1、2015-2016 学年河南省洛阳高中高三（下）第一次综合模拟数学试卷（理科）一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1 （5 分）设 i 是虚数单位，若 z=cos+isin 且对应的点位于复平面的第二象限，则 位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2 （5 分）己知命题 p：“ab”是“2 a2 b”的充要条件；q： xR，|x+l|x，则（ ）Apq 为真命题 Bp q 为假命题 Cpq 为真命题 Dpq 为真命题3 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为（ ）A10 B6 C3 D
2、124 （5 分）函数 的图象如图所示，为了得到 g（x）=cos2x 的图象，则只需将 f（x）的图象（ ）A向右平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度C向左平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度5 （5 分）能够把圆 O：x 2+y2=9 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数 f（x）称为“ 亲和函数”，则下列函数： ，其中是圆 O：x 2+y2=9 的“ 亲和函数”的个数为（ ）A1 B2 C3 D46 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ）A B C D7
3、 （5 分）已知 O 为坐标原点，双曲线 =1（a0，b0）的右焦点 F，以 OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点 O 的两点 A、B，若（ + ） =0，则双曲线的离心率 e 为（ ）A2 B3 C D8 （5 分）已知a n是等差数列，公差 d 不为零，前 n 项和是 Sn，若 a3，a 4，a 8 成等比数列，则（ ）Aa 1d0，dS 40 Ba 1d0，dS 40 Ca 1d0，dS 40 Da 1d0，dS 409 （5 分）在四面体 SABC 中，SA平面 ABC，BAC=120，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（ ）A11 B7 C D10 （5 分
4、）若 的展开式中第四项为常数项，则 n=（ ）A4 B5 C6 D711 （5 分）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上设抛物线y2=2px（p0） ，弦 AB 过焦点，ABQ 为其阿基米德三角形，则ABQ 的面积的最小值为（ ）A Bp 2 C2p 2 D4p 212 （5 分）已知 ，f（x）在 x=x0 处取得最大值，以下各式中正确的序号为（ ）f（x 0）x 0；f（x 0）=x 0；f（x 0）x 0； ； A B C D二、填空题：本题共 4 个小题，每小
5、题 5 分，共 20 分.13 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中过定点 Q（1，1）的直线 l 与曲线 C：y= 交与 M，N 点，则 = 14 （5 分）如果不等式组 表示平面区域是一个直角三角形，则 k= 15 （5 分）已知 a 为常数，若曲线 y=ax2+3xlnx 存在与直线 x+y1=0 垂直的切线，则实数 a 的取值范围是 16 （5 分）各项都为正数的数列a n，其前 n 项的和为 Sn，且 Sn=（ + ） 2（n2） ，若 bn=+ ，且数列b n的前 n 项的和为 Tn，则 Tn= 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算
6、步骤.17 （12 分）已知向量 =（ sin ，1） ， =（cos ，cos 2 ） ，函数 f（x）= （1）若 f（x）=1，求 cos（ x）的值；（2）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c ，且满足 acosC+ c=b，求 f（B）的取值范围18 （12 分）某品牌的汽车 4S 店，对最近 100 位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如右表所示：已知分 3 期付款的频率为 0.2，4S 店经销一辆该品牌的汽车，顾客分 1 期付款，其利润为 1 万元；分 2 期或 3 期付款其利润为 1.5 万元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 2 万元用 表示经销一辆汽
7、车的利润付款方式 分 1 期 分 2 期 分 3 期 分 4 期 分 5 期频数 40 20 a 10 b（1）求表中的 a，b 值；（2）若以频率作为概率，求事件 A：“ 购买该品牌汽车的 3 位顾客中，至多有 1 位采用 3 期付款”的概率P（A） ；（3）求 的分布列及数学期望 E19 （12 分） （理）如图，已知矩形 ACEF 的边 CE 与正方形 ABCD 所在平面垂直， ，AF=1，M 是线段 EF 的中点（1）求证：CM平面 BDF；（2）求二面角 ADBF 的大小20 （12 分）已知两点 F1（ 1，0）及 F2（1，0） ，点 P 在以 F1、F 2 为焦点的椭圆 C 上
