1、复数运算的常用方法复数运算问题在高考中出现的频率较高，它有效地考查了学生的运算能力因此，对复数的运算法则，我们必须牢固掌握，并会灵活运用除此之外，在代数式运算中要牢记常用的有关复数的关系式，以提高我们复数运算的速度下面例析几种常用的运算方法一、分母实数化对于分式型（或除法）的复数运算或化简问题，可先用分母实数化来解决，即同乘以分母的共轭复数特别地，运用分母实数化，有 1i， i， 1i例 1 (i)2（ ） （A） （B） i（C） 2i （D） 2i解：原式 i()(12)iA，故选（C） 二、运用 n的周期性由于 4i1， 4i， 42in， 43*ii()nN，于是就有423i0nn例
2、2 5i1（ ） （A） i （ B） i （ C） 205 （D ） 205解：由 ，原式 20541ii，故选（A ） 三、运用乘法公式是指直接运用乘法公式计算，即 (i)i()()iabcdabdc例 3 设复数 12iz，则 2z（ ） （A） （B） 3（C） i （D） i解：原式 2()()12i2i3，故选（A） 四、运用 1ii， 4i先化简后代入，再计算，可减少运算量例 4 22(i)(i)_解：由 1，则原式 1i2i1五、运用 3i2的性质 31， 1， ； 210， 210例 5 复数5(13i)的值是（ ） （A） 6 （B） 6 （C） 14 （D ） 3i4解：
3、由 13i2， 213i则原式56()，故选（A ） 六、运用 2z进行转换此公式一边为两复数的积，一边为非负实数，是实数与复数相互沟通的桥梁例 6 若 z， 1C， 1z，且 2z，求 14z的值解： 2， 4， 11124()复数问题中的数学思想在解决复数问题时，若能适当地运用数学思想，往往能迅速找到解题的突破口，同时能提高同学们的思维能力和数学素养，增强分析问题、解决问题的能力一、函数思想函数思想是一种重要的数学思想，有关复数的最值问题，常通过构造函数利用函数的性质求解例 1 已知复数 cosin(02)z ，求 为何值时， 1iz取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值分析：本题可以转
4、化为利用三角函数求最值的问题解： 22icsi(1)(cos1)(sin)z 2(oin)3234 0 ，当 74时， max1i1z；当 34时， max1i21z二、数形结合思想复数的表示形式常含有明显的几何意义在处理复数问题时，灵活地运用复数的几何意义，以数释形、以形助数，可使许多问题得到快捷地解决例 2 设复数 z满足 1，求 (34i)z的最值分析：依据复数的几何意义求解解：由复数的几何意义知 表示复数 的对应点 Z的轨迹是以 (0)， 为圆心， 1为半径的圆因而所求向量的几何意义是求此圆上的点到点 (34)C， 的距离的最大值与最小值如右图易知 2max(i)13416zAO，in
5、34B例 3 已知集合 MzzC ， ， i2NzzC， ，PN（1）指出集合 P在复平面内所对应的点表示的图形；（2）求集合 中复数的模的最值分析：利用复数的几何意义确定图形，进而转化为方程关系，求得复数的模的最值解：（1）由 1z 可知，集合 在复平面内所对应的点集是以点 (10)， 为圆心，以 为半径的圆面（含边界） ；由 i2可知，集合 N在复平面内所对应的点集是以 ()， 、 2， 为端点的线段的中垂线 l因此集合 P是圆 1z截直线 l所得的一条线段 AB（设 ， 是两个交点） ；（2）易求得圆的方程为 20xy，直线 l的方程为 1yx解方程组21xy，得交点 2A， 、 2B，
