1、第 2 章 习题解答1习题 2.11将下列命题符号化。(1) 4 不是奇数。解：设 A(x)：x 是奇数。a：4。“4 不是奇数。 ”符号化为：A(a)(2) 2 是偶数且是质数。解：设 A(x)：x 是偶数。B(x )：x 是质数。a：2。“2 是偶数且是质数。 ”符号化为：A(a) B(a)(3) 老王是山东人或河北人。解：设 A(x)：x 是山东人。B( x)：x 是河北人。a：老王。“老王是山东人或河北人。 ”符号化为：A(a) B(a)(4) 2 与 3 都是偶数。解：设 A(x)：x 是偶数。a：2，b：3。“2 与 3 都是偶数。 ”符号化为：A(a) A(b)(5) 5 大于
2、3。解：设 G(x,y)：x 大于 y。a： 5。b：3。“5 大于 3。 ”符号化为：G(a,b)(6) 若 m 是奇数，则 2m 不是奇数。解：设 A(x)：x 是奇数。a：m。b：2m 。“若 m 是奇数，则 2m 不是奇数。 ”符号化为：A(a) A(b)(7) 直线 A 平行于直线 B 当且仅当直线 A 不相交于直线 B。解：设 C(x,y)：直线 x 平行于直线 y。设 D(x,y)：直线 x 相交于直线 y。a：直线 A。b：直线 B。“直线 A 平行于直线 B 当且仅当直线 A 不相交于直线 B。 ”符号化为：C(a,b)D (x,y) (8) 小王既聪明又用功，但身体不好。解
3、：设 A(x)：x 聪明。B(x )： x 用功。C(x) ：x 身体好。a：小王。“小王既聪明又用功，但身体不好。 ”符号化为：A(a) B(a)C(a)(9) 秦岭隔开了渭水和汉水。解：设 A(x,y,z)：x 隔开了 y 和 z。a：秦岭。b：渭水。c：汉水。“秦岭隔开了渭水和汉水。 ”符号化为：A(a,b,c)(10) 除非小李是东北人，否则她一定怕冷。解：设 A(x)：x 是东北人。B( x)：x 怕冷。a：小李。“除非小李是东北人，否则她一定怕冷。 ”符号化为：B(a) A(a)2将下列命题符号化。并讨论它们的真值。(1) 有些实数是有理数。解：设 R(x)：x 是实数。Q(x)：
4、x 是有理数。“有些实数是有理数。 ”符号化为：(x)(R( x)Q( x)第 2 章 习题解答2它的真值为：真。(2) 凡是人都要休息。解：设 R(x)：x 是人。S(x )：x 要休息。“凡是人都要休息。 ”符号化为：(x)(R( x)S(x)它的真值为：真。(3) 每个自然数都有比它大的自然数。解：设 N(x)：x 是自然数。G( x,y)：x 比 y 大。“每个自然数都有比它大的自然数。 ”符号化为：(x)(N(x) (y)( N(y)G( y,x)它的真值为：真。(4) 乌鸦都是黑的。解：设 A(x)：x 是乌鸦。B(x )：是黑的。“乌鸦都是黑的。 ”符号化为：(x)(A( x)B
5、(x)它的真值为：真。(5) 不存在比所有火车都快的汽车。解：设 A(x)：x 是汽车。B(x )：是火车。K (x,y)：x 比 y 快。“不存在比所有火车都快的汽车。 ”符号化为：(x)(A( x)( y)(B(y)K (x,y)它的真值为：真。(6) 有些大学生不佩服运动员。解：设 S(x)：x 是大学生。L (x)：是运动员。B(x,y)：x 佩服 y。“有些大学生不佩服运动员。 ”符号化为：(x)(S( x)L( y)B( x,y)它的真值为：真。(7) 有些女同志既是教练员又是运动员。解：设 W(x)：x 是女同志。J( x)：x 是教练员。L(x) ：x 是运动员。“有些女同志既
