1、第7章 群、环和域7.1 半群和独异点 7.2 群与阿贝尔群 7.3 子群 7.4 陪集和拉格朗日定理 7.5 正规子群 7.6 同态和同构 7.7 循环群 7.8 置换群 7.9 环与域,返回总目录,第7章 群、环和域7.1半群和独异点7.1.1广群和半群代数系统又称为广群。定义7.1.1 设是代数系统，*是S上的二元运算，如果*满足结合律，则称代数系统为半群。例如，代数系统、R,、和都是半群。半群是一个非空集合和一个定义在其上的可结合二元运算组成的代数系统。设是半群，如果运算*又满足交换律，则称半群为可换半群。若S为有限集合，则半群称为有限半群。定理7.1.1 设是半群，*是S上的二元运算
2、，BS，如果*在B上是封闭的，则B,*也是半群。,证明：因为*在B上是封闭的，所以*是B上的二元运算。B,*是代数系统。a,b,cB，由于BS，所以a,b,cS，又由于S,*是半群，所以(a*b)*c=a*(b*c)，故B,*是半群。定义7.1.2 定理7.1.1中的半群B,*叫做半群S,*的子半群。例如，因为QR且乘法在有理数集上是封闭的，由定理7.1.1和定义7.1.2，Q,是R,的子半群，所以Q,是半群。类似的可以证明N,、0,1,和(0,1),是半群。定理7.1.2 设S,*是半群，S是有限集，则必有aS，使得a*a=a证明：bS，由*在S上的封闭性知：b2=b*bS b3=b2*bS
3、,因为S是有限集，所以必有ij使bi=bj 令p=ji，则p=ji1，而j=p i bi=bj=bp+i=bp*bi 于是下式成立：bq=bp*bq qi因为p=ji1，总可以找到k1，使得kpi对于S中的元素bkp，就有bkp=bp*bkp=bp*(bp*bkp)=b2p*bkp=b2p*(bp*bkp)=bkp*bkp令a=bkp，a*a=a,设I是正整数集合，是I上的普通加法，加法在正整数集合I上封闭且适合结合律。所以I,是半群。但因I是无限集，所以I中没有幂等元。【例7.1】设R是实数集，定义R上的二元运算*为：x, yR，x*y=x|y| 其中x|y|为实数x与实数y的绝对值的乘法运
4、算，证明是一个半群。证明：显然，x, yR，则x|y|R，故运算*在R上封闭。接下来只需验证*满足结合律。x, y, zR，有(xy)z=(xy)|z|=(x|y|)|z|=x|y|z|x(yz)=x|yz|=x|y|z|=x|y|z| 所以，(xy)z=x(yz)，故是一个半群。7.1.2 独异点定义7.1.3 设G,*是半群，如果运算*的单位元eG，则称半群G,*为含幺半群或独异点。,若G,*为独异点，且*是可交换的，则称G,*为可换的独异点。例如，设A是任一集合，P (A)是A的幂集合。集合并运算在P (A)上是封闭的，并运算的单位元P (A)，所以半群是独异点；交运算在P (A)上也是
5、封闭的，交运算的单位元AP (A)，所以半群也是独异点。显然，并运算和交运算满足交换律。所以，它们都是可交换独异点。定理7.1.3 设G,*是可交换的独异点，H为其所有幂等元的集合，则H,*为独异点。证明：a,bH，于是a*a=a，b*b=b。由*是可交换的，从而(a*b)*(a*b)=(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a=a*(b*a)=(a*a)*b=a*b 于是a*bH，即*在H上封闭，显然HG，根据定理7.1.1，H,*是半群。因e*e=e，故eH。所以H,*为独异点。,定理7.1.4 设G,*是独异点，则在*的运算表中任何两行两列都不相同。证明：先证明任何两列不相同。设运算*的
6、单位元是eG，xG，yG，xy因为e*x=x， e*y=y，所以e*xe*y，这说明e所在行的元素是两两互不相同的且都是G的元素。故在*的运算表中任何两列是不相同的，至少e所在行互不相同。类似地可证任何两行是不相同的。前面说过，和是半群。根据表6.1和表6.2，N4上的模4加法4有单位元0，N4上的模4乘法4有单位元1，所以和都是独异点。在4和4运算表中任何两行两列都不相同。参看表6.1和表6.2。定理7.1.5设是独异点，a,bG且a, b均有逆元，则, (a1)1=a a*b有逆元，且(a*b)1=b1*a1证明： 因a*a1=a1*a =e，故(a1)1=a 因(a*b)*(b1* a1
