1、离散试卷及答案第 1 页 共 12 页离散数学试题(A 卷及答案）一、证明题（10 分）1)(P(QR)(QR)(PR)R证 明 : 左 端 (P Q R) (Q P) R)(P Q) R) (Q P) R)(P Q) R) (Q P) R)(P Q) (Q P) R(P Q) (P Q) RT R(置 换 )R2)x(A(x)B(x) xA(x)xB(x)证 明 ： x(A(x)B(x)x(A(x) B(x)xA(x) xB(x)xA(x) xB(x)xA(x)xB(x)二、求命题公式(P(QR)(PQR)的主析取范式和主合取范式（ 10分）证明：(P(QR)(PQR)(P(QR)(PQR)
2、（P(QR)）(PQR)(PQ)(PR)(PQR)(PQR)(PQR)( PQR)(PQR)(PQR)m0m1m2m7M3M4M5M6三、推理证明题（10 分）1） CD, (CD) E, E(AB), (AB)(RS)RS证明：(1) (CD)E (2) E(AB) (3) (CD)(AB)(4) (AB)(RS) (5) (CD)(RS) (6) CD (7) RS2) x(P(x)Q(y)R(x)，xP(x)Q(y) x(P(x)R(x)证明（1）xP(x)(2)P(a)(3)x(P(x)Q(y)R(x)(4)P(a)Q(y)R(a)(5)Q(y)R(a)(6)Q(y)(7)R(a)(8
3、)P(a)(9)P(a)R(a)(10)x(P(x)R(x)(11)Q(y)x(P(x)R(x)四、设 m是一个取定的正整数，证明：在任取 m1 个整数中，至少有两个整数，它们的差是 m的整数倍证明 设 ， ， 为任取的 m1 个整数，用 m去除它们所得余数只能是 0，1， m1，由抽屉原理可知，1a21， ， 这 m1 个整数中至少存在两个数 和 ，它们被 m除所得余数相同，因此 和 的差是 m的sat sat整数倍。五、已知 A、B、C 是三个集合，证明 A-(BC)=(A-B)(A-C) （15 分）证明 x A-（BC） x Ax（BC） x A（xBx C） （x Ax B）（x A
4、xC） x（A-B）x（A-C） x（A-B）（A-C）A-（BC）=（A-B）（A-C）六、已知 R、S 是 N上的关系，其定义如下：R=| x,yNy=x 2，S=| x,yNy=x+1。求 R-1、R*S、S*R、R 1,2、S1,2（10 分）解：R -1=| x,yNy=x 2，R*S=| x,yNy=x 2+1，S*R=| x,yNy=（x+1） 2，离散试卷及答案第 2 页 共 12 页七、若 f:AB 和 g:BC 是双射，则（gf） -1=f-1g-1（10 分） 。证明：因为 f、g 是双射，所以 gf：AC 是双射，所以 gf有逆函数（gf） -1：CA。同理可推 f-1
5、g-1：CA 是双射。因为f -1g-1存在 z（g -1f -1）存在 z（f g）gf （gf） -1,所以（gf） -1=f-1g-1。R 1,2=,，S1,2=1,4。八、 （15 分）设是半群，对 A中任意元 a和 b，如 a b必有 a*b b*a，证明：(1)对 A中每个元 a，有 a*a a。(2)对 A中任意元 a和 b，有 a*b*a a。(3)对 A中任意元 a、 b和 c，有 a*b*c a*c。证明 由题意可知，若 a*b b*a，则必有 a b。(1)由( a*a)*a a*(a*a)，所以 a*a a。(2)由 a*(a*b*a)( a*a)*(b*a) a*b*
6、(a*a)( a*b*a)*a，所以有 a*b*a a。(3)由( a*c)*(a*b*c)( a*c*a)*(b*c) a*(b*c)( a*b)*c( a*b)*(c*a*c)( a*b*c)*(a*c)，所以有a*b*c a*c。九、给定简单无向图 G，且| V| m，| E| n。试证：若 n 2，则 G是哈密尔顿图 1mC证明 若 n 2，则 2n m23 m6 （1） 。1mC若存在两个不相邻结点 、 使得 d( )d( ) m，则有 2n m( m2)( m3) m m23 m6，与（1）矛uvuvVwd)盾。所以，对于 G中任意两个不相邻结点 、 都有 d( )d( ) m，所
