1、专题 05 导数中的点关于线对称问题导数中的存在点关于线的对称问题在平时的练习中比较常见，一开始很多同学无法下手，但是其实根据对称思想确定对称点的坐标，转化为一个函数是否存在零点的问题，再利用导数分析函数的单调性，确定最值，数形结合即可求解。【题型示例】1、已知函数 （ 为自然对数的底数）与 的图象上存在关于直线对称的点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为函数 与 的图象在 上存在关于直线 对称的点，所以问题转化为方程在 上有解，即 在 上有解.令 ，则，当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，又， ，所以 ，即 ，故选 A.2、已知函数 的图象
2、上存在两点关于 轴对称，则实数 的取值范 围是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】设 是 上一点，则点 关于 y 轴的对称点为 ，于是 ， ，令 ，则， 在 上是增函数，在 与 上是减函数，又 时， ， ， ， ，故选 D.3、已知函数 ， ，若存在 使得 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】B4、已知函数 的图象上存在点 .函 数 的图象上存在点 ，且关于原点对称，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题知 有解，令 ， ，故函数在 递减，在递增，所以 ，解得 .【专题练习】1、已知函数 , ,若 图象上存在 两个不同的点与 图象上 两
3、点关于 轴对称，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 图象上存在 两个不同的点与 图象上 两点关于 轴对称， 在上有两解，即 有两解，整理得 设，则令 ，得 ，解得 或（舍）当 时， ，函数 递减，当 时，函数 递增，则当 时， 取得极小值 ，当时， ， 有两解， 的取值范围是 故选 D 2、已知函数 与 的图象在 上存在关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】依题意，存在 ，使 成立，即 ， 在 上有解.令，则 .因为 在 上单调递增，所以，所以 在 上单调递减，所以 ，所以在 上单调递增，所以 ，即 ，所以.3、已知
4、函数 ， ，若 与 的图象上分别存在点，使得 关于直线 对称，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】B4、已知函数 ( , 是自然对数的底) 与 的图象上存在关于 轴对 称的点,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意,若函数 ( , 是自然对数的底 )与 的图象上存在关于 轴对称的点,则方程 在区 间 上有解,即方程 在区间 上有解,设函数 ,其导数 ,又由 , 在 有唯一的极值,分析可得:当 时, , 为减函数,当 时, , 为增函数,故函数 有最小值 ,又由 , ，比较可得: ,故函数 有最大值 ,故函数 在区间 上的值域为 ;若方程 在区间 上有解,必 有 ,则有 ,即 的取值范围是 .5、若平面直角坐标系内的 两点满足：点 都在 的图象上；点 关于原点对称，则称点对 是函数 的一个“姊妹点 对”（点对 与 可看作同一个“姊妹点对”）.已知函数则 的“姊妹点对”的个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B