6、是教练员又是运动员。 ”符号化为：(x)(W(x )J(x) L(x)它的真值为：真。(8) 除 2 以外的所有质数都是奇数。解：设 A(x)：x 是质数。B(x )：x 是奇数。C(x,y)：x 不等于 y。“除 2 以外的所有质数都是奇数。 ”符号化为：(x)(A( x)C(x,2) B(x)它的真值为：真。3指出一个个体域，使下列被量化谓词的真值为真，该个体域是整数集合的最大子集。在以下各题中，A(x )表示：x0，B( x)表示：x =5，C (x,y) 表示：xy=0(1) (x)A(x)解：正整数集合 Z+。(2) (x)A(x)解：整数集合 Z。(3) (x)B(x) 解：集合5
7、 。(4) (x)B(x)解：整数集合 Z。第 2 章 习题解答3(5) (x)(y)C(x,y)解：整数集合 Z。4分别在全总个体域和实数个体域中，将下列命题符号化。(1) 对所有的实数 x，都存着实数 y，使得 xy =0解：设 R(x)：x 是实数。B(x ,y)：xy=0。在实数个体域符号化为：(x)(y)B( x,y)在全总个体域符号化为：(x)(R( x)(y)(R(y) B(x,y )(2) 存在着实数 x，对所有的实数 y，都有 xy =0 解：设 R(x)：x 是实数。B(x ,y)：xy=0。在实数个体域符号化为：(x)(y)B( x,y)在全总个体域符号化为：(x)(R(
8、 x)(y)(R(y) B(x,y )(3) 对所有的实数 x 和所有的实数 y，都有 xy =yx解：设 R(x)：x 是实数。B(x ,y)：x=y。在实数个体域符号化为：(x)(y)B( x+y,y+x)在全总个体域符号化为：(x)(R( x)(y)(R(y) B(x+y,y +x)(4) 存在着实数 x 和存在着实数 y，使得 xy =100解：设 R(x)：x 是实数。B(x ,y)：xy=100。在实数个体域符号化为：(x)( y)B( x,y)在全总个体域符号化为：(x)(R( x)(y)(R(y) B(x,y )习题 2.21. 指出下列公式中的约束变元和自由变元。(1) (x
9、)(P(x)Q(y )解：约束变元：x，自由变元：y(2) (x)(P(x)R(x) ( x)P(x)Q(x)解：约束变元：x，自由变元：x(3) (x)(P(x)(x)Q(x) ( x)R(x,y)Q (z)解：约束变元：x，自由变元：y，z(4) (x)(y) (R(x,y)Q( z)解：约束变元：x，y ，自由变元：z(5) (z) (P(x)(x)R( x,z)(y)Q(x,y)R(x,y)解：约束变元：x，y ，z，自由变元：x ，y 2. 对下列谓词公式中的约束变元进行换名。(1) (x)(y)(P(x,z)Q(x,y )R(x,y)解：将约束变元 x 换成 u：( u)(y)(P
10、(u,z)Q (u,y)R(x,y)将约束变元 y 换成 v：(x )(v)(P(x,z)Q(x,v)R(x,y)(2) (x)(P(x)(R( x)Q(x ,y)(x)R( x)(z) S(x,z)解：将前面的约束变元 x 换成 u，后面的约束变元 x 换成 v：第 2 章 习题解答4(u)(P(u)(R (u)Q( u,y)(v)R(v) (z)S( x,z)将约束变元 z 换成 w：(x)(P(x) (R(x)Q(x,y) ( x)R(x)(w )S(x,w)3. 对下列谓词公式中的自由变元进行代入。(1) (y)Q(z,y) (x)R(x,y) (x)S(x,y,z)解：将自由变元 z