7、以 G是哈密尔顿图。uv离散数学试题(B 卷及答案）一、证明题（10 分）1)(PQ)(P(QR)(PQ)(PR) T证明 左端(PQ)(P(QR)(PQ)(PR)(摩根律) (PQ)(PQ)(PR) (PQ)(PR)(分配律) (PQ)(PR) (PQ)(PR) (等幂律) T (代入)2)x(P(x)Q(x)xP(x) x(P(x)Q(x)证明 x(P(x)Q(x)xP(x)x(P(x)Q(x)P(x)x(P(x)Q(x)P(x)x(P(x)Q(x)xP(x)xQ(x)x(P(x)Q(x)二、求命题公式(PQ) (PQ) 的主析取范式和主合取范式（10 分）解：(PQ)(PQ)(PQ)(P
8、Q)(PQ)(PQ)( PQ)(P Q) (PP Q)(QPQ)(PQ)M1m0m2m3三、推理证明题（10 分）1)(P(QS)(RP)QRS证明：（1）R 附加前提(2)RP P(3)P T(1)(2),I(4)P(QS) P(5)QS T(3)(4),I(6)Q P(7)S T(5)(6),I(8)RS CP2) x(P(x)Q(x)，xP(x)x Q(x)证明：(1)xP(x) P(2)P(c) T(1),US离散试卷及答案第 3 页 共 12 页(3)x(P(x)Q(x) P(4)P(c)Q(c) T(3),US(5)Q(c) T(2)(4),I(6)x Q(x) T(5),EG四、
9、例 5在边长为 1的正方形内任意放置九个点，证明其中必存在三个点，使得由它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超过 1/8（10 分） 。证明：把边长为 1的正方形分成四个全等的小正方形，则至少有一个小正方形内有三个点，它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超过小正方形的一半，即 1/8。五、已知 A、B、C 是三个集合，证明 A(BC)=(AB)(AC) （10 分）证明：x A（BC） x Ax（BC） x A（xBxC）（ x AxB）（x AxC） x（AB）x AC x（AB）（AC ）A（BC）=（AB） （AC）六、=A 1，A 2， ，A n是集合 A的一个划分，定义 R=|a
10、、bA i，I=1，2，n，则 R是 A上的等价关系（15 分） 。证明：aA 必有 i使得 aA i，由定义知 aRa，故 R自反。a,bA，若 aRb ，则 a,bA i，即 b,aA i，所以 bRa，故 R对称。a,b,cA，若 aRb 且 bRc，则 a,bA i及 b,cA j。因为 ij 时 AiA j=，故 i=j，即 a,b,cA i，所以 aRc，故 R传递。总之 R是 A上的等价关系。七、若 f:AB 是双射，则 f-1:BA 是双射（15 分） 。证明: 对任意的 xA，因为 f是从 A到 B的函数，故存在 yB，使f，f -1。所以,f -1是满射。对任意的 xA，若
11、存在 y1,y2B，使得f -1且f -1,则有f 且f。因为 f是函数，则 y1=y2。所以，f -1是单射。 因此 f-1是双射。八、设是群，和是的子群，证明：若 A B G，则 A G或 B G（10 分）。证明 假设 A G且 B G，则存在 aA， aB，且存在 bB， bA（否则对任意的 aA， aB，从而 AB，即 A B B，得 B G，矛盾。）对于元素 a*bG，若 a*bA，因 A是子群， a-1A，从而 a-1 * (a*b) b A，所以矛盾，故 a*bA。同理可证 a*bB，综合有 a*bA B G。综上所述，假设不成立，得证 A G或 B G。九、若无向图 G是不连
12、通的，证明 G的补图 是连通的（10 分） 。证明 设无向图 G是不连通的，其 k个连通分支为 、 、 。任取结点 、 G，若 和 不在图 G的同一个连通分12kGuvuv支中，则 ， 不是图 G的边，因而 ， 是图 的边；若 和 在图 G的同一个连通分支中，不妨设其在连通分支uvuvuv（1 ）中，在不同于 的另一连通分支上取一结点 ，则 ， 和 ， 都不是图 G的边， ，因而 ， 和iiki wwuw， 都是 的边。综上可知，不管那种情况， 和 都是可达的。由 和 的任意性可知， 是连通的。w一、 选择题.(每小题 2分，总计 30) 1. 给定语句如下：（1）15 是素数（质数）（2）1
