1、习题精选精讲线面垂直的证明中的找线技巧 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1 如图 1，在正方体 中， 为 的中点， AC 交 BD 于点 O，求证： 平面 MBD1ABCDM1C1A证明：连结 MO， ，DB ，DB AC， ， 11A1ADB平面 ，而 平面 DB O设正方体棱长为 ，则 ， a213a234a在 Rt 中， ，1ACM942211M OMDB= O， 平面 MBD1O1A评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明 利用面面垂直寻求线面垂直2 如图 2， 是ABC 所在平面外的一点，且 PA平面 ABC，平面 PAC平面 PBC求证：BC平面
2、PAC P证明：在平面 PAC 内作 ADPC 交 PC 于 D因为平面 PAC平面 PBC，且两平面交于 PC，平面 PAC，且 ADPC， 由面面垂直的性质，得 AD平面 PBC 又AD平面 PBC，ADBCBCPA平面 ABC， 平面 ABC，PABC BCADPA=A，BC平面 PAC（另外还可证 BC 分别与相交直线 AD，AC 垂直，从而得到 BC平面 PAC） 评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂
3、直 线面垂直 线线垂直一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直 线面垂直 面面 判 定性 质 判 定性 质垂直这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题下面举例说明3 如图所示， ABCD 为正方形， 平面 ABCD，过 且垂直于 的平面分别交 于 SASCSBCD平EFG平求证： ， AESBGD证明： 平面 ABCD，SA ， 平面 SAB又 平面 SAB，BCBCAE 平面 AEFG， 平面ESSBC 同理可证 GD习题精选精讲评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面
4、垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化4 如图，在三棱锥 BCD 中， BC AC， AD BD，作 BE CD， 为垂足，作 AH BE 于 求证： AH平面 BCD证明：取 AB 的中点 ，连结 CF， DF ， ACBFA ， DB又 ， 平面 CDF 平面 CDF， 又 ， ， E 平面 ABE， H ， ， ，AHCCDE 平面 BCD评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直如此反复，直到证得结论5 如图， 是圆 的直径， 是圆周上一点
5、， 平面 ABC若 AE PC ， 为垂足， 是 PB 上任意一点，BPA求证：平面 AEF平面 PBC证明： AB 是圆 的直径， ACB 平面 ABC， 平面 ABC，PAB 平面 APCC 平面 PBC， 平面 APC平面 PBC AE PC，平面 APC平面 PBC PC， AE平面 PBC 平面 AEF，平面 AEF平面 PBCAE评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系6. 空间四边形 ABCD 中，若 ABCD，BCAD ，求证：ACBD A D B O C 证明：过 A 作 AO平面 BCD
6、于 O。 ABDB， 同理 BCDO O 为ABC 的垂心 于 是 BDC习题精选精讲7. 证明：在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，A 1C平面 BC1D1 C1 A1 B1 D C A B 证明：连结 ACBDACAC 为 A1C 在平面 AC 上的射影CBD111同 理 可 证 平 面8. 如图， P平面 ABCD，ABCD 是矩形，M、N 分别是 AB、PC 的中点，求证： MNAB P N D C A B M.证：取 PD 中点 E，则NC/12 P E N D C A B MENAM/又 平 面 平 面平 面CDPPDEACENA/9 如图在 ABC 中， ADBC ， ED
7、=2AE， 过 E 作 FGBC ， 且将 AFG 沿 FG 折起，使AED=60，求证:AE平面 ABC分析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。解：FGBC，ADBCAEFGAEBC A BCDFEGA习题精选精讲设 AE=a，则 ED=2a由余弦定理得：AD2=AE2+ED2-2AEEDcos60=3a2ED 2=AD2+AE2ADA EAE平面 ABC10 如图, 在空间四边形 SABC 中, SA平面 ABC, ABC = 90, ANSB 于 N, AMSC 于 M。求证: ANBC; SC 平面 ANM分析:要证 ANBC, 转证, BC 平面 SAB。要证 SC