7、)=(a*(b*b1)*a1=a*e*a1=a*a1=e 又(b1* a1)*(a*b)=(b1*a1)*(a*b)=b1*(a1*a)*b=b1*e*b=b1*b=e 故(a*b)1=b1*a1,定义7.1.4 设是半群，如果它的每个元素均为G的某元素a的某一方幂，则称半群为由a所生成的循环半群，而a称为半群的生成元素，并记(a)。定理7.1.6 一个循环半群一定是可换半群。,证明：设为由a所生成的循环半群，x, yG，则x=am，y=an，于是 x*y=am*an=am+n=an+m =an*am=y*x 即是可换半群。7.2群与阿贝尔群7.2.1群的定义和性质定义7.2.1 设G,*是代
8、数系统，其中，G是非空集合，*是G上二元运算。如果运算*在G上是可结合的。运算*的单位元eG。xG，有x1G。则称G,*为群。有时也可将群G,*简称为群G。 根据定义，广群是一个非空集合和一个定义在非空集合的二元运算组成；半群是一个具有结合运算的广群；独异点是具有幺元的半群；群是每个元素都有逆元的独异点。,返回章目录,普通加法在I上是封闭的和可结合的，在I中有关于加法的单位元0，xI，有x1xI，所以I,是群。该群叫做整数加法群。乘法在Q-0上也是封闭的和可结合的，在Q-0中有关于乘法的单位元1，xQ-0，有x1 Q-0，所以Q-0,是群。用同样的办法可以证明R,是群，其中0是单位元，xR，x
9、1xR。群R,叫做实数加法群；但R,不是群，因为对普通乘法，0的逆元是不存在的；而R-0,是群，其中1是单位元，xR-0，有x1= R-0。【例7.2】设Ge,a,b,c，表7.1给出了*的运算表。证明G,*是群。,这样以来，可以将6.2节中关于xn的定义推广为： x0=ex1=xxn+1=xn *x n为正整数。xn(x1)n n为正整数。定义7.2.2 设是群，如果它的子代数也是群，则称是的子群。定义7.2.3 设是群，如果G是有限集，则称为有限群，如果G是无限集，则称为无限群。基数|G|称为群的阶数，简称群G的阶。定理7.2.1 群中不可能有零元。证明：当群的阶为1时，惟一元素为幺元。设
10、|G|1且群有零元。那么对群中任何元素xG，都有x=x =e，所以，零元就不存在逆元，这与是群相矛盾。,定理7.2.2 设是群，对于a, bG，必存在惟一的xG，使得ax=b。证明：设a的逆元是a1，令x= a 1b，则ax=a(a 1b)=(aa 1)b=eb=b 若另有一解x1，满足ax1=b，则a 1(ax1)=a 1b即x1=a 1b=x。定理7.2.3 设是群，对于任意的a,b,cG，如果有ab=ac或者ba=ca，则必有b=c。证明：设ab=ac，且a的逆元是a 1，则有a 1(ab)=a 1(ac)(a 1a)b=(a 1a)c 即eb=ec，故b=c；当ba=ca时，同样可证得
11、b=c。“对于任意的a,b,cG，如果有ab=ac或者ba=ca，则必有b=c。”就是第6章讲的消去律。所以，定理7.2.3可理解为：群中满足消去律。,定理7.2.4 在群中，除幺元e外，不可能有别的幂等元。证明：因为ee=e，所以e是幂等元。设aG且aa=a，则有a=ea=(a 1a)a=a 1(aa)=a 1a=e即a=e。7.2.2阿贝尔群定义7.2.4 设是群，如果二元运算*是可交换的，则称该群为阿贝尔(Abel)群，或称可交换群。整数加法群I,中的加法运算是可交换的，所以，整数加法群是阿贝尔群，群R-0,中的乘法运算也是可交换的，所以，R-0,也是阿贝尔群。定理7.2.5设是群，则是
