1、2016-2017 学年河南省鹤壁高中高三（上）第一次段考数学试卷（文科）一、选择题（每小题 5 分，12 小题共 60 分）1如图，在复平面内，表示复数 z 的点为 A，则复数 对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2已知集合 A=y|x2+y2=1和集合 B=y|y=x2，则 AB=（ ）A （0，1） B0，1 C （0，+） D（0，1） ， （1，0）3命题“x0 ，x 2x” 的否定是（ ）Ax0，x 2=x Bx0，x 2=x Cx0，x 2=x Dx0，x 2=x4若函数 y=ax 与 y= 在（0，+）上都是减函数，则 y=ax2+bx 在（0，+）上
2、是（ ）A增函数 B减函数 C先增后减 D先减后增5f（x）是 R 上的偶函数，当 x0 时，f（x）=x 3+ln（x+1） ，则当 x0 时，f（x）=（ ）Ax 3ln（x1） Bx 3+ln（x1） Cx 3ln（1 x） Dx 3+ln（1 x）6已知2，a 1，a 2， 8 成等差数列，2，b 1，b 2，b 3， 8 成等比数列，则 等于（ ）A B C D 或7将函数 y=sinx cosx 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位（ a0） ，所得图象关于 y 轴对称，则 a 的值可以是（ ）A B C D8方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负的实根的充要条件是（ ）A0a1
3、 Ba 1 Ca 1 D0a1 或 a09某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为（ ）A B C D10已知不等式组 表示平面区域 ，过区域 中的任意一个点 P，作圆x2+y2=1 的两条切线且切点分别为 A、B ，当APB 最大时， 的值为（ ）A2 B C D311设 y=f（x）是一次函数，若 f（0）=1 ，且 f（1） ，f（4） ，f（13）成等比数列，则f（2）+f （4）+f （2n）等于（ ）An（2n+3） Bn（n+4 ） C2n（2n+3） D2n（n+4）12设函数 f（x）在 R 上存在导数 f（x） ，x R，有 f（ x）+f（x）=x
4、 2，在（0，+）上f（x）x，若 f（4 m）f（m ）84m 则实数 m 的取值范围为（ ）A2， 2 B2，+） C0，+） D （，22，+）二、填空题（每小题 5 分，4 小题共 20 分）13已知函数 f（x）的图象如图所示，则函数 g（x）=log f（x）的定义域是 14已知点 A（0，1） ，B（2，3） ，C （1，2） ，D（1，5） ，则向量 在 方向上的投影为 15函数 y=loga（x 2+3x+a）的值域为 R，则 a 的取值范围为 16在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若B= C 且 7a2+b2+c2=4，则ABC 的面积的最大值为 三、解
5、答题（17 题 10 分，其余每题 12 分）17设有两个命题：命题 p：函数 f（x）= x2+ax+1 在1，）上是单调递减函数；命题q：已知函数 f（x）=mx 3+nx2 的图象在点（1，2）处的切线恰好与直线 2x+y=1 平行，且f（x）在a，a+1上单调递减，若命题 p 或 q 为真，p 且 q 为假，求实数 a 的取值范围18已知函数 f（x）=2 sin（ + ）cos （ + ） sin（x+ ） （1）求 f（x）的最小正周期；（2）若将 f（x）的图象向右平移 个单位，得到函数 g（x）的图象，求函数 g（x）在区间0，上的最大值和最小值19已知函数 f（x）=x 2+
6、ax3a2lnx， （a0） （1）求 f（x）的单调区间；（2）求 f（x）在1，e上的最小值20如图ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，满足 =0sinBAC= ，AB=3 ，BD= （）求 AD 的长；（）求 cosC21已知数列a n前 n 项和为 Sn，首项为 a1，且 ，a n，S n 成等差数列（1）求数列a n的通项公式；（2）数列b n满足 bn=（log 2a2n+1）（log 2a2n+3） ，求数列 的前 n 项和22已知函数 f（x）= x2+2lnx，函数 f（x）与 g（x）=x 有相同极值点（1）求函数 f（x）的最大值；（2）求实数 a 的值；（3）若x
