1、作 业 题 与 解 答第 一 章19 (2)、 (4) 、 (6)21 (1)、 (2) 、 (3)19、 (2)解 答 : (p p) q 真 值 表 如 下 :p q p q p p (p p) q0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 01 0 0 1 0 11 1 0 0 0 119、 (4)所 以 公 式 (p q) q 为 可 满 足 式解 答 : (p q) ( q p) 真 值 表 如 下 :p q p q p q q p (p q) ( q p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 0 0 1 1 1所 以 公 式 (p q)
2、 ( q p)为 永 真 式19、 (6)解 答 : (p q) (q r) (p r) 真 值 表 如 下 :p q r p q q r p r (p q) (q r) (p q) (q r) (p r)0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 10 1 0 1 0 1 0 10 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0 1 1 0 11 1 0 1 0 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1所 以 公 式 (p q) (q r) (p r)为 永 真 式21、 (1)解 答 : ( p q) r 真 值 表 如 下 :p q r p r p
3、q ( p q) ( p q) r0 0 0 1 1 0 1 10 0 1 1 0 0 1 10 1 0 1 1 1 0 10 1 1 1 0 1 0 01 0 0 0 1 0 1 11 0 1 0 0 0 1 11 1 0 0 1 0 1 11 1 1 0 0 0 1 1所 以 成 假 赋 值 为 :01121、 (2)解 答 : ( q r) (p q)真 值 表 如 下 :p q r q q r p q ( q r) (p q)0 0 0 1 1 1 10 0 1 1 1 1 10 1 0 0 0 1 00 1 1 0 1 1 11 0 0 1 1 0 01 0 1 1 1 0 01 1
4、 0 0 0 1 01 1 1 0 1 1 1所 以 成 假 赋 值 为 :010,100,101,11021、 (3)解 答 : (p q) ( (p r) p)真 值 表 如 下 :p q r p q p r (p r) (p r) p (p q) ( (p r) p)0 0 0 1 0 1 1 10 0 1 1 0 1 1 10 1 0 1 0 1 1 10 1 1 1 0 1 1 11 0 0 0 0 1 1 01 0 1 0 1 0 1 01 1 0 1 0 1 1 11 1 1 1 1 0 1 1所 以 成 假 赋 值 为 :100,101第 二 章 5、 (1) (2) (3)
5、6、 (1) (2) (3) 7、 (1) (2) 8、 (1) (2) (3)5、 求 下 列 公 式 的 主 析 取 范 式 ,并 求 成 真 赋值(1) ( p q) ( q p) ( p q) ( q p) ( ( p) q) ( q p)( p q) ( q p)( p q) ( p q) (p q)m0 m 2 m3，所 以 00， 10，1 1 为 成 真 赋 值 。(2) ( p q) (q r)( p q) (q r)(p q) (q r)(p q r) (q r)(p q r) (p q r) ( p q r)(p q r) ( p q r)m3 m 7，所 以 011，1