12、阿贝尔群的充要条件是对任意的a,bG,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 证明：设是阿贝尔群，下证对任意的a,bG,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b),对任意的a, bG，有a*b=b*a，因此，(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b) 即(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)设对任意a, bG，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)，下证是阿贝尔群。ab=e*(a*b)*e=(a 1*a)*(a*b)*(b*b 1)=a 1(a(a*b)*b)*b 1=a 1*(a*a)*(b*b)*b 1=a1(a
13、*b)*(a*b)*b1=(a 1a)*(b*a)*(b*b 1)=e*(b*a)*e=b*a即得a*b=b*a，因此群是阿贝尔群。,返回章目录,7.3 子群 7.3.1子群的概念定义7.3.1 设是群，H是G的非空子集，如果也构成群，则称是的子群。由子群的定义可以看出，如果H是G的非空子集，考察H,*是否是群G,*的子群，应当验证：运算*在H上封闭。群G中的幺元eH。xS，有x1H定理7.3.1 设是一个群，是的子群，则中的幺元e必定也是中的幺元。证明：设中的幺元为e1，对于任意aHG，有 e1*a=a=e*a 由消去律得e1=e。,如果G,*是群，其中e单位元。e和G都是G的非空子集，e,
14、*和G,*也都构成群，它们是G,*的子群，这是两个特殊的子群。定义7.3.2 设G,*是群，e,*和G,*是G,*的子群，称为群G,*的平凡子群。7.3.2 子群的判定用定义证明H,*是群G,*的子群，要验证三个条件。下面的定理说明，在有限群中，只需验证一个条件也能证明H,*是群G,*的子群。定理7.3.2 设G,*是群，A是G的非空子集，如果A是一个有限集，只要运算*在A上封闭，则是G,*的子群。证明：G,*是群，则G,*是半群，由定理7.1.1知A,*是半群。以下证明A中有幺元e且A中每一个元素都有逆元。 证明A中有幺元e。,ba，因为运算*在a上封闭，所以b2=b*bab3=b2*ba由
15、于A是有限集，所以必存在正整i和j，不妨设ij，使得bi=bj从而有 bi=bi*bji和bi=bji*bi根据群中的消去律得bji=e，即bji是群G,*的幺元。且这个幺元也在G的非空子集A中。 证明S中每一个元素都有逆元。如果ji1，那么bji=b*bji1和bji=bji1*b，即bji1是b的逆元，b1= bji1且bji1A。如果ji=1，b=bji，那么b是幺元。所以b1= b。【例7.3】求群的所有非平凡子群。,定理7.3.3 设G,*是群，H是G的非空子集，如果对于H中的任意两元素a和b有a*b 1H，则是G,*的子群。证明：首先证明G中的幺元e也是H中的幺元。任取H中的元素a
16、，因为aHG，所以e=a*a 1H且 a*e=e*a=a，即e是H中的幺元。其次证明在H中的每一元素都有逆。对任意aH，因为eH，所以e*a 1H，即a 1H。最后证明*在H上封闭。对任意的a,bH，由上可知 b 1H，而b=(b 1) 1，所以a*b=a *(b 1) 1H。因此，H,*是G,*的子群。7.3.3 元素的阶及其性质定义7.3.3 设G,*是群，a是G中的元素。如果存在正整数n，使得an=e，则称元素a为有限阶元素，满足上述条件的最小正整数n称为元素a的阶数，记为|a|=n；如果不存在这样的正整数n，则称a为无限阶元素。,显然，幺元e的阶数为1。定理7.3.4 如果群G,*的一
17、个元素a的阶是r，则ak=e当且仅当k是r的倍数。证明：设ak=e，下证k是r的倍数。设 k=tr+q(0qr)，e=ak=atr+q=atr*aq=(ar)t*aq=(e)t*aq=e*aq=aq，但是r是使得 ar=e的最小的正整数，故q=0，即k=tr。设k是r的倍数，即k=tr，下证ak=eak =atr=(ar)t=et=e。定理7.3.5 群中任何元素和它的逆元的阶数相同。证明：设a是群中任意元素，a的阶数为n，即an=e(e为群的幺元)。而(a1)n=(an)1=e1=e。所以a1为有限阶元素。设a1的阶数为m，mn。因为am=(am)1)1=(a1)m)1=e1=e。这与a的阶