11、 用 u 代入：(y)Q(u,y)( x)R(x,y)( x)S(x,y,u)将自由变元 y 用 v 代入：( y)Q(z,y)(x) R(x,v)(x)S(x,v,z)(2) (y)P(x,y)(z)Q( x,z)(x)R(x,y)解：将自由变元 x 用 u 代入：(y)P( u,y)(z) Q(u,z)(x)R(x ,y)将自由变元 y 用 v 代入：(y)P(x,y)( z)Q(x,z)(x)R(x,v)4. 利用谓词公式对下列命题符号化。(1) 每列火车都比某些汽车快。解：设 A(x)：x 是火车。B(x )：x 是汽车。C(x,y)：x 比 y 快。“每列火车都比某些汽车快。 ”符号
12、化为：(x)(A( x)(y)(B(y) C (x,y)(2) 某些汽车比所有火车慢。解：设 A(x)：x 是火车。B(x )：x 是汽车。C(x,y)：x 比 y 快。“某些汽车比所有火车慢。 ”符号化为： (x)(B(x)(y)(A(y) C (y,x) (3) 对每一个实数 x，存在一个更大的实数 y。解：设 R(x)：x 是实数。G(x,y)：x 比 y 大。“对每一个实数 x，存在一个更大的实数 y。 ”符号化为：( x)(R(x)( y)(R(y)G(y ,x)(4) 存在实数 x，y 和 z，使得 x 与 y 之和大于 x 与 z 之积。解：设 R(x)：x 是实数。G(x,y)
13、：x 比 y 大。“存在实数 x，y 和 z，使得 x 与 y 之和大于 x 与 z 之积。 ”符号化为：(x)(y)(z)(R(x)R(y)R(z)G(x+y,xz)(5) 所有的人都不一样高。解：设 R(x)：x 是人。G(x,y )：x 和 y 一样高。“所有的人都不一样高。 ”符号化为：(x)(y)(R( x)R(y)G(x ,y)5. 自然数一共有下述三条公理：a) 每个数都有惟一的一个数是它的后继数。b) 没有一个数使数 1 是它的后继数。c) 每个不等于 1 的数都有惟一的一个数是它的直接先驱数。用两个谓词表达上述三条公理。注：设 n 是不等于 1 的自然数，则 n1 是 n 的
14、后继数，n1 是 n 的先驱数。解：设 A(x)：x 是数。B(x ,y)：x 是 y 后继数(根据定义，也可理解为 y 是 x 先驱数)。a) “每个数都有惟一的一个数是它的后继数。 ”符号化为：(x)(A(x)(y)(A(y)B(y ,x)(z)(A( z)B(z,x)( z=y) b) “没有一个数使数 1 是它的后继数。 ”符号化为：( x)(A(x)B(1,x)c) “每个不等于 1 的数都有惟一的一个数是它的直接先驱数。 ”符号化为：(x)(A(x)(x=1)(y)( A(y)B(x,y)(z)(A( z)B( x,z)(z=y) ) 6. 取个体域为实数集 R，函数 f 在 a
15、点连续的定义是：对每个 0，存在一个 0，使第 2 章 习题解答5得对所有 x，若|xa| ，则|f (x)f (a)|。试把此定义用符号化的形式表达出来。解：( ) (0)( )( (0) (x) (|xa|) (|f(x)f(a)|) 7.若定义惟一性量词(!x )为“存在惟一的一个 x”，则(!x)P(x) 表示“存在惟一的一个 x 使P(x)为真” 。试用量词，谓词及逻辑运算符表示( !x)P(x)。解：(!x)P (x)(x)P(x)(y)P(y) (y=x)习题 2.31. 设个体域为 D=1,2,3，试消去下列各式的量词。(1) (x)P(x)解：(x)P( x)P(1)P(2)