6、 11 为成 真 赋 值 。(3) (p (q r) (p q r) (p (q r) (p q r)( p ( q r) (p q r)( p q) ( p r) (p q r)( p q) ( p r) (p q r)( p q) ( p p q r) ( r p q r) )( p q) (1 1)( p q) 11m0 m1 m 2 m3 m4 m5 m 6 m 7，所 以 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 为 成真 赋值 。7、 求 下 列 公 式 的 主 析 取 范 式 ， 再 用 主 析 取 范 式 求 主 合 取 范 式(1) (p
7、q) r( p q r) ( p q r) (p r) ( p r)( p q r) ( p q r) (p r q) (p r q) ( p r q) ( p r q)( p q r) ( p q r) (p q r) ( p q r) ( p q r)m1 m3 m5 m6 m7 由 主 析 取 范 式 和主 合 取 范 式 之 间的 关 系 ， 所 以 公式 的 主 合 取 范 式 为 ：(p q) r M0 M2 M4(2) (pq )( q r)( p q) ( q r)( p ( q r) (q ( q r)( p q) ( p r) (q q) (q r)( p q) ( p r
8、) (q r)( p q r) ( p q r) ( p q r) ( p q r) (p q r) ( p q r)( p q r) ( p q r) ( p q r) (p q r)m0 m1 m3 m7由 主 析 取 范 式 和主 合 取 范 式 之 间的 关 系 ， 所 以 公式 的主 合 取 范 式 为 ： (p q) (q r) M2 M4 M5M 68、求 下列 公 式 的 主 合 取范 式 ， 再 用 主 合取 范 式 求 主 析 取范 式 (1) (pq )q (pq ) q( p q ) q p (q q) p11 该 公 式 无 主 合 取 范 式 ， 所 以 公 式的
9、主析 取 范 式 为 ：( pq ) q m0 m1 m2 m3 (2) (pq) r ( pq) (p q) r(p q) ( p q) r(p ( p q) ( q ( p q) r(p p) (p q) ( q p) ( q q) r(p q) ( q p) r(p q r) ( p q r)M0 M6 由 主 合 取 范 式 和主 析 取 范 式 之 间的 关 系 ， 所 以公式 的 主 析 取 范 式 为 ： (pq)r m1 m2 m3 m4 m5 m7(3) (r p) p q ( r p) p q(r p) p qr ( p p) qr 0 q0M0 M1M 2 M3 M4M
10、5 M6 M7该 公 式 无 主 析 取范 式第 三 章 14 (2)、 (4)、 (5) 15 (1)、 (2) 16 (1)14、 在自 然 推 理 系 统 P 中构 造 下 面 推 理 的证 明 (2) 前 提 ： pq , (q r), r结论 ： p证明 ： (qr ) 前提 引 入 q r 置 换 r 前 提 引 入 q 析 取 三 段 论 pq 前 提 引 入 p 拒 取 式（ 4） 前 提 ：q p , q s, s t, tr结 论 ：p q证 明 ： s t 前提 引 入 (st ) (ts ) 置 换 ts 化 简 tr 前 提 引 入 t 化 简 s 假 言 推 理 q
11、 s 前 提 引 入 (sq ) (qs ) 置 换 sq 化 简 q 假 言 推 理qp 前 提 引 入p 假 言 推 理pq 合 取（ 5） 前 提 ：p r , q s, pq结 论 ：r s证 明 : p q 前 提 引 入 p 化 简 q 化 简 pr 前 提 引 入 r 假 言 推 理 qs 前 提 引 入 s 假 言 推 理 r s 合 取15、 在 自 然 推 理 系 统 P 中 用 附 加前 提 法 证 明 下 面各 推 理 ： (1) 前 提 ： p( qr ), s p, q结 论 ：s r证 明 ： s 附 加 前 提 引 入 sp 前 提 引 入 p 假 言 推 理
