1、厚德启智 心怀天下高中数学导数 第 1 页 共 14 页导数经典例题精讲导数知识点导数是一种特殊的极限几个常用极限：（1） ， （ ） ；（2） ， .1lim0nli0na|10limx01lix两个重要的极限 ：（1） ；（ 2） (e=2.718281845).0slix lixe函数极限的四则运算法则：若 ， ，则0()xfa0()gb(1) ；(2) ;(3) .0limxfgab0lim0lim0xfabg数列极限的四则运算法则：若 ，则(1) ；(2),linnabn(3) (4) ( c 是常数)linablinblinca在 处的导数（或变化率或微商）)(xf0.0 00()
2、(limlixxfxfyy.瞬时速度： .00()ttstss瞬时加速度： .()(lilittvvtav在 的导数： .)(xf),b()dyffxx00()(limlixyffx函数 在点 处的导数的几何意义(fy0函数 在点 处的导数是曲线 在 处的切线的斜率 ，) )(f)(,0fP)(0xf相应的切线方程是 .)(00xfy几种常见函数的导数(1) （C 为常数）.(2) .(3) .0 1()nQxcos)(sin xsin)(4) ； . (5) ; .x1)(lneaxlog1)(l xe axl导数的运算法则（1） .（2） .（3） .()uv()uv2()(0)uv复合函
3、数的求导法则 设函数 在点 处有导数 ，函数 在点 处的对应点 U 处有导()x()x)(fyx数 ，则复合函数 在点 处有导数，且 ，或写作uyf yf uxy. ()xf【例题解析】考点 1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例 1 是 的导函数，则 的值是 ()fx312fx(1)f考查目的 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.厚德启智 心怀天下高中数学导数 第 2 页 共 14 页解答过程 22(),(1)3.fxf故填 3.例 2.设函数 ,集合 M= ,P= ,若 M P,则实数 a 的取值范围是
4、( ) ()1af|()0xf|()0xfA.(-,1) B.(0,1) C.(1,+) D. 1,+)考查目的 本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.解答过程 由 0,;,1.xxax当 时 当 3x 1，则在区间（，3）上，f (x)0， f (x)为增函数；在区间（a1 ，）上，f (x)4 时，x 20， f (x)为增函数；在区间（3，）上，f (x)0 时，f (x)在区间（0，3 ）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么 f (x)在区间0，4上的值域是min(f (0)， f (4) )，f (3)，而 f (0)（2a3）e 30，f (3)a6，那么 f
5、 (x)在区间 0，4上的值域是 （2 a3）e 3，a6.又 在区间0，4上是增函数，5()4xgx且它在区间0，4 上的值域是 a2 ， （a 2 ）e 4，45由于（a 2 ）（a6 ） a2a （ ） 20，所以只须仅须1（a 2 ）（a6 ）0，解得 00 时，f(0)为极大值C、b=0 D、当 a0 时，f(0)为极小值厚德启智 心怀天下高中数学导数 第 11 页 共 14 页11、已知函数 y=2x3+ax2+36x-24 在 x=2 处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A、 （2， 3） B、 （3，+） C、 （2 ，+ ） D、 （- ，3 ）12、方程 6x5-15x
6、4+10x3+1=0 的实数解的集合中( )A、至少有 2 个元素 B、至少有 3 个元素 C、至多有 1 个元素 D、恰好有 5 个元素二、填空题13.若 f( x0)=2, =_.kxffk2)(lim0014.设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),则 f(0)=_.15.函数 f(x)=loga(3x2+5x2)( a0 且 a1) 的单调区间_.16.在半径为 R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为 _时它的面积最大.三、解答题17.已知曲线 C：y= x33 x2+2x,直线 l:y=kx,且 l 与 C 切于点 (x0,y0)(x00)，求直线 l 的方程及切点坐标.
