1、1,离散数学习题课（一） DISCRETE MATHEMATICS,第一章 小结,命题 命题的解释 原子命题、复合命题逻辑联结词（、） 命题公式 公式的解释永真式(重言式)永假式(矛盾式，不可满足公式)可满足式 命题公式的等价 替换定理 对偶式 对偶原理 基本等价式,2,范式 句节、子句、短语、析取范式、合取范式极小项-主析取范式 极大项-主合取范式 命题公式的蕴涵基本蕴含（关系）式 推理规则 P规则（称为前提引用规则） 规则（逻辑结果引用规则） 规则（附加前提规则）,一、基本概念,二、基本方法 1、应用基本等价式及置换规则进行等价演算 2、求主析取（主合取）范式的方法 1）等价变换法 2）真
2、值表技术法主合取范式-在命题公式的真值表中，使公式取值0时的解释所对应的全部极大项的合取式。主析取范式-在命题公式的真值表中，使公式取值1时的解释所对应的全部极小项的析取式。 3、推理的各种方法 （1）直接法 （2）利用CP规则 （3）反证法 4、消解法,3,析取- ,4,注：汉语中的“或”有时与有相同含义，称可兼或（相容或）；有时与不可兼或（排斥或，记为）有相同含义。 排斥或用真值表表示:,联结词表示析取。两个命题P和Q析取为一个新的命题PQ（读作P或Q）。PQ为真，当且仅当P或Q至少有一个为真。用真值表表示:,例：我上街去书店或去看电影两种可能可以同时为真 例：我坐第三排五号或第四排五号。
3、两种可能不能同时为真,又不能同时为假，只有一种是真，所以应是异或（排斥或）。,注：教室里有30或40人（或不是做联结词，而是指大约人数）,5,6,1、下列语句中哪些是命题？是命题的句子中哪些是简单命题？ （1）请快开门！ A.不是命题 B.是命题但不是简单命题 C.是命题而且是简单命题 （2）你去哪里？ A.不是命题 B.是命题但不是简单命题 C.是命题而且是简单命题 （3）这房间可真热呀！ A.不是命题 B.是命题但不是简单命题 C.是命题而且是简单命题 （4）x+y10。 A.不是命题 B.是命题但不是简单命题 C.是命题而且是简单命题 （5）苹果树和梨树都是落叶乔木。 A.不是命题 B.
4、是命题但不是简单命题 C.是命题而且是简单命题,三、典型例题,7,（6）2是质数或合数。 A.不是命题 B.是命题但不是简单命题 C.是命题而且是简单命题 （7）豆沙包是由面粉和红小豆做成的。 A.不是命题 B.是命题但不是简单命题 C.是命题而且是简单命题 （8）吃一堑，长一智。 A.不是命题 B.是命题但不是简单命题 C.是命题而且是简单命题 （9）n是偶数当且仅当它能被3整除。（n为一固定的自然数）A.不是命题 B.是命题但不是简单命题 C.是命题而且是简单命题,（1）A；（2）A；（3）A；（4）A；（5）B；（6）B；（7）C；（8）B；（9）B。,8,2、上题中语句（5）（9）为命
5、题，如下所示： （5）苹果树和梨树都是落叶乔木。 （6）2是质数或合数。 （7）豆沙包是由面粉和红小豆做成的。 （8）吃一堑，长一智。 （9）n是偶数当且仅当它能被3整除。（n为一固定的自然数）,9,10,3、设p：星期六天气好，q：我去公园玩。将下列命题符号化。 （1）只要星期六天气好，我就去公园玩。 （2）只有星期六天气好，我才去公园玩。 （3）除非星期六天气好，否则我不去公园玩。,（1）pq （2）qp或 p q （3）qp或 p q,11,表1 p (qp)的真值表,表2 (pq)( q p)的真值表,（1）为矛盾式；（2）为重言式；（3）为可满足式；,12,（1）pq，其中，p：22
6、4，q：地球静止不动，真值为0。 （2）pq，其中，p：224，q：地球运动不止，真值为1。 （3）pq，其中，p：地球上有树木，q：人类能生存，真值为1。 （4）pq，其中，p：地球上有水，q：是无理数，真值为1。,13,6、设A与B均为含n个命题变元的公式，判断下列命题是否为真？,（1）为假；（2）为真；（3）为真；（4）为假；（5）为假；（6）为假；（7）为真。,14,7、证明P(QR) (PQ)R,证明：P(QR) P(QR)（蕴涵式） P(QR) （蕴涵式）(P Q)R (结合律) (PQ)R (De Morgan定律) (PQ)R （蕴涵式）,15,8、试证明(P(QR)(P Q
7、R) P 证明： (P(QR)(P Q R) P(QR)(Q R)（分配律）P(QR)(QR) (De Morgan定律)PT（矛盾律）P (同一律),16,9、证明 (PQ) (PQ) (PQ) (PQ)(PQ) (PQ)(PQ) (De Morgan定律) (PQ)P) (PQ)Q) （分配律） (PP)(QP)(PQ)(QQ) (QP)(PQ) （矛盾律） (QP)(PQ) (De Morgan定律) (QP)(PQ) （蕴涵式） (PQ) （等价式）,10、 G=()，求主析取和主合取范式。 解：首先列出其真值表如下：,17,极大项,极小项,PQR,PQR,PQR,PQR,PQR,PQ