12、p( qr ) 前 提 引 入 qr 假 言 推 理 q 前 提 引 入 r 假 言 推 理 (2) 前 提 ： (pq )( rs ), (st )u结 论： p u证明 ： p 附 加 前 提 引 入 pq 附 加 (pq ) (rs ) 前 提 引 入 rs 假 言 推 理 s 化 简 st 附 加 (st ) u 前 提 引 入 u 假 言 推 理16、 在 自 然 推 理 系 统 P 中 用 归 谬法 证 明 下 面 推 理： (1) 前 提 ： p q , rq , r s结 论： p证明 : p 结 论 否定 引 入 p q 前 提 引入 q 假 言 推 理 rq 前 提 引 入
13、 r 析 取 三 段 论 r s 前 提 引 入 r 化 简 rr 合 取 (矛盾 ) 为 矛盾 式 ， 由归 谬 法 可 知 ， 推理 正 确 。 第 四 章 5、( 1) (2) (3) (4) 10、 (2) (4) 11、 (2) (6)5、在 一阶 逻 辑 中 将 下 列命 题 符 号 化 ： (1) 火 车 都 比 轮 船 快。xy(F(x) G(y) H(x,y)，其 中 ， F(x)： x 是 火 车 ， G(y)： y 是 轮 船 ， H(x,y):x 比 y 快 。 (2) 有 的 火 车 比有 的 汽 车 快 。xy(F(x) G(y) H(x,y)， 其 中，F(x):
14、 x 是 火车 ， G(y)： y 是 汽 车 ， H(x,y):x 比 y 快 。 (3) 不 存 在 比所 有 火 车 都 快 的汽 车 。 x(F(x) y(G(y) H(x,y)或 x(F(x) y(G(y) H (x,y)，其 中 ， F(x): x 是 汽 车 ， G(y)： y 是 火 车 ， H(x,y):x 比 y 快 。 (4) 说 凡 是 汽 车就 比 火 车 慢 是 不对 的 。x y(F(x)G (y)H (x,y) 或xy(F(x) G(y) H(x,y) )，其 中 ， F(x): x 是 汽 车 ， G(y)： y 是 火 车 ， H(x,y):x 比 y 慢
15、。10、 给 定 解 释 I 如 下 ：（ a） 个 体 域 D=N（ N 为自 然 数 ） 。（ b） D 中 特 定 元 素 =2。（ c） D 上 函 数 (x,y)=x y， (x,y)=xy。 D 上 谓 词 (x,y)：x =y。(2) xy(F(f(x,a),y)F (f(y,a),x)xy(x+2=y) (y+2=x)， 真 值为 0。 (4) xF(f(x,x),g(x,x)x(x+x=xx),真 值 为 1。11、 判 断下 列 各 式 的 类 型(2) x(F(x)F (x) y (G(y) G (y) 此 谓 词 公 式 前 件永 为 真 ， 而 后 件永 为 假 ，
16、即 公 式为 (10 ),此 公 式 为 矛盾 式， 所 以 原 谓 词 公式 为 矛 盾 式 。(6) ( xF(x) yG(y) yG(y) 此 谓 词 公式 是 命 题 公 式 (pq ) q 的 代 换实 例 ， 而 该 命 题 公 式 是 矛 盾 式， 所 以此 谓 词 公式 是 矛 盾 式 。第 五章 15 (1)(2)(3)(4) 20 (1) (2) 23 (1) (2)15、 在 自 然 推 理 系 统 F 中 构 造 下 面 推 理 的 证 明 ：(1) 前 提 : xF(x)y (F(y) G(y)R (y), xF(x) 结 论 ： xR(x)证 明 ： xF(x) y
17、(F(y) G(y) R (y) (前 提 引 入 ) x F(x) (前 提引 入 ) y (F(y) G(y) R (y) ( 假 言 推理 ) F (c) ( EI 规 则) F (c)G (c) R(c) ( UI 规 则 F (c)G (c) ( 附 加 律) R (c) ( 假 言 推理 ) x R(x) ( EG 规 则) (2) 前提 ： x(F(x)( G(a)R (x)，x F(x)结论 ： x(F(x)R (x)证明 ： x F(x) 前提 引 入 F (c) - x (F(x)( G(a) R(x) 前 提 引入 F (c)( G(a) R(c) - G (a)R (c