16、 P (3)(2) (x)P(x)(y )Q(y)解：(x)P( x)(y)Q(y)(P (1)P(2) P (3)( Q(1)Q(2) Q(3)(3) (x)P(x)(y )Q(y)解：(x)P( x)(y)Q(y)(P (1)P(2) P (3)( Q(1)Q(2) Q(3)(4) (x)(P(x)Q(x )解：(x)(P(x)Q( x)(P(1)Q (1)(P(2)Q(2) ( P(3) Q(3)(5) (x)P(x)(y )Q(y)解：(x)P( x)(y)Q(y) (P(1)P(2) P (3)(Q(1)Q (2)Q(3)2. 求下列各式的真值。(1) (x)(y)H(x,y) 其中
17、 H(x,y)：xy，个体域为 D=4,2解：(x)(y)H(x,y) (y)H(2,y)( y)H(4,y)(H(2,2)H(2,4)(H(4,2)H (4,4)(00) (10)01 0(2) (x)(S(x)Q (a)p 其中 S(x)：x 3，Q(x)：x=5，a：3，p：53，个体域为 D=-1,3,6解：(x)(S(x)Q(a)p( S(-1)Q(3)(S(3)Q (3) (S(6)Q(3)(53)(00)(00)(1 0) 1(110) 1111(3) (x)(x2-2x+1=0) 其中个体域为 D=-1,2解：(x)(x 2-2x+1=0)(1) 22(1)1=0)(2 222
18、1=0)(4=0)(1=0)0003. 证明下列各式。其中：B 是不含变元 x 的谓词公式。(1) (x)(S(x)R(x) (x)S(x)(x)R( x)证明：( x)(S(x)R( x)(x)(S(x)R (x)(x)S(x)(x )R(x)(x)S(x)(x R(x)(x)S(x)( x)R(x)(2) (x)(y)(S(x)R(y) (x)S(x)(y)R( y)第 2 章 习题解答6证明：( x)(y)(S(x)R( y)(x)(y)(S(x)R( y)(x)S(x)(y )R(y)(x)S(x)(y )R(y)(x)S(x)( y)R(y)(3) (x)(A(x)B) (x)A(x
19、) B 证明：( x)(A(x)B )(x)(A(x)B) (x)A(x)B(x)A(x)B(x )A(x) B(4) (x)(BA(x )B(x)A (x)证明：( x)(B A(x)(x)(BA( x)B(x)A( x)B( x)A(x)(5) (x)(A(x)B(x) (x)A(x)( x)B(x)证明：因为( x)(A(x)B (x)，所以对于任意个体 c，A(c)B(c) 和 A(c)，从而有 B(c)，由 c的任意性有( x)B(x)，根据 CP 规则，(x)(A(x) B(x)( x)A(x)( x)B(x)(6) (x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x)证明：( x
20、)(A(x)B(x)(x)(A(x)B(x)( B(x)A( x)(x)(A(x)B(x) (x )(B(x)A( x)(x)(A(x)B( x)(x)( B(x)A(x)( x)(A(x)B(x)( x)A(x)(x)B(x )同理，( x)(A(x)B (x)(x)(B( x)A(x)( x)B(x)( x)A(x)所以，( x)(A(x)B (x)(x)(B( x)A(x)( x)A(x)(x)B( x)(x)B( x)(x)A( x)而(x) A(x)(x)B (x)(x)B(x)( x)A(x)(x)A(x)(x)B(x)故有(x)(A(x) B(x)(x)A(x)(x)B(x)4.