7、1，x 2 ，3，不等式 1 恒成立，求实数 k 的取值范围2016-2017 学年河南省鹤壁高中高三（上）第一次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5 分，12 小题共 60 分）1如图，在复平面内，表示复数 z 的点为 A，则复数 对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数 对应的点的坐标得答案【解答】解：由图可得，z=2+i ， = = ，则复数 对应的点的坐标为（ ） ，位于第三象限故选：C2已知集合 A=y|x2+y2=1和集合 B=y|y=x2，则 AB=（ ）A
8、 （0，1） B0，1 C （0，+） D（0，1） ， （1，0）【考点】交集及其运算【分析】由集合 A=y|x2+y2=1y|1y1，集合 B=y|y=x20，能求出 AB【解答】解：集合 A=y|x2+y2=1=y|y2=1x21= y|1y1，集合 B=y|y=x20，AB=y|0y1，故选 B3命题“x0 ，x 2x” 的否定是（ ）Ax0，x 2=x Bx0，x 2=x Cx0，x 2=x Dx0，x 2=x【考点】命题的否定【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“x0，x 2x” 的否定是：x0， x2=x故选：C4
9、若函数 y=ax 与 y= 在（0，+）上都是减函数，则 y=ax2+bx 在（0，+）上是（ ）A增函数 B减函数 C先增后减 D先减后增【考点】函数单调性的判断与证明【分析】根据 y=ax 与 y= 在（0，+）上都是减函数，得到 a0，b0，对二次函数配方，即可判断 y=ax2+bx 在（0，+）上的单调性【解答】解：y=ax 与 y= 在（0，+）上都是减函数，a0，b0，y=ax 2+bx 的对称轴方程 x= 0，y=ax 2+bx 在（0，+）上为减函数故答案 B5f（x）是 R 上的偶函数，当 x0 时，f（x）=x 3+ln（x+1） ，则当 x0 时，f（x）=（ ）Ax 3
10、ln（x1） Bx 3+ln（x1） Cx 3ln（1 x） Dx 3+ln（1 x）【考点】函数解析式的求解及常用方法【分析】利用函数的奇偶性与已知条件转化求解即可【解答】解：f（x）是 R 上的偶函数，可得 f（x）=f（x） ；当 x0 时，f（x）=x 3+ln（x+1） ，则当 x0 时，f（x）=f（x）=x 3+ln（1x） 故选：D6已知2，a 1，a 2， 8 成等差数列，2，b 1，b 2，b 3， 8 成等比数列，则 等于（ ）A B C D 或【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式【分析】由等差数列和等比数列可得 a2a1=2，b 2=4，代入要求的式子计算可得
11、【解答】解：2，a 1，a 2，8 成等差数列，a 2a1= =2，又2， b1，b 2，b 3， 8 成等比数列，b 22=（ 2）（8）=16 ，解得 b2=4，又 b12=2b2，b 2=4， = =故选：B7将函数 y=sinx cosx 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位（ a0） ，所得图象关于 y 轴对称，则 a 的值可以是（ ）A B C D【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换；两角和与差的正弦函数【分析】根据函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，得出结论【解答】解：将函数 y=sinx cosx=2sin（x ）的图象沿 x 轴
12、向右平移 a 个单位（a0） ，可得 y=2sin（xa） =2sin（x a ）的图象，根据所得图象关于 y 轴对称，可得 a+ =k+ ，即 a=k+ ，kZ，故选：A8方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负的实根的充要条件是（ ）A0a1 Ba 1 Ca 1 D0a1 或 a0【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【分析】首先，对二次项系数分为 0 和不为 0 两种情况讨论，然后在二次项系数不为 0 时，分两根一正一负和两根均为负值两种情况，最后将两种情况综合在一起找到 a 所满足的条件 a1，再利用上述过程可逆，就可以下结论充要条件是 a1【解答】解：a 0 时，显然方程没有等于
13、零的根若方程有两异号实根，则由两根之积小于 0 可得 a0；若方程有两个负的实根，则必有 ，故 0a1若 a=0 时，可得 x= 也适合题意综上知，若方程至少有一个负实根，则 a1反之，若 a1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一负的实根的充要条件是 a1故选 C9某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为（ ）A B C D【考点】由三视图求面积、体积【分析】三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积【解答】解：由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴
14、截面面积的和又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为 12=，底面积为 ，观察三视图可知，轴截面为边长为 2 的正三角形，所以轴截面面积为 22 = ，则该几何体的表面积为 + 故选：A10已知不等式组 表示平面区域 ，过区域 中的任意一个点 P，作圆x2+y2=1 的两条切线且切点分别为 A、B ，当APB 最大时， 的值为（ ）A2 B C D3【考点】平面向量数量积的运算；简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当 最小时，P 的位置，利用向量的数量积公式，即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使APB 最大，则 P 到圆心的距离最小即可，
15、由图象可知当 OP 垂直直线 x+y2 =0，此时|OP|= =2，|OA|=1，设APB=，则 sin = ， =此时 cos= ， = = 故选：B11设 y=f（x）是一次函数，若 f（0）=1 ，且 f（1） ，f（4） ，f（13）成等比数列，则f（2）+f （4）+f （2n）等于（ ）An（2n+3） Bn（n+4 ） C2n（2n+3） D2n（n+4）【考点】数列的求和【分析】由已知可以假设一次函数为 y=kx+1，在根据 f（1） ，f （4） ，f（13）成等比数列，得出 k=3，利用等差数列的求法求解即可【解答】解：由已知，假设 f（x）=kx +b， （k0）f（0）
16、=1=k 0+b，b=1 f（1） ，f （4） ，f （13）成等比数列，且 f（1）=k+1，f（4）=4k+1，f （13）=13k+1k+1，4k+1，13k+1 成等比数列，即（4k+1） 2=（k+1） （13k+1） ，16k2+1+8k=13k2+14k+1，从而解得 k=0（舍去） ，k=2 ，f（2）+f （4）+f （2n）=（22+1）+（42+1）+（2n2+1）=（2+4+2n）2+n=4 +n=2n（n+1）+n=3n+2n2，故选 A12设函数 f（x）在 R 上存在导数 f（x） ，x R，有 f（ x）+f（x）=x 2，在（0，+）上f（x）x，若 f（4
17、 m）f（m ）84m 则实数 m 的取值范围为（ ）A2， 2 B2，+） C0，+） D （，22，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】令 g（x）=f（x） x2，由 g（ x）+g（x）=0 ，可得函数 g（x）为奇函数利用导数可得函数 g（x）在 R 上是减函数， f（4m ）f（m）84m，即 g（4 m）g（m） ，可得 4m m，由此解得 a 的范围【解答】解：令 g（x）=f（x） x2，g（x ）+g（ x）=f（ x） x2+f（x） x2=0，函数 g（x）为奇函数x（0，+）时，g（x） =f（x）x0，故函数 g（x）在（0，+）上是减函数，故函数 g（x）
18、在（，0）上也是减函数，由 f（0）=0 ，可得 g（x）在 R 上是减函数，f（4 m）f（ m）=g （4m） + （4 m） 2g（m ） m2=g（4m ）g（m）+8 4m84m ，g（4m）g（m） ，4 mm ，解得：m2，故选：B二、填空题（每小题 5 分，4 小题共 20 分）13已知函数 f（x）的图象如图所示，则函数 g（x）=log f（x）的定义域是 （2，8 【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法【分析】根据对数函数的真数大于 0 建立不等关系，然后结合图形求出函数的定义域即可【解答】解：要使函数 有意义则 f（x）0结合图象可知当 x（2，8时， f（x）
19、0函数 的定义域是（2，8故答案为：（2，814已知点 A（0，1） ，B（2，3） ，C （1，2） ，D（1，5） ，则向量 在 方向上的投影为 【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据点的坐标可求出向量 的坐标，而根据投影的计算公式及向量夹角的余弦公式即可得出投影为： ，从而根据坐标即可求出该投影的值【解答】解： ； 在 方向上的投影为：= 故答案为： 15函数 y=loga（x 2+3x+a）的值域为 R，则 a 的取值范围为 （0，1） （1， 【考点】函数的值域【分析】根据对数函数的值域和定义域即可得出函数 y=x2+3x+a 的值域包含（0，+） ，从而得出0，并且 a0，a 1