18、) 假 言 推 理 R (c) 化 简 F (c)R (c) 合 取 x (F(x) R(x) +(3) 前提 ： x(F(x)G (x)， xG(x) 结 论： xF(x)证 明 : xG(x) 前 提 引 入 x G(x) 置 换 G(c) - x(F(x) G(x) 前 提引 入 F(c) G(c) - F(c) 析 取 三 段 论 xF(x) +(4) 前 提 : x(F(x)G (y), x( G(x) R(x), xR(x) 结 论 ： xF(x)证 明 ： xR(x) 前 提 引 入 R (c) - x(G (x) R(x) 前 提引 入 G(c) R (c) - G(c) 析取
19、 三 段 论 x(F(x)G (y) 前 提 引入 F(c)G (c) - F(c) 析取 三 段 论 xF(x) +20、 在 自 然 推 理 系 统 F 中 ， 构造 下 面 推 理 的 证明 ： (可 以 使 用 附加 前提 证 明 法 )(1) 前 提 ： x(F(x) G(x) 结 论 ： xF(x)x G(x)证 明 ： xF(x) 附 加 前 提 F(y) - x (F(x)G (x) 前提 引 入 F (y)G (y) - G (y) 假 言推 理 x G(x) + (2) 前 提 ： x(F(x)G (x)结 论 ： xF(x) xG(x)证 明 ： xF(x) 附 加 前
20、提 x F (x) 等 值 演算 F (c) - x (F(x)G (x) 前 提 引 入 F (c)G (c) - G (c) 析 取三 段 论 x G(x) +23、 在 自 然 推 理 系 统 F 中 ，证 明 下 面 推 理 ： ( 1)每 个 有 理 数 都是 实 数 ，有 的 有理 数 是 整 数 ， 因此 有 的 实 数 是 整数 。设 F(x):x 为有 理数 ，R (x):x 为实数 ，G (x):x 是整数 。 前 提： x(F(x)R (x)， x(F(x)G (x) 结 论：x(R(x)G (x)证 明： x(F(x)G (x) 前 提 引入 F (c)G (c) -
21、F (c) 化简 G (c) 化简 x(F(x)R (x) 前 提引 入 F (c)R (c) - R (c) 假 言推 理 R (c)G (c) 合 取 x(R(x)G (x) +(2) 有 理 数 、 无 理 数都 是 实 数 ， 虚 数不 是 实 数 ， 因 此虚 数 既 不 是 有 理 数 、 也 不 是 无理 数 。设 ： F(x):x 为 有 理 数 ， G(x):x 为无 理 数 ， R(x)为实 数 ， H(x)为 虚数 前 提 ： x(F(x) G(x)R (x), x(H(x) R(x) 结 论 ： x(H(x) (F (x) G(x)证 明 ： x(F(x) G(x)R
22、(x) 前 提引 入 F(y)G (y)R (y) - x(H(x) R (x) 前 提 引入 H(y) R (y) -R (y) ( F(y)G (y)H(y) ( F(y) G(y) H(y)( F (y) G(y)x(H(x) ( F(x) G(x) 置 换 假 言 三 段论 置换 +第 六 章 31， 32、( 1)(2)(3)， 41， 42， 4531、 设 A、 B 为 任 意 集 合 ， 证明 ：(A-B) (B-A)=(AB )-(AB ) 证 明： 由 于(A-B)( B-A)= (A B)( B A)=(A B)B )( (A B) A)=(AB )( B B )( (A
23、 A )( B A )=(A B)( B A)=(A B) (B A)=(A B) (A B)=(A B)-(AB ) 所 以 原 式 成 立 。32、 设 A、 B、 C 为 任 意 集 合， 证 明 ：（ 1）( A-B)-C=A-(BC )证明 ： 由 于 (A-B)-C = (A B) C= A ( B C)= A ( B C) = A (BC ) 所 以 原 式 成 立 。（ 2）( A-B)-C=(A-C)- (B-C)证明 ： 由 于 (A-C)- (B-C)= (A C) (B C)=(A C )( B C )= (A C) B) (A C ) C)=(A C ) B=(A B