21、 判断下列证明是否正确。(x) (A(x)B(x) (x) (A(x)B( x)(x)(A(x)B( x)(x) (A(x) B(x)(x) A(x)( x)B(x)(x) A(x)(x )B(x)(x) A(x)( x)B(x)(x) A(x)(x )B(x)解：下列的推理是错的：(x) (A(x)B( x)(x)A(x) (x)B(x)习题 2.41. 求下列各式的前束范式。(1) (x)P(x)(x )Q(x)解：(x)P( x)(x)Q(x)( x)P(x)(x)Q (x)(x)(P(x) Q(x)(2) (x)P(x)(x )Q(x) 解：(x)P( x)(x)Q(x)( x)P(x
22、)(x)Q (x)(x)P(x)(y )Q(y)(x)(y) (P(x)Q(y )(3) (x)(y)(z)A(x,y,z)(u)B( x,u)(v)B(x,v)解：(x)(y)(z)A(x,y,z)(u)B(x,u)( v)B(x,v)(x)(y)(z)(u)(A(x,y,z)B(x,u)( v)B(x,v)第 2 章 习题解答7(x)(y)(z)(u)(v)(A(x,y,z)B(x,u)B(x,v)(4) (x)(y)(z)(A(x,z)B (x,z)( u)R(x,y,u)解：(x)(y)(z )(A(x,z)B(x,z)(u) R(x,y,u)(x)(y)(z)(u)(A(x,z)B(
23、x,z) R (x,y,u)(5) (x)(y)A(x,y)( x)(y)(B(x,y)(y)(A(y, x)B( x,y)解：(x)( y)A(x,y)(x)( y)(B(x,y)(y)(A(y, x)B(x,y)(x)(y)A(x,y)(x )(y)(B(x,y)(z)( A(z,x)B(x,z)(x)(y)A(x,y)(u)(v )(z)(B(u,v)(A(z ,u)B(u,z)(x)(y)(u)(v)(z)(A(x,y)( B(u,v)( A(z,u)B( u,z)(x)(y)(u)(v)(z)(A(x,y)(B( u,v)(A(z ,u)B(u,z)2. 求下列各式的前束合取范式。(
24、1) (x)(P(x)(z)Q(z,y )(y)R( x,y)解：(x)(P(x) ( z)Q(z,y)(y)R( x,y)(x)(z)(P(x)Q(z,y )(y)R( x,y)(x)(z)(P(x)Q(z,y )(u) R(x,u)(x)(z)(u)(P(x)Q(z,y)R(x,u)(x)(z)(u)(P(x)Q(z,y)R(x,u)(x)(z)(u)(P(x)Q(z,y)R(x,u)(x)(z)(u)(P(x)R(x,u)( Q(z,y)R(x,u)(2) (x)(y)(P(x,y)Q( y,z)(x) R( x,y)解：(x)(y)(P(x ,y)Q(y,z ) (x) R(x,y)(
25、x)(u)(P(x,u)Q(u,z) (v)R(v,y)(x)(u)(v)(P(x,u)Q (u,z)R(v,y)(x)(u)(v)(P(x,u)R (v,y)(Q (u,z)R( v,y)(3) (y)Q(z,y) (x)R(x,y) (x)S(x,y,z)解：(y) Q(z,y)(x )R(x,y)(x) S(x,y,z)(u)Q(z,u) (x)R(x,y)(v)S( v,y,z)(u)(x)(v)(Q(z,u)R(x ,y)S(v,y,z)(u)(x)(v)(Q(z,u)R(x,y)S( v,y,z)3. 求下列各式的前束析取范式。(1) (x)(P(x)(y)( x)Q(x,y)(z
26、) R(x,y,z)解：(x)(P(x) ( y)(x)Q(x,y)( z)R(x,y,z)(x)(P(x)(y )(x)Q(x,y)(z) R(x,y,z)(x)(P(x)(y )(u)(z)(Q(u,y)R(x,y,z)(x)(y)(u)(z)(P(x)(Q(u,y)R(x,y,z)(x)(y)(u)(z)(P(x) Q(u,y)R (x,y,z)(2) (x)(y)(P(x,y)Q( y,z)(x)R( x,y)解：(x)(y)(P(x ,y)Q(y,z ) (x)R(x,y)(x)(u)(P(x,u)Q(u,z) (v)R(v,y)第 2 章 习题解答8(x)(u)(v)(P(x,u)