8、R,PQR,PQR,主析取范式=（PQR）（PQR）（PQR）（PQR）（PQR） 主合取范式=（ PQR ）（ PQR ）（PQR）,18,11、用等价变换法求上题中的主析取和主合取范式 ()（PQ）R （PQ）R （PR）（QR） （PR（QQ）（QR（PP） （PRQ）（PRQ）（QRP）（QRP） （PRQ）（PRQ）（QRP） （主合取范式）()（PQ）R （PQ）R （PQ（RR）（R（PP）（QQ） （PQR）（PQR）（RP）（RP） （PQR）（PQR）（RP（QQ）（RP（QQ） （PQR）（PQR）（RPQ） （RPQ）（RPQ）（RPQ）（主析取范式）,19,12、将下
9、面一段程序简化 If AB thenIf BC thenXElseYEnd ElseIf AC thenYElseXEnd End,执行程序段X 的条件为 (AB)（B C)( (AB) (AC) (A BC）,If A BC thenYElseXEnd,执行程序段Y的条件为 (AB) (B C)( (AB） （AC) A BC,20,13、如果今天是星期一，则要进行离散数学或数据结构两门课程中的一门课的考试；如果数据结构课的老师生病，则不考数据结构；今天是星期一，并且数据结构的老师生病。所以今天进行离散数学的考试。 解：设P：今天是星期一；Q：要进行离散数学考试；R：要进行数据结构考试；S：
10、数据结构课的老师生病；则PQR，SR，PSQ。,证: PS S ,I SR R ,I P ,I PQR QR ,I Q ,I,21,14、一位计算机工作者协助公安人员审查一件谋杀案，警方掌握的线索如下； （1）会计张某或邻居王某谋害了厂长。 （2）如果会计张某谋害了厂长，则谋害不能发生在半夜。 （3）如果邻居王某的证词是正确的，则谋害发生在半夜。 （4）如果邻居王某的证词不正确，则半夜时屋里灯光未灭。 （5）半夜时屋里灯光灭了，且会计张某曾贪污过。 计算机工作者用他的数理逻辑知识，很快推断出谋害者是谁？ 请问:谁是谋害者？怎样推理发现他？,22,解：设P：会计张某谋害了厂长 Q：邻居王某谋害了
11、厂长N：谋害发生在半夜。 O：邻居王某的证词是正确的。R：半夜时屋里灯光灭了。 A：会计张某曾贪污过。 上述案情有如下命题公式：（1）PQ （2）PN （3）ON （4）OR （5）RA,23,问题是需求证：PQ，PN，ON，OR，RA ？ 证： RA P R T，I OR P O T，I，E ON P N T，I PN P P T，I, E PQ P Q T，I,PQ，PN，ON，OR，RA Q结论是：邻居王某谋害了厂长。,24,15、证明下面论述的有效性。 在意甲比赛中，假如有四只球队，其比赛情况如下： 如果国际米兰队获得冠军，则AC米兰队或尤文图斯队获得亚军；若尤文图斯队获得亚军，国际米
12、兰队不能获得冠军；若拉齐奥队获得亚军，则AC米兰队不能获得亚军；最后，国际米兰队获得冠军。所以，拉齐奥队不能获得亚军。 解：设P：国际米兰队获得冠军；Q：AC米兰队获得亚军；R：尤文图斯队获得亚军；S：拉齐奥队获得亚军；则原命题可符号化为：PQR，RP，SQ，PS,25, （S） P（附加前提） S T,E SQ P Q T,I PQR P P P QR T,I R T,I RP P P T,I PP( F) T,E,结论：拉齐奥队不能获得亚军,16、若n是偶数，并且n大于5，则m是奇数。只有n是偶数，m才大于6。n是大于5，所以，若m大于6，则m是奇数。 解：设p：n是偶数，q: n大于5,
13、r: m是奇数, s: m大于6. 前提: (pq) r,sp,q 结论：sr,26,证明: q P sq 扩充法则 （关键） sp P (sp)(sq) TI s(pq) TI (pq)r P sr TI,17、习题一 14题 解：由题设 p：A去，q：B去，r：C去，s：D去 则满足条件的选派应满足如下范式： （p（rs）（qr）（rs） （pq r s ）（pqrs）（pqrs）（pqrs）（pqrs）（pqrs）（pqrs）（pqrs）,27,共有八个极小项，但根据题意，需派两人出差，所以，只有其中三项满足要求： （pqrs），（pqrs），（pqrs） 即有三种方案：A和C去或者A和
14、D去或者B和D去。,18、习题18 解：根据给定的条件有下述命题： P：珍宝藏在东厢房 Q：藏宝的房子靠近池塘 R：房子的前院栽有大柏树 S：珍宝藏在花园正中地下 T：后院栽有香樟树 M：珍宝藏在附近 根据题意，得出： （QP）（RP）Q（RS）（TM） ？,28,（QP）（RP）Q（RS）（TM） P（RP）（RS）（TM） R（RS）（TM） S（TM） S 即珍宝藏在花园正中地下,19、习题21（2） 解：根据给定的条件有下述命题： P：现场无任何痕迹 Q：失窃时，小花在OK厅 R：失窃时，小英在OK厅 S：失窃时，小胖在附近 T：金刚是偷窃者 M：瘦子是偷窃者 则根据案情有如下命题公式： P，QR，S P，Q T， S R，R M,29,P PSP PS TISR PR TIQR PQ TIQT PT TI 即 金刚是偷窃者,