20、，从而得出 a 的取值范围【解答】解：根据题意，函数 y=x2+3x+a 的值域包含（0，+） ；=9 4a0； ；又 a0，且 a1；a 的取值范围为（0，1）（1， 故答案为：（0，1）（1， 16在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若B= C 且 7a2+b2+c2=4，则ABC 的面积的最大值为 【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由B=C 得 b=c，代入 7a2+b2+c2=4 化简，根据余弦定理求出 cosC，由平方关系求出 sinC，代入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形 ABC 面积的最大值【解答】解：由B=C 得 b=c，代入 7a2+b2
21、+c2=4 得，7a2+2b2=4 ，即 2b2=4 7a2，由余弦定理得，cosC= = ，所以 sinC= = = ，则ABC 的面积 S= = = a= = = = ，当且仅当 15a2=8 15a2 取等号，此时 a2= ，所以ABC 的面积的最大值为 ，故答案为： 三、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分）17设有两个命题：命题 p：函数 f（x）= x2+ax+1 在1，）上是单调递减函数；命题q：已知函数 f（x）=mx 3+nx2 的图象在点（1，2）处的切线恰好与直线 2x+y=1 平行，且f（x）在a，a+1上单调递减，若命题 p 或 q 为真，p 且 q 为假，
22、求实数 a 的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】利用二次函数的性质可求得命题 p 真时 a 的取值范围，由导数的几何意义可求得f（x）的解析式，f（x）在a，a +1上单调递减可求得实数 a 的取值范围，再由“p 或 q“为真即可求得答案【解答】解：命题 p：函数 f（x）= x2+ax+1 在1，）上是单调递减函数，对称轴 x= 1，a2；又命题 q：已知函数 f（x）=mx 3+nx2 的图象在点（1，2）处的切线恰好与直线 2x+y=1 平行，f（ 1）=m+n=2 f（ 1）=3m（ 1） 2+2n（1）=2，即 3m2n=2由得：m=2 ，n=4 f（x）=2x 3+4x2，f（
23、x）=6x 2+8x=2x（3x+4） ，当 x0 时，f（x）0，f（x）在 ，0上单调递减；f（x）=2x 3+4x2 在a ，a+1上单调递减， ，解得： a 1，若命题 p 或 q 为真，p 且 q 为假，则 p，q 一真一假，p 真 q 假时， ，1 a2 或 a ，p 假 q 真时， 无解，综上：1a2 或 a 18已知函数 f（x）=2 sin（ + ）cos （ + ） sin（x+ ） （1）求 f（x）的最小正周期；（2）若将 f（x）的图象向右平移 个单位，得到函数 g（x）的图象，求函数 g（x）在区间0，上的最大值和最小值【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求
24、法【分析】 （1）利用二倍角公式、诱导公式、两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，即可求 f（x）的最小正周期；（2）将 f（x）的图象向右平移 个单位，求出函数 g（x）的解析式，然后在区间0，上的最大值和最小值【解答】解：（1） = = 所以 f（x）的最小正周期为 2（2）将 f（x）的图象向右平移 个单位，得到函数 g（x）的图象， = x0，时， ，当 ，即 时， ，g（x）取得最大值 2当 ，即 x= 时， ，g（x）取得最小值119已知函数 f（x）=x 2+ax3a2lnx， （a0） （1）求 f（x）的单调区间；（2）求 f（x）在1，e上的最小值【考点】利用导数
25、研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论 a 的范围，求出函数的最小值即可【解答】解：（1）f（x）= ， （x0） ，令 f（x）=0，解得：x 1=a，x 2= （舍） ，x，f（x） ，f（ x）的变化如下：x （0，a） a （a，+）f（x） 0 +f（x） 递减 极小值 递增f（x）的递增区间是（a，+） ，递减区间是（0，a） ；（2）由（1）得：当 0a1 时，f（x）在1，e递增， f（x） min=f（1）=1+a，1ae 时，f（x）在1，a 递减，在a ，e递增，f （x）