7、18.求函数 f(x)=p2x2(1-x)p(p N+)，在0 ，1内的最大值.19.证明双曲线 xy=a2 上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数.20.求函数的导数(1)y=(x22x+3)e 2x;(2)y= .3121.有一个长度为 5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以 3 m/s 的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚 1.4 m 时，梯子上端下滑的速度.22.求和 Sn=12+22x+32x2+n2xn1 ,(x0,nN *).23.设 f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间，试确定 a 的取值范围，并求其单调区间 .24.设 x=1 与 x=2 是函数
8、f(x)=alnx+bx2+x 的两个极值点.(1)试确定常数 a 和 b 的值；(2)试判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.25.已知 a、b 为实数，且 bae ,其中 e 为自然对数的底，求证： abb a.26.设关于 x 的方程 2x2ax 2=0 的两根为 、 ( ),函数 f(x)= .142(1)求 f( )f( )的值；(2)证明 f(x)是 ， 上的增函数；(3)当 a 为何值时， f(x)在区间 ， 上的最大值与最小值之差最小？【参考答案】一、1.解析：y= esinxcosxcos(sinx)cos xsin(sinx), y(0)=e
9、 0(10)=1.答案：B2.解析：设切点为( x0,y0),则切线的斜率为 k= ,另一方面， y=( )= ,故0y59x2)(4y(x 0)=k,即 或 x02+18x0+45=0 得 x0(1)=3,y 0(2)=15, 对应有 y0(1)=3,y0(2)= ,因此得两个)5(9)5(4020 5319切点 A(3，3)或 B(15, ),从而得 y( A)= = 1 及 y( B)= ,由于切线过原点，故得切线：33)54251)(4lA:y=x 或 lB:y= .25x答案：A3.解析：由 =1, 故存在含有 0 的区间( a,b)使当 x(a,b),x0 时 0,于是当 x(a,
10、0)时 f(0)0, 当xf)0(lim xf)(x(0,b )时，f(0) 0,这样 f(x)在( a,0)上单增，在(0, b)上单减.答案：B4.解析：f n(x)=2xn2(1x) nn 3x2(1x) n-1 =n2x(1x) n-12(1 x) nx, 令 f n(x)=0,得 x1=0,x2=1,x3= ,易知n厚德启智 心怀天下高中数学导数 第 12 页 共 14 页fn(x)在 x= 时取得最大值，最大值 fn( )=n2( )2(1 )n=4( )n+1 .22答案：D5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C 11、B 12、C二、13.解析：根据导数的定义： f(
11、x 0)= (这时 )kxffk)(lim00 k.1)(2)(lim21)li)000xfkfxfk答案：114.解析：设 g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),则 f(x)=xg(x),于是 f( x)=g(x)+xg( x),f(0)=g(0)+0g(0)= g(0)=12n=n！答案：n!15.解析：函数的定义域是 x 或 x2,f ( x)= .(3x2+5x2)= ,3153lo2ea )2(13log56xea若 a1,则当 x 时，log ae0,6x+5 0,(3x1)(x+2)0, f(x) 0, 函数 f(x)在( ,+) 上是增函数，x 2时，f(x) 0.函数 f
12、(x)在(, 2)上是减函数.若 0a1,则当 x 时，f ( x)0,f (x)在( ,+) 上是减函数，当 x2 时，3131f(x)0,f(x)在( ,2)上是增函数.答案：(,2)16.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为 2x,高为 h，那么 h=AO+BO=R+ ,解得2xx2=h(2Rh), 于是内接三角形的面积为S=xh= ,)2()(43hR从而 21143.3232)()6()( hRhR令 S=0,解得 h= R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2 R)上列表如下：h (0, R)23R ( ,2R)23S + 0 S 增函数 最大值 减函数由此表可知，当 x= R
