1、第7章 习题课,练习7-1（6）简单图的最大度小于结点数。,证明：设简单图G中有n个结点。 任取一个结点v， 由已知G是简单图没有环和重边，v至多和n-1个结点相邻， 也即deg(v) n-1, 而 (G)max deg(v) n-1, 因此 最大度小于结点数。,练习7-2（2）：若无向图G中恰有两个奇数度的结点，则这两个结点之间必有一条路。,证明：设无向图G中两个奇数度的结点为u和v。 从u开始构造一条迹，即从u出发经关联于结点u的边e1到达结点u1，若deg(u1)为偶数,则必可由u1再经关联于结点u1的边e2到达结点u2,如此继续下去,每边只取一次,直到另一个奇数度结点停止,由于图G中只
2、有两个奇数度结点,故该结点或是u或是v。如果是v,那么从u到v的一条路就构造好了。如果仍是结点u,此路是闭迹。,闭迹上每个结点都是关联偶数条边,而deg(u)为奇数,所以至少还有一条关联于结点u的边不在此闭迹上。继续从u出发,沿着该边到达另一个结点u1,依次下去直到另一个奇数度结点停下。这样经过有限次后必可到达结点v,这就是一条从u到v的路。,练习7-2（3）：若图G是不连通的，则G的补图G是连通的。,证明：若G=是不连通的，可设图G的连通分支为GV1,GV2,GVm(m2)。 由于任意两个连通分支GVi,GVj不连通，因此Vi与Vj之 间的连线在补图中，在G中任取两个结点u和v，则u和v 的
3、位置有两种情况： 1)若u和v均在同一个连通分支GVi中,根据上面的分析，可在另一个连通分支GVj（ij)中取一个结点w，使得u与w，v 与w在G中连通，故有uwv，即u与v在G中连通 2)若u与v分别属于两个不同的连通分支GVi与GVj，由上面的分析可知，u与v在G中连通。 故当图G不连通时，则补图G是连通的,7-2（4）:当且仅当G的一条边e不包含在G的回路中时，e才是G的割边。,证明：必要性。（ e是G的割边） 设e是连通图G的割边，e关联的两个结点是u和v。如果e包含在G的一个回路中，那么除边e=(u,v)外还有另一条分别以u和v为端点的路，所以删去边e后，G仍为连通图，这与e是割边相
4、矛盾。,充分性。 如果边e不包含在G的任一条回路中，那么连接结点u和v的边只有e，而不会有其它连接u和v的任何路。因为如果连接u和v还有不同于边e的路，此路与边e就组成一条包含边e的回路，从而导致矛盾。所以删去边e后，u和v就不连通，故边e是割边。,300页（2）,如果u可达v，它们之间可能不止一条路，在所有这些路中，最短路的长度称为u和v之间的距离（或短程线），记作d，如果从u到v是不可达的，则通常写成 d =,300页（3）,用Warshall算法求可达性矩阵。,i=1时，因为A的第一行全为0，所以A不变。,i=2时，因为A的第2列全为0，所以A不变。,i=3时，因为A2，3=A4，3=1
5、，将第3行加到第2行和第4行。,i=4时，因为A4,2=1，将第四行加到第2行，A不变。 i=5时，因为A的第5列全为0，所以A不变。,故A的可达性矩阵为：,300页（4）：写出如图7-3.11所示的图G的完全关联矩阵，并验证其秩如定理7-3.2所述。,完全关联矩阵为:,此图为连通图，由定理7-3.2，其秩为5。,311页（2）构造一个欧拉图，其结点数v和边数e满足下述条件,a)v，e的奇偶性一样。 b) v，e的奇偶性相反。 如果不可能，说明原因。,v=3,e=3,v=5,e=5,v=4,e=4,v=4,e=6,v=7,e=8,v=6,e=7,无向图G具有一条欧拉回路，当且仅当G是连通的，并
6、且所有结点度数全为偶数。下面的图中所有结点度数全为偶数，所以都是欧拉图。,311页（6）,a)画一个有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图。,在无孤立结点图G中，经过图中每条边一次且仅有一次的一条回路，称为欧拉回路。,给定图G，经过图中每个结点恰好一次的回路称作汉密尔顿回路。,b)画一个有一条欧拉回路，但没有一条汉密尔顿回路的图。,c)画一个没有一条欧拉回路，但有一条汉密尔顿回路的图。,设G是一个具有k个奇数度结点（k0）的连通图，证明在G中的边能剖分为k/2条路（边不相重）。,证明：因为一个图中度数为奇数的结点个数必为偶数，故k必为偶数。 将G中k个奇数度结点分为数目相等的两组u1,u2,uk
7、/2和v1,v2,vk/2 。对图G添加边(u1,v1), (u2,v2), (uk/2,vk/2)共k/2条边，得到图G。由于图G中每个结点的度数均为偶数，故G中存在一条欧拉回路。 在图G中删去边(u1,v1),得到一条欧拉路, 此路的两个端点是u1和v1。结点u2和v2必在路的中间, 再删去边(u2,v2)，得到两条边互不相重的迹，这两个迹的端点分别为u2和v2。结点u3和v3必在某一条迹的中间。 再删去边(u3,v3) ，则将一条迹（包含u3和v3的迹）又分为两条边互不相重的迹，共得到3条互不相重的迹。 以此继续下去,直到所有的添加边(u1,v1), (u2,v2), (uk/2,vk/
8、2)全部删去,得到k/2条边互不相重的路(迹)。,练习 317页（1）,317页（2）证明：少于30条边的平面连通简单图至少有一个顶点的度不大于4 。,证明： 用反证法。假设任一顶点的度均大于或等于5，则5v2e60，即v12。 又因为e3v6，所以5v2e6v12 于是5v6v12，即v12。矛盾。 因此至少有一个顶点的度不大于4,练习 321页（1）,(a) v*=5,e*=8,r*=5,(b) v*=7,e*=13,r*=12,(c) v*=5,e*=6,r*=3,(d) v*=7,e*=12,r*=7,证明： 若图G是自对偶的，则v=v*，e=e*，即r*=v=v*=r，e=e* 则由欧拉定理v-e+r=2 得v-e+v=2，即e=2v-2。 若图G是自对偶的，则e=2v-2。,321页(4)证明：若图G是自对偶的，则e=2v-2。,P327 (6)(a)的最小生成树：,P327 (6)(b)的最小生成树有5棵，最小生成树的树权为11。,3,2,2,1,1,2,2,3,2,4,3,1,2,2,1,1,2,2,1,2,