27、Q (u,z)R(v,y)(x)(u)(v)(P(x,u)R (v,y)(Q (u,z)R( v,y)(3) (y)Q(z,y) (x)R(x,y) (x)S(x,y,z)解：(y) Q(z,y)(x )R(x,y)(x) S(x,y,z)(u)Q(z,u) (x)R(x,y)(x)S( x,y,z)(u)(x)(Q(z,u)R (x,y)(x)S(x,y,z)(u)(x)(Q(z,u)R (x,y)(v)S(v,y,z)(u)(x)(v)(Q(z,u)R(x ,y)S(v,y,z)习题 2.51证明下列各式。(1) (x)(F(x)(G(y)R(x )，( x)F(x)(x)(F(x)R(x
28、)证明： ( x)F(x) P F (c) ES ( x)(F(x)(G(y )R(x) P F (c)(G( y)R(c ) US G(y) R(c) T假言推理 R (c) T化简律 F (c)R( c) T合取引入 ( x)(F(x)R(x ) EG(2) (x)(F(x)G(x )，(x)( R(x)G (x)(x)(R(x) F(x)证明： (x)( R(x)G( x) P R (c)G(c) US ( x)(F(x)G(x) P F (c)G(c) US G(c) F(c) T假言易位式 R (c)F (c) T假言三段论 ( x)(R(x)F(x ) UG(3) (x)(F(x)
29、G(x )，(x)( G(x)R ( x)，(x)R(x) (x)F(x)证明： ( x)R(x) P R (c) US ( x)(G(x)R(x) P G(c) R(c) US G(c) T拒取式 ( x)(F(x)G(x) P F(c)G(c) US F (c) T析取三段论第 2 章 习题解答9 (x)F(x) UG(4) (x)F(x)(y )(F(y)G(y)R( y)，(x)F(x) (x)R(x)证明： ( x)F(x) P F (c) ES ( x)F(x)( y)(F(y)G(y)R(y) P ( y)(F(y)G(y )R( y) T假言推理 ( F(c)G( c)R(c
30、) US F (c)G(c) T附加律 R(c) T假言推理 ( x)R(x) UG2用 CP 规则证明下列各式。(1) (x)(F(x)R(x) (x)F(x)( x)R(x)证明： ( x)F(x) P(附加前提) F (c) US ( x)(F(x)R(x ) P F (c)R( c) US R (c) T假言推理 ( x)R(x) UG (x)F(x)(x)R(x ) CP(2) (x)(F(x)G(x )，(x)( G(x)R( x)(x)R(x)(x)F(x)证明： ( x)R(x) P(附加前提) R (c) US (x )(G(x)R(x) P ( x)(G(x)R(x ) T
31、量词否定等价式 (G (c)R(c) US G(c) R(c) T德摩根律 G(c) T析取三段论 (x)(F(x)G(x ) P F(c)G(c) US F(c) T析取三段论 (x)F(x) UG (x)R(x)(x)F(x ) CP(3) (x)(F(x)G(x )，(x)(G (x)R( x) (x)R(x)(x)F(x)证明： (x)R( x) P(附加前提) ( x)R(x) T量词否定等价式 R( c) ES ( x)(G(x)R(x) P 第 2 章 习题解答10 G(c) R(c) US G(c) T析取三段论 (x)(F(x)G( x) P F(c)G(c) US F(c)
32、 T拒取式 (x)F(x ) EG (x)R(x)(x)F(x ) CP3用归谬法证明下列各式。 (1) (x)(F(x)G(x )(x)F(x)(x)G (x)证明： (x) F(x)(x )G (x) P(附加前提) (x)F( x)(x) G (x) T德摩根律 ( x)F(x) (x)G (x) T量词否定等价式 ( x)F(x) T化简律 F( c) ES ( x)G(x) T化简律 G(c) US (x)( F(x)G( x) P F(c)G(c) US F(c) T析取三段论 F(c)F(c )(矛盾) T合取引入(2) (x)(F(x)G(x )，(x)( G(x)R ( x)