18、数为n相矛盾。所以a1的阶数为n。定理7.3.6 设G,*是n阶群，a是G中的任意元素，|a|=k，则kn。,证明：因为|G|=n，在n1个元素a，a2，an， an1中至少有两个相同。设ai=aj，1ijn1。 aji=aj*ai=ai*ai =e，1jin。由定理7.3.4，kjin。所以kn。定理7.3.7 设G,*是群, aG，|a|=k，令S=a,a2,ak，则S,*是G,*的子群。证明：aiS，ajS，当ijk时，ai*aj=aijS当ijk时，ai*aj=ak* aijk=e*aijk=aijkS 所以*在S上封闭。根据定理7.3.2，S,*是G,*的子群。 7.4 陪集和拉格朗
19、日定理定义7.4.1 设是群的子群，a是G中任意一个元素，则称集合Ha=h*a|hH (aH=a*h|hH )为由a确定的子群H,*在群G,*中的右(左)陪集，简称为H关于a的右(左)陪集，a叫做右(左)陪集Ha(aH)的代表元。,返回章目录,【例7.4】设G,*是Klein四元群，其中，G=e,a,b,c，二元运算*的运算表如表7.1所示。令H=e,a，H,*是G,*子群。试求子群H,*在群G,*中的左陪集eH,aH,bH,cH和右陪集He,Ha,Hb,Hc解： eH=e*e,e*a=e,a=HaH=a*e,a*a=a,e=eH=HbH=b*e,b*a=b,ccH= c*e,c*a=c,b=
20、bHHe= e*e,a*e=e,a=HHa=e*a,a*a=a,e=He=HHb=e*b,a*b=b,cHc= e*c,a*c=c,b=Hb以下讨论右陪集的性质：定理7.4.1 设H,*是群G,*的子群，H的右陪集具有下述性质：, aHa，H=He。 Ha与H的基数相同。xHa，都有Hx=Ha。这一性质表明Ha的代表元可在Ha中任意选取。Ha=Hb的充分必要条件是a*b 1H。对于H的任意两个右陪集Ha, Hb，则Ha=Hb或HaHb =证明因为a=e*ah*a|hH，所以aHa。又He=h*e|hH=h|hH=H，所以He=H。h1,h2H，且h1h2，则h1*ah2*a，否则，按消去律h1
21、=h2。设f：HHa，f(h)=h*a。可以证明f是H到Ha的双射。故Ha与H的基数相同，即|Ha|=|H|。xHa，令x=h1*a，h1H。于是h*xHx，则有h *x =h*(h1*a)=(h*h1)*a，由于H是子群，所以h*h1H。于是 (h*h1)*aHa，即h*xHa。HxHa。同样可证HaHx，这就证明了Hx=Ha。,充分性。若a*b 1H，则存在h1H，使得a*b1=h1，于是有a=h1*bHb。由得Ha=Hb。必要性。若Ha=Hb，由得aHa=Hb，于是存在hH，使得a=h*b。故a*b 1H。若xHaHb，xHa且xHb，则h1,h2H，使x=h1*a =h2*b；于是a*
22、b 1=h11*h2H。由得Ha=Hb。这就证明了对于H的任意两个右陪集Ha, Hb，则Ha=Hb或HaHb=。定理7.4.2 设是有限群，是的子群，则G可以表示成两两不相交的的右陪集的并。即存在一个正整数m，使得G=Ha1Ha2Ham，其中，HaiHaj=，ij，i, j=1, 2, , m。证明：因为是有限群，所以在中的右陪集个数有限。设所有不同的右陪集为Ha1,Ha2,Ham，共m个。xG，则有xHxHa1Ha2Ham，故 GHa1Ha2Ham,又显然 Ha1Ha2HamG 所以 G=Ha1Ha2Ham由定理7.4.1的得Ha1,Ha2, ,Ham是两两不相交的。例如，设G,*是Klei
23、n四元群，其中，G=e,a,b,c。令H=e,a，H,*是G,*子群。子群H,*在群G,*中的右陪集有两个：He=Ha=e,a，Hb=Hc=b,c。G=e,a,b,c=e,ab,c= HeHb，而e,ab,c=。当是无限群时，对于的子群仍可以考虑它的全部不同的右陪集的集合，设为Hxi|xiG，它可以是有限的或无限的。类似定理7.4.2有G=Hx1Hx2Hxm 其中，HxiHxj=，ij，i, j=1, 2, , m, 以上是右陪集的一些性质。左陪集也有类似性质，限于篇幅这里就不赘述了，由读者总结。,一般地说，对于群G,*的子群H,*不能保证aH=Ha，但对某些子群H,*有aH=Ha。称这些子群