13、0 能被 2整除，3 是偶数。（3）你下午有会吗？若无会，请到我这儿来！（4）2x+30.（5）只有 4是偶数，3 才能被 2整除。(6)明年 5月 1日是晴天。以上 6个语句中，是简单命题的为（A）,是复合命题的为（B）,是真命题的为（C）,是假命题的是（D）,真值待定的命题是离散试卷及答案第 4 页 共 12 页（E）A: (1)(3)(4)(6) (1)(4)(6) (1)（6） B: (2)(4) (2)(4)(6) (2)(5)C: (1)(2)(5)(6) 无真命题 （5） D: (1)(2) 无假命题 (1)(2)(4)(5)E: (4)(6) （6） 无真值待定的命题2.将下列
14、语句符号化：（1）4 是偶数或是奇数。 （A）设 p：4 是偶数，q：4 是奇数（2）只有王荣努力学习，她才能取得好成绩。 （B）设 p：王荣努力学习，q：王荣取得好成绩（3）每列火车都比某些汽车快。 （C）设 F(x):x是火车，G(y):y 是汽车，H(x,y):x 比 y快。A: pq pq pq B: pq qp pqC: x y (F(x) G(y) (H(x,y) x (F(x) y(G(y)H(x,y) x (F(x) y(G(y)H(x,y)3. 设 S=1,2,3,下图给出了 S上的 5个关系,则它们只具有以下性质:R 1是（A）,R 2是(B),R 3是(C)。A B C:
15、自反的，对称的，传递的 反自反的，对称的 自反的 反对称的 对称的 自反的，对称的，反对称的，传递的4. 设S=，1，1，2，则有（1） （A）S （2） (B) S（3） P(S)有（C）个元数。 （4） （D）既是S的元素，又是S的子集A: 1,2 1 B: 1,2 1C: 3 6 7 8 D: 1 二、证明（本大题共 2小题，第 1小题 10分，第 2小题 10分，总计 20分）1、用等值演算算法证明等值式 (pq)(pq)p2、构造下面命题推理的证明如果今天是星期三，那么我有一次英语或数学测验；如果数学老师有事，那么没有数学测验；今天是星期三且数学老师有事，所以我有一次英语测验。三、计
16、算（本大题共 4小题，第 1小题 5分，第 2小题 10分，第 3小题 15分，总计 30分）1、设 ，求公式：1, ， 个 体 域 为为，整 除为 xQyxP的真值。,2、设集合 上的关系 ，求出它的自反闭包，对称闭包和传递闭包。A432,1 4,32,R3、设 上的整除关系 ， 是否为 上的偏序关系？若是，则：,8A 211aAa整 除RA1、画出 的哈斯图；（10 分）R2、求它的极小元，最大元，极大元，最大元。 （5 分）四、用推导法求公式 的主析取范式和主合取范式。 （本大题 10分）pq答案：一、 选择题1. A: B: C: D: E: 2.A: B: C: 离散试卷及答案第 5
17、 页 共 12 页3.A: B: C: 4.A: B: C: D:二、证明题1. 证明 左边 （(pq)p） （(pq)q)） （分配律） p（(pq) q)） (吸收律) p（(pq) (qq)） （分配律） p（(pq)1） （排中律） p (pq) （同一律） p （吸收律）2.解：p：今天是星期三。q：我有一次英语测验。r：我有一次数学测验。s：数学老师有事。前提：p(qr) , s r , ps结论：q 证明：ps 前提引入p 化简p(qr) 前提引入qr 假言推理s 化简sr 前提引入r 假言推理q 析取三段论推理正确。三、计算1. ,12,11,22,xyPQxPyPQPQ,2,
18、0,010该公式的真值是 1，真命题。或者TFTFQPPQPP xxxyx 2,21,2,1,2、 4,3,4,3,1)(Rr 3,42,12)(Rs ,11,t3、 （1） 是 上的偏序关系。A离散试卷及答案第 6 页 共 12 页（2）极小元、最小元是1,极大元、 最大元是24。四、 2301pqpqpq，主 合 取 范 式 ，安徽大学 2004-2005学年第二学期离散数学期末考试试卷（A 卷）参考答案一、单项选择1 在自然数集 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）NA. B. ba* ,max*bC. D. 2)3(od2 下列代数系统中，哪个是群？（ ）SA. ，*是模 7加法 B.