33、，(x)R(x) (x)F(x)证明： (x)F( x) P(附加前提) ( x)F(x) T量词否定等价式 F( c) ES ( x)(F(x)G(x) P F (c)G(c) US G(c) T析取三段论 (x)(G(x)R( x) P G(c )R(c) US R(c) T假言推理 (x)R(x ) P R(c) US R(c)R(c )(矛盾) T合取引入(3) (x)(F(x)G(x )，(x)(G (x)R( x)， (x)R(x) (x)F(x)证明： ( x)R(x) P R( c) ES (x )F(x) P(附加前提) ( x)F(x) T量词否定等价式第 2 章 习题解答
34、11 F (c) US ( x)(F(x)G(x) P F (c)G(c) US G(c) T假言推理 (x)(G(x)R(x ) P G(c )R(c) US R(c) T析取三段论 R(c)R(c )(矛盾) T合取引入4证明下面推理。(1) 每个有理数都是实数。有的有理数是整数。因此，有的实数是整数。解：首先将命题符号化：Q(x)： x 是有理数。 R(x)：x 是实数。Z(x)：x 是整数。 本题要证明：(x)( Q(x)R( x), (x)(Q(x)Z( x)(x)(R(x)Z(x )证明： (x)( Q(x)Z(x) P Q(c )Z (c) ES Q(c) T化简律 Z(c )
35、T化简律 ( x)(Q(x)R(x) P Q(c) R(c) US R (c) T假言推理 R (c)Z(c) T合取引入 ( x)(R(x)Z( x) EG(2) 有理数，无理数都是实数。虚数不是实数。因此，虚数既不是有理数，也不是无理数。解：首先将命题符号化：Q(x)： x 是有理数。 R(x)：x 是实数。W(x)：x 是无理数。 X(x)：x 是虚数。 本题要证明：(x)( Q(x)R( x), (x)(W(x)R(x)，( x)(X(x)R(x) (x)(X(x)Q( x)(x)(X(x)W (x)证明： (x)( X(x)R(x) P X(c)R( c) US R (c)X (c)
36、 T假言易位式 ( x)(W(x)R(x) P W (c)R( c) US W (c)X(c) T假言三段论 X (c)W(c) T假言易位式 ( x)(X(c)W(c) UG第 2 章 习题解答12 (x)(Q(x)R(x ) P Q(c)R( c) US Q(c)X( c) T假言三段论 X(c) Q( c) T假言易位式 (x)( X(x)Q( x) UG (x)( X(x)Q( x)(x)(X(x)W (x) T合取引入(3) 不存在能表示成分数的无理数。有理数都能表示成分数。因此，有理数都不是无理数。解：首先将命题符号化：Q(x)： x 是有理数。 W(x)：x 是无理数。F(x)：
37、x 能表示成分数。 本题要证明：(x)( W(x)F( x), (x)(Q(x)F(x)( x)(Q(x) W(x)证明： (x)( W(x) F(x) P (x)(W (x)F(x) T量词否定等价式 (W(c) F(c) US W (c)F(c ) T德摩根律 F (c)W(c) T条件等价式 ( x)(Q(x)F(x) P Q(c) F(c) US Q(c) W(c ) T假言三段论 (x)( Q(x)W( x) UG(4) 每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车。每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车。有的人不喜欢乘汽车。所以有的人不喜欢步行。(个体域为人类集合)解：首先将命题符号化：P(x)：x 喜欢步行。 Q(x)：x 喜欢骑自行车。R(x)：x 喜欢乘汽车。 以全体人类为个体域(全总个体域也可类似证明 )本题要证明：(x)(P(x)Q(x)，(x)( Q(x)R (x)，(x)R( x)(x)P(x)证明： (x)R(x ) P R(c) ES ( x)(Q(x)R(x) P Q(c) R(c) US Q(c) T析取三段论 ( x)(P(x)Q(x ) P P (c)Q(c ) US P( c) T拒取式 (x)P(x) UG
