1、- 1 -第三章：数系的扩充与复数的引入一、选择题:1. 设 z为复数，则“ 1z”是“ Rz”的 （ ）(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件2. 已知 1x，则 342)(x的值为 （ ）(A)-1 (B)4 (C)0 (D)23. 已知 62zM， 1zN，则 NM,的关系是 （ ）(A) N (B) (C) (D) 4. 复平面内两点对应的复数分别为，则向量对应的复数是（ ）5. 复平面内两点对应的复数分别为，则向量对应的复数是（ ）6. 设，则（ ）A. B. C. D. 7. 计算的结果为（ ）A. B. C. 1 D. 8. 若，则
2、 z 对应的点的轨迹是（ ）A. 圆 B. 两点 C. 线段 D. 直线9. 在复平面内，复数 i(1 3i)2 对应的点位于 ( )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限10. 设复数 z 满足 |1|,zi则 （ ） （A）0 （B）1 （C） 2（D）2二、填空题:11. 设 x、 y为实数，且 iiyix31521，则 x+ y=_.12. 已知复数 03,z复数 z满足 00,z则复数 z=_.13. 若 12ai, 4i，且 12为纯虚数，则实数 a 的值为 14. 已知虚数 ()xyi( ,R)的模为 3,则 yx的最大值是 ，1y的最小值为 .-
3、2 -三、解答题:15. 16. 17. 18. 若复数 z 满足，求证：19. 若复数 z 满足，求的最大、最小值。20. 设 ,是关于 x的方程 )(02Rmx的两个根，求 的值.- 3 -第三章：数系的扩充与复数的引入测试题答案A B D D D 6C 7. D 8. A 9.B 10. C 11.4 12. i23113.38 14 621 15. 证明： 充分性：, ,。必要性：， 。 16. 解： ，17.方法一：，（这是关于 x， y 的二元函数，消元略显繁琐，因此代数解法不简明，换角度看问题。 ）方法二：，方法三：（可利用复数运算几何意义化归为几何问题），而|z|则表示该圆上的
4、点到原点 O 的距离，- 4 -由平面几何知识可知，使圆上的点到原点距离取最大（最小）值的点在直线 OC 与圆的交点处。注：对比以上三种方法，几何法，即方法三更为直观便捷，应是解此类最值问题的首选方法。18. 证明：设， ，Ryxxixyix22224)1( )1()(119. 解法一：数形结合法设，则，化简，得， 。表示点到原点 O（0，0）的距离，而点（ x，y）在圆 C 上。由平面几何知识，可知|z|的最大值为，最小值为。解法二：利用复数的模的性质，即，去绝对值，得 解这个关于的不等式，得，当时，上式取等号由，把代入得，解得或当时，取最大值； 当时，取最小值。20. m4，（1）当 0，即 1时，方程有两个实根： m1， 1，(a)当 时， = 1=2；(b)当 时， = m2；（2）当 0，即 1时，方程有两个共轭虚根： im1，im1= m2.综上所述： =)1(,20,.- 5 -