19、（有理数集合） ，*是一般乘法5,310QSC. （整数集合） ，*是一般减法 D. ，*是模 11乘法Z9,54313 若是的真子群，且 ， ，则有（ ） 。HGnHmGA. 整除 B. 整除 nmC. 整除 且 整除 D. 不整除 且 不整除 n4 下面哪个集合关于指定的运算构成环？（ ）A. ，关于数的加法和乘法,|23ZbaB. 阶实数矩阵 ，关于矩阵的加法和乘法nC. ，关于数的加法和乘法,|D. ，关于矩阵的加法和乘法Zba,5 在代数系统中，整环和域的关系为（ ） 。A. 域一定是整环 B.域不一定是整环 C. 整环一定是域 D. 域一定不是整环6 是自然数集， 是小于等于关系，
20、则 是（ ） 。N),(NA. 有界格 B.有补格 C. 分配格 D. 有补分配格7 图 1-1给出的哈斯图表示的格中哪个元素无补元？（ ）A. B. C. D. 图 1-1acef ab c de f g离散试卷及答案第 7 页 共 12 页8 给定下列序列，可构成无向简单图的结点度数序列的是（ ） 。A.（1，1，2，2，3） B.（1，3，4，4，5）C.（0，1，3，3，3） D.（1，1，2，2，2）9 欧拉回路是（ ） 。A.路径 B.简单回路 C.既是基本回路也是简单回路 D.既非基本回路也非简单回路10 哈密尔顿回路是（ ） 。A.路径 B.简单回路 C.既是基本回路也是简单回
21、路 D.既非基本回路也非简单回路二 、 填空题（以下每个下划线为一空，请按要求填入合适的内容。每空 2分，共 30分） 。1 设 是非空有限集，代数系统 中， 对 运算的单位元是，零元是， 对 运算S）,)(SP)(S )(SP的单位元是。 2 在运算表 2-1中空白处填入适当符号，使 成为群。),(cba，。3 设 ， 是群 的子群，其中8,40H12, 12,N， 是模 12加法，则 有12N12,个真子群， 的左陪集 ， 。3H44设 是一个布尔代数，如果在 上定义二元运算 为：,AA，则 是一个。 表 2-1)()(baba,5 任何一个具有 个元素的有限布尔代数都是。n26 若连通平
22、面图 有 4个结点，3 个面，则 有条边。GG7 一棵树有两个结点度数为 2，一个结点度数为 3，三个结点度数为 4，它有个度数为 1的结点。8 无向图 是由 （ ）棵数组成的森林，至少要添加条边才能使 成为一棵树。k G三、求解题（20 分） 1 试写出 中每个子群及其相应的左陪集。 （6 分）,N2 若一个有向图 是欧拉图，它是否一定是强连通的？若一个有向图 是强连通的，它是否一定是欧拉图？说明理由。 （6G分）3 有向图 如图 3-1所示。（1）求 的邻接矩阵 ； （2 分）A（2） 中 到 长度为 4的路径有几条？ （2 分）1v（3） 中 到自身长度为 3的回路有几条？ （2 分）G
23、（4） 是哪类连通图？ （2 分）图 3-1四、证明题（30 分）1 设 是一群， 。定义： ， 。证明 也是一群。 ,*xbxa*G,2 证明：（1）证明在格中成立： 。 （5 分）)()()()*( dcdcba b ca a b a b cc c 2e74v412v313 65离散试卷及答案第 8 页 共 12 页（2）证明布尔恒等式： 。 （5 分）)*()(*)()*( bacbac3 证明：（1）在 6个结点 12条边的连通平面简单图中，每个面由 3条边围成。 （5 分）（2）证明当每个结点的度数大于等于 3时，不存在有 7条边的简单连通平面图。安徽大学 2004-2005学年第二