24、为正规子群。关于正规子群的详细内容将在下一节中介绍。尽管H,*在G,*中的左陪集和右陪集是不一定相等的，但是，可以证明H,*在G,*中的左陪集数和右陪集数是相等的。今后不再区分左陪集数和右陪集数，统称为H,*在G,*中的陪集数，记为|G:H|定理7.4.3(Lagrange定理)设G,*是有限群，H,*是G,*的子群。则|H|是|G|的因子。证明：设H,*在G,*中的陪集数|G:H|=r，并设全部不同的右陪集为Ha1,Ha2,Har。由定理7.4.2知，它们两两不相交的且G=Ha1Ha2Har于是 |G|=|Ha1|+|Ha2|+|Har|=|H|+|H|+|H|=r|H| 即|G|=r|H|
25、。,Lagrange定理表明，对一个有限群G，G的子群的阶只可能是G的阶的因子。例如，若G是4阶群，则G至多只可能有阶数为1, 2, 4的子群，而绝不会有阶为3的子群；若G是6阶群，则G至多只可能有阶数为1, 2, 3, 6的子群，而绝不会有阶为4或5的子群；若G是5阶群，则G只是有阶数为1, 5的子群，而绝不会有阶为2, 3, 4的子群。由定理7.4.3可得到如下重要推论。推论1 设G是n阶群，对于任意的aG，则a的阶|a|是n的因子，且G中任意元素x都适合方程xn=e。证明：设|a|=k，S=a,a2,ak，根据定理7.3.7，S,*是G,*的子群且|S|=k，由Lagrange定理(定理
26、7.4.3)可得k是n的因子。因为k是n的因子，所以存在整数m，使得n=km。于是an=(ak)m=em=e。,推论2 设是n阶有限群，n是素数。aG，ae，则|a|=n且G=a,a2, ,an 证明：设|a|=k，因为ae，所以2k；由定理7.3.6知kn，设kn，则2kn。又由推论1知，k为n的因子，即素数n有一个大于等于2且小于n的因子k，这与n是素数矛盾。所以k=n。令S=a,a2,an，由定理7.3.7知S,*是G,*的子群，SG。而|S|=n=|G|。所以G=S=a,a2,an。下面举几个例子，通过这些例子看到此定理7.4.3及其推论的一些简单应用。 【例7.5】证明10阶群中必含
27、有5阶元。证明：设是10阶群，由推论1知G中的元素只可能是1阶(幺元)，2阶，5阶或10阶元。若G中含有10阶元，设这个10阶元是a，e=a10=(a2)5，则a2是5阶元。若G中不含10阶元，那么G中非幺元的阶数只能是2或5。,如果G中无5阶元，只有2阶元，即aG，有a2=e。则(a*b)*(a*b)=e=e*e=(a*a)*(b*b)，根据定理7.2.5，G是阿贝尔群。取G中两个不同的2阶元a和b，令H=e,a,b,a*b易证是的子群，但|H|=4，|G|=10， 与Lagrange定理矛盾。【例7.6】 证明阶数小于6的群都是阿贝尔群。证明：设是阶小于6的群。若|G|=1，则群是平凡的，
28、显然是阿贝尔群。若|G|是素数，即|G|是2，3和5。由推论2知G=a,a2,ak，其中k=2,3,5。aiG，ajG， ai*aj= aij=aj*ai，所以 阿贝尔群。若|G|=4，若G中含有4阶元，比如说a，则G=a,a2, a3,a4。由刚才的分析可知是阿贝尔群。若G中不含4阶元，根据Lagrange定理，G中只含1阶和2阶元，即aG，有a2=e。则(a*b)*(a*b)=e=e*e=(a*a)*(b*b)，根据定理7.2.5，G是阿贝尔群。,返回章目录,说明任何群都存在正规子群。群的非平凡子群，有的是正规子群，有的不是。【例7.9】证明阿贝尔群的子群都是正规子群。证明：设G,*是阿贝