13、时，等腰三角形面积最大.23答案： R三、17. 解：由 l 过原点，知 k= (x00), 点( x0,y0)在曲线 C 上，y 0=x033 x02+2x0,y =x023x 0+2,y=3 x26 x+2,k=3x026x 0+2y又 k= ,3x 026x 0+2=x023x 0+2,2x023 x0=0,x 0=0 或 x0= .23由 x0,知 x0= ,厚德启智 心怀天下高中数学导数 第 13 页 共 14 页y 0=( )33( )2+2 = .k= = .380xy41l 方程 y= x 切点( ， ).4118. ,)p2)p)(f2令 f(x)=0 得，x=0 ，x=1，
14、x= ,在0，1上，f(0)=0，f(1)=0， .2p)(4)(f .p2max)(4)(f19.设双曲线上任一点 P（x 0，y 0）,20x|yk 切线方程 ,)(a0令 y=0，则 x=2x0 令 x=0，则 .2xy .a|1S20.解：(1)注意到 y0, 两端取对数，得lny=ln(x22x+3)+lne 2x=ln(x22x+3)+2 x,.)2( .)3()(32)(22x xeey(2)两端取对数，得ln|y|= (ln|x|ln|1x|),31两边解 x 求导，得 .1)(3)1(,xyxy21.解：设经时间 t 秒梯子上端下滑 s 米, 则 s=5 ,当下端移开 1.4
15、 m 时，t 0= ,295t15734又 s= (259t 2) (92t)=9t ,121t所以 s(t 0)=9 =0.875(m/s).2)157(22.解：(1)当 x=1 时，S n=12+22+32+n2= n(n+1)(2n+1),当 x1 时，1+2x+3x 2+nxn-1 = ,61 21)(1xn两边同乘以 x,得x+2x2+3x2+nxn= 两边对 x 求导，得21)(xnSn=12+22x2+32x2+n2xn-1= .31)()1( n23.解：f( x)=3ax2+1.厚德启智 心怀天下高中数学导数 第 14 页 共 14 页若 a0,f(x) 0 对 x(,+)
16、 恒成立，此时 f(x)只有一个单调区间，矛盾.若 a=0,f(x)=10,x( ,+),f (x)也只有一个单调区间，矛盾.若 a0,f(x)=3 a(x+ )(x ),此时 f(x)恰有三个单调区间 .|31|31aa0 且单调减区间为(, )和( ,+)，|单调增区间为( , ).|31a|24.解：f( x)= +2bx+1,(1) 由极值点的必要条件可知：f(1)=f (2)=0, 即 a+2b+1=0,且 +4b+1=0,2a解方程组可得 a= ,b= ,f(x)= lnx x2+x,3261361(2)f(x)= x-1 x+1,当 x(0,1)时，f ( x)0,当 x(1,2
17、) 时，f(x) 0, 当 x(2,+ )时，f(x)0,故在 x=1处函数 f(x)取得极小值 ,在 x=2 处函数取得极大值 ln2.6534225.证法一：b ae,要证 abb a,只要证 blnaalnb,设 f(b)=blnaalnb(be),则f(b)=lna .b a e, lna1,且 1, f(b) 0.函数 f(b)=blnaalnb 在(e,+) 上是增函数，f (b)f(a )=alnaaln a=0,即 blnaa lnb0,blnaa lnb,a bb a.证法二：要证 abb a,只要证 blnaalnb (ea b ,即证 ,设 f(x)= (xe) ，则 f( x)= 0,函数 f(x)在)ln2ln1(e,+)上是减函数，又 e ab,f(a)f(b), 即 ,a bb a.ln26.解：(1)f( )= ,f( )= ,f( )=f( )=4,16821682(2)设 (x)=2x2ax 2, 则当 x 时， (x)0,224()(4)4 aaaf.01()1(22xx函数 f(x)在( ， )上是增函数.(3)函数 f(x)在 ， 上最大值 f( )0,最小值 f( )0,|f( )f( )|=4,当且仅当 f( )=f( )=2 时，f( )f( )=|f( )|+|f( )|取最小值 4，此时 a=0,f( )=2.
