列，且 a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，求证：(ab) 1 ( bc) 1 3( abc )1 .证明：法一：(
10、分析法)要证(ab) 1 ( bc) 1 3( abc )1 ，即证，只需证3，化简，得1，即 c(b c)(a b)a(ab)(bc )，所以只需证 c2a 2b 2ac .因为ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，所以 B60 ，所以 cos B，即 a2c 2b 2ac 成立所以(ab) 1 ( bc) 1 3( abc )1 成立法二：(综合法)因为ABC 的三内角 A，B，C 成等差数列，所以 B60.由余弦定理，有 b2c 2a 22accos 60.所以 c2a 2acb 2，两边加 abbc，得c(bc)a(a b)(ab)( bc )，两边同时除以(ab)( bc )，
11、得1，所以3，即，所以(ab) 1 ( bc) 1 3( abc )1 .能力提升综合练1下列函数 f(x)中，满足“对任意 x1，x 2(0，)，当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)”的是( )Af(x) Bf(x) (x 1)2Cf(x)e x Df( x)ln(x1)解析：选 A 本 题就是找哪一个函数在(0， )上是减函数，A 项中，f(x)0，f(x )在(0，) 上为减函数2已知 a0，b0，mlg，nlg ，则 m 与 n 的大小关系为( )Amn BmnCmn D不能确定解析：选 A 由 a0，b0，得 0，所以 ab2ab，所以() 2() 2，所以，所以 lgl
12、g，即 mn，故选 A.3设函数 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，若 f(1)1，f(2)，则 a 的取值范围是( )Aa Ba，且 a1Ca或 a1 D1a解析：选 D f(x)以 3 为周期，f(2)f( 1) 又 f(x)是 R上的奇函数，f( 1)f(1)，则 f(2)f(1)f(1)再由 f(1)1，可得 f(2)1，即1，解得1a.4已知 a，b，c，d 为正实数，且，则( )A. B.C. D以上均可能解析：选 A 先取特殊值检验 ，可取 a1，b3，c1，d2，则，满足.要证，a，b，c，d 为正实数，只需 证 a(bd)b(ac)，即证 adbc.只需证.而
13、成立， .同理可 证.故 A 正确5若 lg xlg y 2lg(x2y)，则 log_.解析：由条件知 lg xylg(x2y) 2，所以 xy(x2y) 2，即 x25xy4y 20，即 2540，所以4 或 1.又 x2y，故4，所以 loglog44.答案：46已知 sin cos 且，则 cos 2_.解析：因为 sin cos ，所以 1sin 2 ，所以 sin 2 .因为，所以 2 .所以 cos 2.答案：7设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a11，a n1 n 2n，nN *.(1)求 a2 的值；(2)证明数列是等差数列；(3)若 Tn是数列的前 n 项和，求证：
14、 Tn.解：(1)当 n1 时， 2a1a 212，解得 a24.(2)证明：2S nna n1 n 3n 2n.当 n2 时，2S n1 (n1)a n (n1) 3(n1) 2(n1) ，得 2anna n1 (n 1)ann 2n.整理得 nan1 (n1)a nn( n1) ，即1，1，当 n1 时，211.所以数列是以 1 为首项，1 为 公差的等差数列(3)由(2)可知n，即 ann 2.( n2)，Tn 11.8设 f(x)ax 2bx c (a0)，若函数 f(x1)与 f(x)的图象关于 y 轴对称，求证：f 为偶函数证明：要证 f 为偶函数，只需证明其对称轴为直线 x0，即只需证0，只需证 ab(中间结果)，由已知，抛物线 f(x1)的对称轴 x1 与抛物线 f(x)的对称轴 x关于 y 轴对称所以1.于是得 ab(中间结果)所以 f 为偶函数