29、尔群，H,*是G,*的子群。aG，aH=a*h| hH=h*a| hH=Ha 所以，H,*是G,*的正规子群。定理7.5.1 设H,*是群G,*的子群，则下列命题等价。 H,*是G,*的正规子群。 gG，有gH=Hg。 gG，有H=g1Hg，其中，g1Hg=g1*h*g|hH 。 gG, hH，有g1*h*gH。证明：与的等价性是显然的。证与的等价性，先由推。若gG，有gH=Hg，则hH，有g*hgH=Hg，所以,g*hHg。于是存在h1H，使得g*h=h1*g，于是h=g1*h1*gg1Hg。这样便有Hg1Hg。g1*h*gg1Hg，其中hH，h*gHg，由Hg=gH知，h1H使得h*g=g
30、*h1，从而有g1*h*g=h1H，即g1*h*gH。这就证明了g1HgH由此得知，gG，有g1Hg=H。由推。若gG, hH，有g 1*h*gH，则hH，存在h1H，使得h1=g1*h*g，于是h*g=g*h1gH。由于h是H中的任意元素，所以HggH。同理可证gHHg，即 gH=Hg。与的等价性是显然的，证明从略。利用定理7.5.1可判别子群H是否是正规子群。尤其该定理的结论，它把判断H是否是正规子群归结到计算元素 g1hg是否在H中，这样有时是很方便的。下面再看几个应用定理7.5.1来判断H是否是正规子群的例子。,【例7.10】设G是全体nn实可逆矩阵关于矩阵乘法的群，令G中全体行列式为
31、1的矩阵集合H=X|XG, |X|=1，证明H是G的正规子群。证明：这是因为AG, XH，有所以A1XAH，即H是G的正规子群。【例7.11】设N,*是G,*的正规子群，H,*是G,*的子群，证明：NH,*是G,*的子群，其中，NH=n*h|nN, hH若H,*是G,*的正规子群，则NH,*是G,*的正规子群。证明：显然，NH是G的非空子集。a,bNH，设a=n1*h1, b=n2 * h2，这里n1,n2N, h1,h2H。则,a * b1=n1*h1* (n2*h2)1=n1*h1*(h21*n21)=n1*(h1*h21)*n21 由H,*是G,*的子群得h=h1*h21H。又由N,*是
32、G,*的正规子群，知h*n21hN=Nh，于是有nN，使h*n21=n*h。故 a*b1=n1*(h1*n21)=n1*(n*h)=(n1*n)*hNH 由于群的判别条件知，NH,*是G,*的子群。若H,*也是G,*的正规子群，则aG, n*hNH，有 a1*(n*h)*a=a1*n* (a*a1)*h*a=(a1*n*a)*(a1*h*a) 由于H,*是G,*的正规子群，N,*是G,*的正规子群，则有a1*n*aN, a1*h*aH。于是 a1*(n*h)*a=(a1*n*a)*(a1*h*a)NH由定理7.5.1得，NH,*也是G,*的正规子群。,返回章目录,7.6 同态和同构7.6.1代
33、数系统的同态和同构定义7.6.1 设和是两个代数系统，*和分别是A和B上的二元运算， f是从a到B的一个映射，a1,a2a有f (a1*a2)f (a1)f (a2) 则称f为由代数系统到的一个同态映射，简称同态；称代数系统与同态，记作 。把称为的同态像。其中f(a)f (a) | aA 若f：AB是单射，则称f为由到的一个单同态映射，并称与单同态。若f：AB是满射，则称f为由到的一个满同态映射，并称与 满同态。若f：AB是双射，则称f为由到的一个同构映射，并称与同构。记为。,【例7.12】设和是代数系统，其中，, 是数的加法和乘法，I是整数集，R是实数集。f：IR，定义为：xI,判断f是不是
34、代数系统到的同态？如果是，说明是单同态，满同态，还是同构？并求同态像。解：x, yI，当x和y都是偶数时：f (x+y)=1=11=f (x)f (y) 当x是偶数和y是奇数时：f (x+y)=-1=1(-1)=f (x)f (y)当x是奇数和y是偶数时：f (x+y)=-1=(-1)1=f (x)f (y)当x和y都是奇数时：f (x+y)=1=(-1)(-1)=f (x)f (y) 即f (x+y)=f (x)f (y)，所以f是同态函数。因为任何偶数的函数值为1，故f不是单射；又ranf=-1, 1R，故f不是满射。 所以不是单同态，不是满同态，也不是同构。同态像是。,【例7.13】设和