24、 ) C=(A-B) C=(A-B)-C 所 以原 式 成 立。（ 3）( A-B)-C=(A-C)- B证 明 : 由于 (A-B)-C =(A B) C=(A C) B=(A-C)- B 所以原 式 成 立。41、 设 A、 B、 C 为 任 意 集 合 ，证 明 ： AC BC A -CB-C AB 证明 ： xA(1) 若 x C则 x A C， 而 A CBC所 以 xB C因 此 xB (2) 若 xC则 x A-C ， 而 A-CB-C 所 以 xB -C因 此 xB 综 上 所 述 ， AB42、 设 A、 B、 C 为 任 意 集 合 ， 证明 ： AB =AC AB =AC
25、 B=C 证明 ： (1)先证 BCxB 若 xA则 x A B， 而 A B=A C 所 以 xA C因 此 xC 若 xA则 x A B ， 而 AB =AC所 以 xA C因 此 xC 综上 所 述 知 BC(2)再证 CB 同 理 可证 所以 B=C45、 设 A、 B 为 任意 任 意 集 合 ， 证明 ：(1) P(A)P (B)=P(A B)(2) P(A)P (B)P(A B)(3) 针 对 (2)举 一 反 例 ， 说 明 P(A)P (B)= P(AB )对 某些 集 合A 和 B 是 不 成 立的 。证 明 ： (1) 先证 P(A) P(B) P(A B)x P(A)P
26、 (B)则 xP (A) xP (B) 所以 xA x B所 以 x AB 所以 xP (A B)因 此 P(A) P(B) P(AB ) 再 证 P(AB ) P(A) P(B)x P(AB )则 x AB所以 xA x B所 以 x P(A) xP (B) 所 以 x P(A) P(B)因此 P(A B) P(A)P (B) 综 上所 述 P(AB ) = P(A) P(B)(2) xP (A) P(B)则 xP (A) xP (B) 所 以 xA x B 若 xA则 x AB所 以 xP (A B) 若 xB则 x AB所 以 xP (A B)因 此 P(A) P(B) P(AB )22
27、-1-1 -1 -1-1-1 -1-1 -1 -1-1(3) 举 例 ： 令 A=1,B=2则 AB =1， 2则 P(A)=， 1， P(B)=， 2 而 P(A B)=， 1,2,1,2显 然 P(A) P(B)= P(A B)不 成 立 .第 七章 20、2 5、3 2、 36、3 8、4 0、4 1、4 2、4 8、 49、5 020、 设 R1 的 R2 为 A 上 的 关 系 ， 证 明 :(1) (R1 R2) =R1-1 R -1(2) (R1 R2) =R1 R 2证明 :(1) (R1 R2) R1 R2R 1 R2 R1-1 R -1 R1 R2所 以( R1 R2) =
28、R1 R2(2) (R1 R2) R1 R22-1 -1-1 -1 -1R 1 R2 R1-1 R -1 R1 R2所 以( R1 R2) =R1 R225 设 R 的 关 系 图 如 图 所 示 ， 试 给 出 r(R), s(R),t(R)的关 系图a b d e cR 关 系图解 ：a b d e cr(R)关系 图a b d e cs(R)关系 图a b d e ct(R)关系 图32、 对 于 给 的 A 和 R， 判 断 R 是 否 为 A 上 的 等 价关 系 。(1) A 为 为 实 数 集 ，x ,y A, xRy x-y=2 . 解 : R 不 是 A 上 的 等 价 关
29、系 ， 因为 R 不 自 反 .(2) A=1,2,3,x,y A, xRy x+y 3解 : R 不 是 A 上 的 等 价 关 系 ， 因为 R 不 传 递 .(3) A=Z+ ,即 正 整 数集 ， x,yA , xRy xy 是 奇 数。 解 : R 不 是 A 上 的 等 价 关 系 ， 因为 R 不 自 反 .(4) A=P(X), |X|2 , x,yA , xRy xyy x解 : R 不 是 A 上 的 等 价 关 系 ， 因为 R 不 传 递 . (5) A=P(X),CX, x,yA , xRy x yC解: R 是 A 上 的 等 价 关 系.36、 设 A=1， 2，