8、平面 ANM, 转证, SC 垂直于平面 ANM 内的两条相交直线, 即证 SCAM, SCAN。要证 SCAN, 转证 AN平面SBC, 就可以了。证明:SA平面 ABCSABC又BC AB, 且 AB SA = ABC 平面 SABAN 平面 SABAN BC AN BC, ANSB, 且 SB BC = BAN 平面 SBCSCC 平面 SBCAN SC又AM SC, 且 AM AN = ASC平面 ANM11 已知如图，P 平面 ABC，PA=PB=PC，APB=APC=60，BPC=90 求证：平面 ABC平面 PBC分析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一
9、平面垂直即可。显然 BC 中点 D，证明 AD 垂直平 PBC 即可证明：取 BC 中点 D 连结 AD、PD PA=PB；APB=60 PAB 为正三角形同理 PAC 为正三角形 设 PA=a 在 RTBPC 中，PB=PC=aBC= a PD= a 在 ABC 中 AD=222BA= aAD 2+PD2= =a2=AP2APD 为直角三角形即 ADDP 又ADBCAD平面 PBC平面 ABC平面 PBC12. 如图，直角 BAC 在 外， /AB， C，求证： BA在 内射影 BAC为直角。 习题精选精讲证：如图所示， A、 B， CA为射影。 B/确定平面 CAACBB 面/为 直 角面
10、 ACA13 以 AB 为直径的圆在平面 内， P于 A，C 在圆上，连 PB、PC 过 A 作 AEPB 于 E，AFPC 于 F，试判断图中还有几组线面垂直。 EF解： PCAFBBCABP面 面为 直 径 PBAEF面面 AEF两个平面垂直例题解析1在三棱锥 ABCD 中，若 ADBC，BDAD ，BCD 是锐角三角形，那么必有（ ）A平面 ABD平面 ADCB平面 ABD平面 ABCC平面 ADC平面 BCDD平面 ABC平面 BCD【解析】由 ADBC，BD AD AD平面 BCD，面 AD平面 ADC平面 ADC平面 BCD【答案】C2直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACB=90
11、 ，AC=AA 1=a，则点 A 到平面 A1BC 的距离是（ ）Aa B 2a C 2a D 3a【解析】取 A1C 的中点 O，连结 AO，AC=AA 1，AO A 1C，又该三棱柱是直三棱柱平面 A1C平面ABC又 BCACBCAO，因 AO平面 A1BC，即 A1O 等于 A 到平面 ABC 的距离解得：A 1O= 2a【答案】C3三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点 O，P 到三个面的距离分别是 3，4，5，则 OP 的长为（ ）A5 B5 2 C3 5 D2【解析】构造一个长方体，OP 为对角线【答案】B4在两个互相垂直的平面的交线上，有两点 A、B，AC 和 BD 分别是这两
12、个平面内垂直于 AB 的线段，AC=6，AB=8，BD=24 ，则 C、D 间距离为_习题精选精讲【解析】如图，CD=2ADC=22BD=2486= 67=265设两个平面 、，直线 l，下列三个条件：l，l， 若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的命题个数为（ ）A3 B2 C1 D0【解析】 ，其余都错【答案】C【典型例题精讲】例 1 如图 939，过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC，且ASB=ASC=60 ，BSC=90，求证：平面 ABC 平面 BSC图 939【证明】SB=SA=SC ，ASB=ASC=60 AB=SA=AC 取
13、 BC 的中点 O，连 AO、SO，则 AOBC，SO BC，AOS 为二面角的平面角，设 SA=SB=SC=a，又BSC=90， BC= 2a，SO= a，AO2=AC2OC 2=a21a2= a2，SA 2=AO2+OS2，AOS=90，从而平面 ABC平面 BSC【评述】要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角这也是证两平面垂直的常用方法例 2如图 940，在三棱锥 SABC 中，SA平面 ABC，平面 SAB平面 SBC图 940（1）求证：ABBC ；（2）若设二面角 SBCA 为 45，SA=BC，求二面角 ASCB 的大小（1）【证明】作 AHSB 于 H，平面 SAB平面 SB