35、是代数系统，其中，, 是数的加法和乘法，R+是正实数集，R是实数集。f：R+R，定义为：xR+, f (x)=lnx 判断f是不是代数系统到的同态？如果是，说明是单同态，满同态，还是同构？并求同态像。解：x, yR+, f (xy)=ln(xy)=lnx+lny，故f(x)=lnx是同态函数。又因为f (x)=lnx是严格单调函数，只要x, y R+，xy有 f (x)=lnxlny=f (y) 所以，f (x)=lnx单射。再由f(R+)=R，故f(x)=lnx是满射，最后得到f(x)=lnx是双射。所以是单同态，满同态和同构。同态像是。【例7.14】设R为实数集，和分别为R上的加法和乘法运
36、算，证明与同态。证明：xR，设f(x)=2x，对任意y, zR有,f(y+z)=2y+z=2y2z=f(y)f(z) 故与同态。两个代数系统间的同态，不仅适用于具有一个二元运算的代数系统，也可以推广到具有多个二元运算的代数系统。例如，对于具有两个二元运算的代数系统和的同态定义如下：若存在一个映射f：XY，使得对任意x1, x2X，有 f(x1*x2)=f(x1)f(x2) f(x1x2)=f(x1)f(x2)则称f是从到的同态映射，并称与同态。 定义7.6.2 设是代数系统，*是A上的二元运算，如果f是由到的同态，则称f是自同态。如果f是由到的同构，则称f是自同构。,【例7.15】设是n阶阿贝
37、尔群，令f是从G到G的一个映射，定义为：f(x) =x1 ，验证f是自同构。证明：x,yG，f(x*y)=(x*y)1 =y1* x1= x1*y1 =f(x)* f(y)当xy时，如果x1=y1，则x=(x1)1=( y1)1=y，矛盾。所以x1y1，即f(x)f(y)，f是单同态。xG，x=(x1)1， x1G，使f(x1) = (x1)1= x，故f是满同态。从而f是自同构。定理7.6.1 设G是所有代数系统的集合，则G中代数系统之间的同构关系是G上的等价关系。证明：G，恒等映射IA是由A到A的双射函数，显然，IA是由到同构，所以，即自反性成立。设，设g是由到的同构映射，则g1是由到的同
38、构映射，即对称性成立。,设且，f是由到的同构映射，g是由到的同构映射，则gf是由到的同构映射，即传递性成立。所以G中代数系统之间的同构关系是等价关系。定理7.6.2 设f为由代数系统到代数系统的一个同态映射。如果是半群，那么同态像也是半群。如果是独异点，那么同态像也是独异点。如果是群，那么同态像也是群。证明： 设是半群，a,bf(A)，必有x,yA，使f(x)=a, f(y)=b因为是半群，必有x*yA，于是ab=f(x)f(y)=f(x*y)f(A)，即在f(A)上封闭。a,b,cf(A)，必有x,y,zA，使得f(x)=a，f(y)=b，f(z)=c,(ab)c=(f(x)f(y)f(z)
39、=f(x*y)f(z)=f(x*y)*z)=f(x*(y*z)=f(x)f (y*z)=f(x)(f(y)f(z)=a(bc) 即在f(A)上满足结合律。所以是半群。设是独异点，e是A中的幺元。af(A)，必有xA，使得f(x)=a，于是af(e)=f(x)f(e)=f(x*e)=f(x)=af(e)a=f(e)f(x)=f(e*x)=f(x)=a 即f(e)是f(A)中的幺元。因此是独异点。设是群，af(A)，必有xA，使得f(x)=a，因为是群，x1A且f(x1)f(A)，于是af(x1)=f(x)f(x1)=f(x*x1)=f(e)f(x1)a=f(x1)f(x)=f(x1*x)=f(e
40、) 所以a 1= f(x)1=f(x1)f(A)。因此是群。,推论 设f为由代数系统到代数系统的满同态， 如果是半群，那么也是半群。 如果是独异点，那么也是独异点。 如果是群，那么也是群。7.6.2 群的同态和同构定理7.6.3 设和是群，e1和e2分别是G1和G2中的幺元，f为由群到的一个同态映射，则 f(e1)=e2 aG1，f(a1)=f(a)1证明： f(e1)f(e1)=f(e1*e1)=f(e1)=f(e1)e2，由群的消去律有f(e1)=e2 aG1，f(a1)f(a)=f(a1*a)=f(e1)=e2f (a)f(a1)=f(a*a1)=f(e1)=e2 因此f(a1)f(a)