8、，且|PF1|、|F 1F2|、|PF 2|构成等差数列（1）求椭圆 C 的方程；（2）如图，动直线 l：y=kx +m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，点 M，N 是直线 l 上的两点，且F1Ml ，F 2Nl求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值21 （12 分）已知函数 f（x） =x3ax+b，经过曲线 y=f（x）外的一点（1，0）作该曲线的切线恰有两条（1）求 f（x）的极小值（用 a 表示） ；（2）若存在 x0（0，+） ，使得 成立，求实数 a 的取值范围请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选
9、题目对应的题号涂黑.选修 4-1：几何证明选讲22 （10 分）如图，AB 是圆 O 的直径，以 B 为圆心的圆 B 与圆 O 的一个交点为 P过点 A 作直线交圆 O于点 Q，交圆 B 于点 M、N（1）求证：QM=QN；（2）设圆 O 的半径为 2，圆 B 的半径为 1，当 时，求 MN 的长选修 4-4：坐标系与参数方程 23以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为 （t 为参数） ，曲线 C 的极坐标方程为 = （1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，求|AB|的值选修
10、4-5：不等式选讲24设函数 f（x）=|x+1|+|x 5|，x R（1）求不等式 f（x）x+10 的解集；（2）如果关于 x 的不等式 f（ x）a（x 2） 2 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围2015-2016 学年河南省洛阳高中高三（下）第一次综合模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1 （5 分） （2016 黄山一模）设 i 是虚数单位，若 z=cos+isin 且对应的点位于复平面的第二象限，则 位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【
11、分析】通过点（cos，sin）位于复平面的第二象限，即得结论【解答】解：z=cos+isin 对应的点坐标为（cos，sin） ，且点（cos，sin）位于复平面的第二象限， ， 为第二象限角，故选：B【点评】本题考查复数的几何意义，考查三角函数值的符号，注意解题方法的积累，属于中档题2 （5 分） （2015 邢台四模）己知命题 p：“ab”是“2 a2 b”的充要条件；q：x R，|x+l|x，则（ ）Apq 为真命题 Bp q 为假命题 Cpq 为真命题 Dpq 为真命题【分析】由指数函数的性质可知 P 真命题，p 为假命题；q：由|x+l|x，可得 ，可得 x不存在，则 q 为假命题，
12、q 为真命题，则根据复合命题的真假关系可判断【解答】解：P：“ ab” 是“2 a2 b”的充要条件为真命题，p 为假命题q：由|x+l|x，可得 可得 x 不存在，则 q 为假命题，q 为真命题则根据复合命题的真假关系可得，pq 为假；pq 为真；pq 为假；pq 为真故选 D【点评】本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，解题的关键是准确判断 P，q 的真假，属于基础题3 （5 分） （2015 泸州模拟）执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为（ ）A10 B6 C3 D12【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序的功能是计算并输出 S=12+2232+42 的值，得出数值即可【解答】
13、解：模拟程序框图的运行过程，得；该程序的功能是计算并输出 S=12+2232+42 的值，所以 S=12+2232+42=10故选：A【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应根据循环条件判断出循环变量的终值，结合循环体分析出程序的功能，是基础题4 （5 分） （2016 春 洛阳月考）函数 的图象如图所示，为了得到 g（x）=cos2x 的图象，则只需将 f（x）的图象（ ）A向右平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度C向左平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得 f（x）的解析式，再利用函数 y=Asi