14、C平面 SAB平面 SBC=SB，AH平面 SBC，又 SA平面 ABC，SABC ，而 SA 在平面 SBC 上的射影为 SB，BC SB，又 SASB=S ，BC平面 SABBCAB （2）【解】SA平面 ABC， 平面 SAB平面 ABC，又平面 SAB平面 SBC，SBA 为二面角 SBCA 的平面角，SBA=45设 SA=AB=BC=a，习题精选精讲作 AESC 于 E，连 EH，则 EH SC，AEH 为二面角 ASCB 的平面角，而 AH= 2a，AC= a，SC=3a，AE=6asinAEH= 23，二面角 ASCB 为 60【注】三垂线法是作二面角的平面角的常用方法例 3如图
15、 941，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形，PA=AD=a，M 、N 分别是 AB、PC 的中点（1）求平面 PCD 与平面 ABCD 所成的二面角的大小；（2）求证：平面 MND平面 PCD（1）【解】PA 平面 ABCD，CD AD ，PD CD，故PDA 为平面 ABCD 与平面 PCD 所成二面角的平面角，在 RtPAD 中，PA=AD，PDA=45（2）【证明】取 PD 中点 E，连结 EN，EA，则 EN 21CD AM，四边形 ENMA 是平行四边形，EAMNAEPD，AECD，AE平面 PCD，从而 MN平面 PCD，MN 平面 MND，平面 MND平面 PCD【注
16、】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证 MN平面 PCD 较困难，转化为证明 AE平面 PCD 就较简单了另外，在本题中，当 AB 的长度变化时，可求异面直线 PC 与 AD 所成角的范围例 4如图 942，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F、M、N 分别是 A1B1、BC 、C 1D1、B 1C1 的中点图 942（1）求证：平面 MNF平面 ENF（2）求二面角 MEFN 的平面角的正切值（1）【证明】M、N、E 是中点， CBE11 45MNCEB11 90即 MNEN，又 NF平面 A1C1， N平MN NF，从而 MN平面 ENFMN 平面 MNF，平面 MNF平
17、面 ENF习题精选精讲（2）【解】过 N 作 NHEF 于 H，连结 MHMN平面 ENF，NH 为 MH 在平面 ENF 内的射影，由三垂线定理得 MHEF，MHN 是二面角 MEFN 的平面角在 RtMNH 中，求得 MN= 2a，NH=3a，tan MHN= 26NHM，即二面角 MEFN 的平面角的正切值为 26例 5在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 的正方形，侧棱长为 3，E、F 分别是AB1、 CB1 的中点，求证：平面 D1EF平面 AB1C【证明】如图 943，E、F 分别是 AB1、CB 1 的中点，图 943EFACAB 1=CB1，O 为
18、AC 的中点B 1OAC故 B1OEF在 RtB 1BO 中，BB 1= 3，BO=1 BB 1O=30，从而OB 1D1=60，又 B1D1=2，B 1O1= 2OB1=1（O 1 为 BO 与 EF 的交点）D 1B1O1 是直角三角形，即 B1OD 1O1，B 1O平面 D1EF又 B1O平面 AB1C，平面 D1EF平面 AB1C1棱长都是 2 的直平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，BAD=60，则对角线 A1C 与侧面 DCC1D1 所成角的正弦值为_【解】过 A1 作 A1GC 1D1 于 G，由于该平行六面体是直平行六面体，A 1G平面 D1C，连结 CG，A 1CG 即
19、为A1C 与侧面 DCC1D1 所成的角习题精选精讲A 1G= A1 D1 sinA 1 D1 G=2sin60=2 23= 而 AC= 120cos22BCAB=)2(22 A 1C= 41C，sinA 1CG= 43CG【答案】 432E 、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 CD 的中点，EF、BD 相交于 O，以 EF 为棱将正方形折成直二面角，则BOD=_【解析】设正方形的边长为 2a则DO2=a2+a2=2a2OB2=a2+a2=2a2DB2=DF2+FB2=a2+4a2+a2=6a2cos DOB=16a，DOB=1203如图 944，已知斜三棱柱 ABCA1B1C1 的