26、min=f（a ）=2a 23a2lna，ae 时，f（x）在1，e 递减， f（x） min=f（e ）=e 2+ae3a220如图ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，满足 =0sinBAC= ，AB=3 ，BD= （）求 AD 的长；（）求 cosC【考点】余弦定理的应用；正弦定理【分析】 （I）通过向量的数量积，判断垂直关系，求出 cosBAD 的值，在ABD 中，由余弦定理求 AD 的长；（）在ABD 中，由正弦定理，求出 sinADB，通过三角形是直角三角形，即可求cosC【解答】解：（） =0，ADAC， ，sinBAC= ， 在ABD 中，由余弦定理可知 BD2=AB2+AD
27、22ABADcosBAD，即 AD28AD+15=0，解之得 AD=5 或 AD=3 由于 ABAD，AD=3 （）在ABD 中，由正弦定理可知 ，又由 ，可知 ， = ，ADB=DAC+C，DAC= ， 21已知数列a n前 n 项和为 Sn，首项为 a1，且 ，a n，S n 成等差数列（1）求数列a n的通项公式；（2）数列b n满足 bn=（log 2a2n+1）（log 2a2n+3） ，求数列 的前 n 项和【考点】数列的求和；数列递推式【分析】 （1）由 ，a n，S n 成等差数列可得 2an=Sn+ ，再利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出（2）利用对数的运算性质可得：b
28、 n=（2n1） （2n+1） ， = 再利用“裂项求和” 方法即可得出【解答】解：（1） ，a n，S n 成等差数列2a n=Sn+ ，当 n=1 时，2a 1=a1+ ，解得 a1= 当 n2 时，2a n1=Sn1+ ，2a n2an1=an，化为 an=2an1数列a n是等比数列，公比为 2a n= =2n2（2）b n=（log 2a2n+1）（log 2a2n+3）=（2n1） （2n+1） ， = 数列 的前 n 项和= += = 22已知函数 f（x）= x2+2lnx，函数 f（x）与 g（x）=x 有相同极值点（1）求函数 f（x）的最大值；（2）求实数 a 的值；（3
29、）若x 1，x 2 ，3，不等式 1 恒成立，求实数 k 的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值【分析】 （1）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数 f（x）的最大值；（2）求导函数，利用函数 f（ x）与 g（x）=x + 有相同极值点，可得 x=1 是函数 g（x）的极值点，从而可求 a 的值；（3）先求出 x1 ，3时， f（x 1） min=f（3）= 9+2ln3， f（x 1） max=f（1）=1；x 2 ，3时，g（x 2） min=g（1）=2，g（x 2） max=g（3）= ，再将对于“x 1，x 2，3，不等式 1 恒成立，等价变
30、形，分类讨论，即可求得实数 k 的取值范围【解答】解 （1）f（x）=2x+ =2 （x0） ，由 f（x）0 得 0x1；由 f（x）0 得 x1f（x）在（0，1）上为增函数，在（ 1，+）上为减函数函数 f（x）的最大值为 f（1）=1（2）g（x）=x+ ，g（x）=1 由（1）知，x=1 是函数 f（x）的极值点又函数 f（x ）与 g（x）=x + 有相同极值点，x=1 是函数 g（x）的极值点g（1）=1a=0，解得 a=1经检验，当 a=1 时，函数 g（x）取到极小值，符合题意（3）f（ ）= 2，f（1）= 1，f （3）= 9+2ln3，9 +2ln3 21，即 f（ 3
31、）f（ ）f（1） ，x 1（ ，3） ，f（x 1） min=f（3）=9+2ln3 ，f （x 1） max=f（1）= 1由知 g（x）=x+ ，g（ x）=1 故 g（x）在 ，1）时，g（x）0；当 x（1，3时，g（x）0故 g（x）在 ，e）上为减函数，在（1，3上为增函数g（ ）=e+ ，g（1）=2，g（3）=3+ = ，而 2e+ ，g（1）g（ ）g（3） x 2 ，e，g（x 2） min=g（1）=2，g（x 2） max=g（3）= 当 k10，即 k1 时，对于 x1，x 2 ，e，不等式 1 恒成立k1f （x 1）g（x 2） maxkf（x 1）g（x 2） max+1f（x 1） g（x 2）f（1）g（1）=12=3，k 3+1=2，又k1，k1当 k10，即 k1 时，对于 x1，x 2 ，e，不等式 1 恒成立k1f （x 1）g（x 2） minkf（x 1）g（x 2） min+1f（x 1） g（x 2）f（3）g（3）=9+2ln3 = +2ln3，k +2ln3又k1，k +2ln3综上，所求的实数 k 的取值范围为（， +2ln3） ）（ 1，+） 2017 年 1 月 3 日