14、n（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：根据函数 的图象，可得 A=1， = ， =2再根据五点法作图可得 2 +=，求得 = ，f （x）=sin（2x+ ） 故把 f（x）=sin（2x+ ）的图象向左平移 个单位，可得 g（x）=sin2（x+ ）+ =cos2x 的图象，故选：C【点评】本题主要考查由函数 y=Asin（x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，函数 y=Asin（ x+）的图象变换规律，属于中档题5 （5 分） （2016 春 洛阳月考）能够把圆 O：x 2+y2=9 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数
15、f（x）称为“ 亲和函数” ，则下列函数： ，其中是圆 O：x 2+y2=9 的“ 亲和函数”的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【分析】由“亲和函数” 的定义知，若函数为“ 亲和函数”，则该函数必为过原点的奇函数，由此判断即可得出结论【解答】解：由“亲和函数” 的定义知，若函数为“ 亲和函数” ，则该函数为过原点的奇函数；中，f（0）=0，且 f（x）为奇函数，故 f（x）=x 3+x 为“亲和函数” ；中，f（0）=ln1=0，且 f（ x）=f（x） ，所以 f（x）为奇函数，所以 f（x）=ln 为“ 亲和函数 ”；中，f（0）=tan0=0 ，且 f（x）=f（x） ，f（x）为奇函
16、数，故 f（x）=tan 为“亲和函数”中，f（0）=e 0+e0=2，所以 f（x）=e x+ex 的图象不过原点，故 f（x） ）=e x+ex 不为“亲和函数”；综上，以上为“亲和函数” 的个数是 3 个故选：C【点评】本题考查了新定义函数的应用问题，解题时要注意函数的性质与合理运用，是综合性题目6 （5 分） （2016 湖南校级模拟）已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ）A B C D【分析】先由三视图还原成原来的几何体，再根据三视图中的长度关系，找到几何体中的长度关系
17、，进而可以求几何体的体积【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：V= = ，故选 C【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，一般组合体的体积要分部分来求三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视7 （5 分） （2016 浙江模拟）已知 O 为坐标原点，双曲线 =1（a0，b0）的右焦点
18、F，以 OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点 O 的两点 A、B，若（ + ） =0，则双曲线的离心率 e 为（ ）A2 B3 C D【分析】先画出图形，如图，设 OF 的中点为 C，则 + = ，由题意得 ACOF，根据三角形的性质可得 AC=AF，又 AF=OF，从而得出AOF 是正三角形，即双曲线的渐近线的倾斜角为 60，得出 a，b 的关系式，即可求出双曲线的离心率 e【解答】解：如图，设 OF 的中点为 C，则 + = ，由题意得， =0，ACOF，AO=AF，又 c=OF，OA ：y= ，A 的横坐标等于 C 的横坐标 ，所以 A（ ， ） ，且 AO= ，AO2= ，所以
19、a=b，则双曲线的离心率 e 为 = 故选 C【点评】本题给出以双曲线右焦点 F 为圆心的圆过坐标原点，在已知若（ + ） =0 的情况下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题8 （5 分） （2015 浙江）已知a n是等差数列，公差 d 不为零，前 n 项和是 Sn，若 a3，a 4，a 8 成等比数列，则（ ）Aa 1d0，dS 40 Ba 1d0，dS 40 Ca 1d0，dS 40 Da 1d0，dS 40【分析】由 a3，a 4，a 8 成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断 a1d 和 dS4 的符号【解答】解：设等差
20、数列a n的首项为 a1，则 a3=a1+2d，a 4=a1+3d，a 8=a1+7d，由 a3，a 4，a 8 成等比数列，得 ，整理得： d0， ， ，= 0故选：B【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前 n 项和，是基础题9 （5 分） （2015 石家庄二模）在四面体 SABC 中，SA 平面 ABC，BAC=120，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（ ）A11 B7 C D【分析】求出 BC，利用正弦定理可得ABC 外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积【解答】解：AC=2 ，AB=1，BAC=120 ，BC= = ，三角形 ABC 的外接圆半径为 r，2r= ，r= ，