20、各棱长均为 2，侧棱与底面成 3的角，侧面 ABB1A1 垂直于底面，图 944（1）证明：B 1CC 1A（2）求四棱锥 BACC1A1 的体积（1）【证明】过 B1 作 B1OAB 于 O，面 ABB1A1底面 ABC，面 ABCB1平B 1O面ABC， B1BA 是侧棱与底面所成角， B 1BA= 3，又各棱长均为 2，O 为 AB 的中点，连 CO，则 COAB ，而OB1 CO=O，AB 平面 B1OC，又 B1C平面 OB1C，B 1CAB，连 BC1， BCC 1B1 为边长为 2 的菱形，B 1CBC 1，而AB BC1=B，B 1C面 ABC1A 1C 面 ABC1B 1CA
21、C 1（2）【解】在 RtBB 1O 中，BB 1=2，BO=1，B 1O= 3，V 柱 =Sh= 44 3=3， 1CBAV= 3V 柱 =1，CABV1=V 柱 CBA=31=24如图 945，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 a 的正方形，PA底面 ABCD，E 为 AB 的中点，且 PA=AB习题精选精讲图 945（1）求证：平面 PCE平面 PCD；（2）求点 A 到平面 PCE 的距离（1）【证明】PA平面 ABCD， AD 是 PD 在底面上的射影，又四边形 ABCD 为矩形，CDAD，CDPD，ADPD=D CD 面 PAD，PDA 为二面角 PCDB的平面角，PA=PB=A
22、D，PA ADPDA=45，取 RtPAD 斜边 PD 的中点 F，则 AFPD，AF 面 PAD CD AF，又 PDCD=DAF 平面 PCD，取 PC 的中点 G，连 GF、AG、EG，则 GF 21CD 又 AE 21CD，GF AE四边形 AGEF 为平行四边形 AFEG，EG 平面 PDC 又 EG 平面 PEC，平面 PEC平面PCD（2）【解】由（1）知 AF平面 PEC，平面 PCD平面 PEC，过 F 作 FHPC 于 H，则 FH平面 PECFH 为 F 到平面 PEC 的距离，即为 A 到平面 PEC 的距离在PFH 与 PCD 中，P 为公共角，而FHP=CDP=90
23、，PFHPCD PCDH，设 AD=2，PF= 2，PC=32482CDP，FH= 362A 到平面 PEC 的距离为 365已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形，对角线 AC=2，BD=2 ，E 、F 分别为棱 CC1、BB 1 上的点，且满足 EC=BC=2FB图 946（1）求证：平面 AEF平面 A1ACC1；（2）求异面直线 EF、A 1C1 所成角的余弦值（1）【证明】菱形对角线 AC=2，BD=2 3BC=2，EC=2 ，FB=1，取 AE 中点 M，连结 MF，设 BD 与 AC 交于点 O，MO 2EC FB平面 AEF平面 ACC1A1习题精选精讲（2）在
24、AA1 上取点 N，使 AN=2，连结 NE，则 NE AC A1C1故NEF 为异面直线 A1C1 与 EF 所成的角，连结 NF，在直角梯形 NABF 中易求得 NF= 5，同理求得 EF= 5在ENF 中，cosNEF= 5243，即 EF 与 A1C1 所成角的余弦值为 【解题指导】在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化
25、条件和转化应用【拓展练习】一、备选题1如图，AB 是圆 O 的直径，C 是圆周上一点，PA 平面 ABC（1）求证：平面 PAC平面 PBC；（2）若 D 也是圆周上一点，且与 C 分居直径 AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面（1）【证明】C 是 AB 为直径的圆 O 的圆周上一点，AB 是圆 O 的直径BCAC；又 PA平面 ABC，BC 平面 ABC，BCPA，从而 BC平面 PACBC 平面 PBC，平面 PAC平面 PBC（2）【解】平面 PAC平面 ABCD；平面 PAC平面 PBC；平面 PAD平面 PBD；平面 PAB平面 ABCD；平面PAD平面 ABCD2ABC
26、AB C是正三棱柱，底面边长为 a，D，E 分别是 BB，CC 上的一点，BD 21a，ECa（1）求证：平面 ADE平面 ACCA；（2）求截面ADE 的面积习题精选精讲（1）【证明】分别取 AC、AC 的中点 M、N，连结 MN，则 MNAABB ，B、M 、N、 B 共面，M 为 AC中点，BC =B A， B M AC，又 BM AA且AA AC=A BM平面 AACC 设 MN 交 AE 于 P，CEAC，PN NA 2a又 DB 21a，PNBDPN BD， PNBD 是矩形，于是 PDBN，BNBM，PD BMBM平面 ACCA，PD 平面 ACCA，而 PD平面 ADE，平面 ADE平面 ACCA（2）【解】PD平面 ACCA ，PD AE，而 PDBM 23a，AE aS ADE 21AEPD 2463a