41、1,利用定理7.6.3可以证明两个群是不同构的。请看下面的例题。【例7.16】设Q,是有理数加法群， Q-0, 是非零有理数乘法群，试证明群Q,和群Q-0,不同构。证明：假设群Q-0,和群Q,同构，同构映射为 f：Q-0Q，由定理7.6.3知f(1)=0，于是f(1)f(1) =f(1)(1)=f(1)=0，从而f(1)=0，f不是双射，与f是同构映射矛盾。所以群Q,和群Q-0,不同构。定理7.6.4 设f为由群到群的一个同态映射，如果是的子群，则也是的子群。证明：设e1和e2分别是G1和G2中的幺元，由定理7.6.3知e2=f(e1)f(H)，所以f(H)非空。a,bf(H)，必有x,yH，
42、使得f(x)=a, f(y)=b，于是ab1=f(x)f(y)1=f(x)f(y1)=f(x*y1)由于是的子群，所以x*y1H，因此f(x*y1)f(H)，从而是的子群。,定理7.6.5 设f为由群到群的一个满同态映射，如果是的正规子群。则也是的正规子群。证明：由定理7.6.4知是的子群。af(H)，必有xH，使得f(x)=a。gG2，由于f是满射，必有yG1，使得f(y)=g。有gag1=f(y)f(x)f(y)1=f(y)f(x)f(y1)=f(y*x*y1) 因为是的正规子群，y*x*y1H，从而 gag1f(H)。这就证明了是的正规子群。定义7.6.3 设f为由群到群的一个同态映射，
43、e2是的幺元。令 Ker(f)=x|xG1f(x)=e2，称集合Ker(f)为同态映射f的核，简称为f的同态核。【例7.17】设R,是实数加法群，R-0,是非零实数乘法群，f是从R到R-0的一个映射，定义为：f(x)=ex。证明f是由R,到R-0,的同态；求出f的同态核Ker(f)。,证明：x,yR， f(xy)=exy =exey=f(x)f(y)。所以f是由 R,到R-0,的同态。Ker(f) =x|xRf (x)=1=x|xRex=1=0【例7.18】设和是群，e2是的幺元，令f是从G1到G2的一个映射，定义为：xG1， f(x)=e2。验证f是由到的同态；求出f的同态核Ker(f)。证
44、明：x,yG1f(x*y)=e2=e2 e2=f(x)f(y)。所以f是由到的同态。Ker(f)=G1例7.18中的同态f叫做零同态。定理7.6.6 设f为由群到群的一个同态映射，则Ker(f),*是的正规子群。,证明：设e1和e2分别是群和群的幺元。由定理7.6.3知f(e1)=e2，所以e1Ker(f)，故Ker(f)不空。a,bKer(f)，f(a*b1)=f(a)f(b1)=f(a)f(b)1=e2e21=e2e2=e2 因此a*b1Ker(f)。Ker(f) ,*是的子群。aKer(f)，xG1f(x*a*x1)=f(x)f(a)f(x1)=f(x)e2f(x1)=f(x)f(x1)
45、=f(x*x1)=f(e1)=e2所以x*a*x1Ker(f)，Ker(f),*是的正规子群。定理7.6.7 设f为由群到群的一个同态映射，e1和e2分别是群和群的幺元。则f是单同态的充分必要条件是Ker(f)e1。证明：设f是单同态，下证Ker(f)=e1由定理7.6.3知e1Ker(f)，只需证明Ker(f) e1，设Ker(f) e1，aKer(f)，ae1，f(a)=e2，而由定理7.6.3,知，f(e1)=e2，与f是单同态矛盾。故Ker(f)e1。 这就证明了Ker(f)e1设Ker(f)e1，下证f是单同态。a,bG1，设f(a)f(b)，f(a*b1)=f(a)f(b1)=f(a)f(b)1=f(a)f(a)1=e2 于是a*b1Ker(f)，因为Ker(f)e1，所以a*b1=e1，a=b。即f是单射，因此f是单同态。【例7.19】设和是群，e1和e2分别是群和群的幺元，而是群和群直积，其中定义为：a1,b1a2,b2=a1*a2,b1b2根据定理6.3.1，也是群，其幺元是e1,e2，a,b 1=a1,b1 令f是从G1G2到G1的一个映射，定义为：f(a,b)=a验证f是由到的满同态；求出f的同态核Ker(f)；证明同态核Ker(f) 是正规子群。证明：先证f是由到的满同态。,