30、 3， 4， 在 AA 上 定 义 二 元 关 系 R, A A, Ru+y=x+v(1) 证 明 R 是 AA 上的 等 价 关 系 。 (2) 确 定 由 R 引 起 的对 AA 的 划 分 。证明 ：( 1) 先 证 R 具 有 自反 性A A由 于 x+y=x+y再 根 据 R 的 定义 知 ,R 所 以 R 具 有 自反 性 . 再 证 R 具 有对 称 性, A A, 若 ,R 则 由 R 的 定义 知 ： u+y=x+v所以 x+v = u+y再 由 R 的 定义 知 ,R 所 以 R 具 有对 称 性 . 再 证 R 具 有传 递 性, , AA, 若 , R 并 且 ,R则
31、由 R 的 定 义 知： u+y=x+v 并 且 x+t=s+y根 据 上 述 两 式 知: u+t= s+v再 根 据 R 的 定 义知 , R 所 以 R 具 有 传 递性 。综 上 所 述 R 为 AA 上 的 等 价 关系 。(2) AA/R=,38、 设 R 为 A 上 的 自 反 和 传 递 的 关 系 ， 证 明 RR -1 是 A 上 的 等 价关 系 。 证 明： 先 证 R R-1 具 有 自 反 性xA由 于 R 为 A 上的 自 反 关 系所 以 R , 再 由 逆 关 系 的定 义 知 R-1所 以 R R-1因 此 R 具有 自反 性 。 再 证 R R-1 具 有
32、 对 称 性R R -1所 以 R 并 且 R -1 由 逆 关 系 的 定义 知 R-1 并且 R 所 以 R-1 R即R R -1所 以 R 具有 对称 性 。 再 证 R 具 有 有 传 递 性x, y, zA ，并 且 , RR -1所 以R 并 且 R -1并且 R 并 且 R-1所 以R 并 且 R 并且 R 并 且 R由 R 的 传 递 性 知 R 并 且R 所 以 R 并 且 R -1所 以 R R -1所 以 R R-1 具 有传 递 性 。综 上 所 述 知 R R-1 为 A 上 的 等 价 关系 。40、 设 R 为 NN 上 的 二 元 关系 ， , N NR b=d
33、(1) 证 明 R 为 等 价 关系 (2) 求 商 集 NN/R证 明 ： (1) 先证 R 具 有 自 反 性N N 因 为 b=b由 R 的 定义 知 R所 以 R 具有 自 反 性 。 再 证 R 具有 对 称 性, N N，若 R 由 R 的 定 义 知 b=d再 由 R 的定 义 知 R 所 以 R 具 有 对 称 性 。 再 证 R 具有 传 递 性, ， NN， 若 R并 且 R 由 R 的 定 义 知 b=d, d=f所 以 b=f再 由 R 的 定 义 知 R 所 以 R 具 有 传 递性综 上 所 述 知 R 为 NN 上 的 等 价关 系 。 (2) NN/R= , 4
34、1、 设 A=1， 2， 3， 4， 在 AA 上 定 义 二 元 关 系 R, A A, Ra+b=c+d(1)证 明 R 为 等 价关 系 。 (2)求 R 导 出 的 划分 。证明 ：( 1) 先 证 R 具 有 自反 性A A 由 于 a+b=a+b再 根 据 R 的 定义 知 ,R 所 以 R 具 有 自反 性 . 再 证 R 具 有 对 称 性, A A, 若 ,R 则 由 R 的 定义 知 ： a+b=c+d所以 c+d = a+b再 由 R 的 定义 知 ,R 所 以 R 具 有对 称 性 . 再 证 R 具 有传 递 性, , AA, 若 , R并 且 ,R则 由 R 的 定 义 知： a+b=c+d 并 且 c+d=e+f根 据 上 述 两 式 知: a+b = e+f再 根 据 R 的 定 义知 , R 所 以 R 具 有 传 递性 。综 上 所 述 R 为 AA 上 的 等 价 关系 。(2) AA/R=,42、 设 R 是 A 上 的 自 反 和 传 递 关 系 ， 如 下 定 义 A 上 的 关 系 T， 使得x, y A T R R 证 明 ： T 是 A 上 的 等 价 关系 。证 明 ： 先 证 T 具 有 自 反性xA由 于 R 是 A 上 自 反 关 系