6、 ， O， ，点 O到直线 l的距离为，且过 O向直线 l引垂线，垂足在线段 上又 2，故集合 P中复数的模的最大值为 2，最小值为 2三、整体思想对于有些复数问题，若从整体上去观察、分析题设结构，充分利用复数的有关概念、共轭复数与模的性质等，对问题进行整体处理，可进一步提高灵活、综合运用知识的能力例 4 设复数 z和它的共轭复数 z满足 423iz，求复数 z的值分析：充分利用共轭复数性质、复数的模的意义、复数相等的充要条件即可解出在求解过程中，整体代入可获得简捷、明快、别具一格的解法解：设 i()zabR， ，将 iz化为 2()3iz由 2)2i4a，整体代入，得 4ia， 341iz根
7、据复数相等的充要条件，得到 21ab，解得321.b，故 四、分类讨论思想分类讨论就是将数学对象划分为不同种类进行研究或求解的一种数学思想通过合理的分类讨论，可以使较复杂的问题简单化有关复数问题中若含有参数，常常需要根据参数的范围分类讨论例 5 已知 mR，复数 2()(3)i1mz当 m为何值时：（1） z；（2） 是纯虚数；（3） 对应的点位于复平面第二象限；（4） z对应的点在直线 30xy上分析：复数 i()abR， ， ，当且仅当 b时， zR；当且仅当 0a且 b时， z为纯虚数；当 ， 时， 对应的点位于复平面的第二象限；复数 z对应的点的坐标是直线方程的解，这个点就在这条直线上
8、解：（1）由 230m且 1，得 3m故当 3时， zR；（2）由 2()1， ，解得 或 2故当 0或 时， z为纯虚数；（3）由 2()130m， ，解得 3m或 12故当 或 时， z对应的点位于复平面的第二象限；（4）由 2()()301m，得2(4)01m，解得 0或 5故当 或 时， z对应的点在直线 30xy上例 6 已知复数 (2)()ixxza， aR，当 在 ()， 内变化时，试求z的最小值 ()ga分析：设法表示出 z来，然后转化求解，针对 的情况讨论解： 22222()()()xxxxzaaa令 t，则 t ，且 t从而 222()ztt，当 a ，即 时， ga；当
9、2，即 时， 2()21a五、转化思想在解决一些复数问题时，常需要将复数问题转化为实数问题来解决例 7 设 z是虚数， 1z是实数，且 1（1）求 的值及 的实部的取值范围；（2）设 1zu，求证： u为纯虚数；（3）求 2的最小值分析：所给条件与复数的概念有关系，不妨设 i()zabR， ，且 0b，从而转化为实数问题（1）解：设 izab， R， 且 0b，则 221i iia 是实数， 0， 2ab，即 z于是 ， 12， 1a故 z的实部的取值范围是 ， ；（2）证明：221i1ii()1zabbuaa a， 且 0b， u为纯虚数；（3）解：222i1(1)baa21()3()a ，
10、 10a于是 22()31u 当且仅当 1a，即 时等号成立 2的最小值为 新题速递复数的题目具有活而不难的特点，且常考常新，要求具有灵活处理问题的能力，注意抓好基础，对复数的概念和运算要熟练掌握同时在运算过程中要注意复数问题实数化方法，复数相关公式的灵活运用等同学们在阅读本版“复数运算的常用方法”的基础上，再看下例例 设 i是虚数单位， 13i2，则使得 (i)1n成立的最小的正整数 n的值等于_分析：可以先将复数 i求出，再取 n， ， ， 逐一计算验证，从而求出 的最小值；也可以根据复数 i的幂值的周期性进行求解解法一：由于 13i2，所以 ii，于是 213(i)i， 3()i， 413()i2， 531()i2，6(i)， 7(i)i2， 8()i， 9()i， 10()i，13(i)i2， 1() 所以 n的最小值是 解法二：由于 1i，2i， 3i， 4， 13i2， 213i， 1，所以 1212434(i)i(i)A，故使 n成立的最小正整数是 1点评：本题主要考查复数的乘法运算以及两个常用的虚数 i， 的有关性质对于虚数单位 i，它的幂值具有周期性，复数 3i2是 1的一个虚立方根，它的幂值也具有周期性，利用这些性质可以方便地解决这类题目，它能考查同学们探索问题、解决问题的能力