24、学期离散数学期末考试试卷（A 卷）参考答案一、单项选择1B; 2.D; 3.A; 4.C; 5.A; 6.C; 7.B; 8.D; 9.B; 10.C.二 、 填空题1 ， ， ； 2 ， ， ， ； 3 5， ， ； 4 交换群；Scba1,70,85 同构； 6 5； 7 9； 8 。1k三、求解题1 解：子群有： ， ， 。6,06,36,420的左陪集为： ， ， ， ， ，6, 15的左陪集为： ， ，3,的左陪集为： ，6,42042032 答：（1）一个有向欧拉图一定是强连通图。因为 是欧拉图，存在欧拉回路 ， 中的每个结点至少在 中出现一次。GCGC因而 中任意两点 ， 都在
25、中，相互可达，故 是强连通的。 （2）一个强连通图不一定是有向欧拉图。因为强连通图GuvC中每个结点的入度不一定等于其出度。3 解：（1） 012A10322A01343A104624A（2）由 中 可知， 到 长度为 4的路径有条（ ， ， ， ） 。4a1v64e676521e6531（3）由 中 可知， 到自身长度为 3的回路有 1条（ ） 。3A11（4） 是单向连通图。G四、证明题1 证明：显然 是 上的二元运算（即满足封闭性） ，要证 是群，需证结合律成立，同时有单位元，每个元素有逆元。 G，有cba,)()*(*)()( cbacxbacxba 运算是可结合的。 其次， 是 的单
26、位元。事实上， ，有1x,G；axa1*ax*111v45678离散试卷及答案第 9 页 共 12 页最后证明， ， 是 在 中的逆元。事实上，Ga11*xa,G11)*( xx 11*ax由以上证明， 是群。,2 证明：（1） （公式(13)分配不等式）)()()*()( dbcbadcba又因为 ， ，所以 。* )(*ca（2）因为 ， ，所以有，1 )(c)()*()()( cbbacbac )*(*c（吸收律）)()()(cba即等式成立。 3 证明：（1）因图中结点数和边数分别为 ， ，根据欧拉公式 ，得 。又6n12m2kmn8，而简单连通平面图的每个面至少由 3条边围成，所以在
27、 6个结点 12条边的连通平面简单图中，每24)deg(mvi个面由 3条边围成。（2）设 图为简单连通平面图，有 个面。 （反证法）),(nk若 ，由欧拉公式知 ，而每个面至少由 3条边围成，有 ，则 ，且 是整792k mk2314k数，所以 ；又对任结点 ， ，有 ，故 ，且 是整数，所以 。这样4kVv)deg(vmn2314n就有 ，与 矛盾，所以结论正确。8nkn安徽大学 2007 2008学年第 2 学期离散数学（下） 考试试卷（A 卷）一、单项选择题（每小题 2分，共 20分）1. 下列集合关于数的加法和乘法运算不能构成环的是（ ）A.自然数集合； B.整数集合； C.有理数集
28、合； D.实数集合。2. 设 为整数集合，则下列集合关于数的加法运算不能构成独异点的是（ ）IA. ； B. ； C. ； D. 。2|kI21|kI35|,mnI3. 设 ， 为模 加法，则下列元素是 的生成元的是（ ）60,15N 66,N离散试卷及答案第 10 页 共 12 页A.2； B.3； C.4； D.5。4. 设 是整环，则 不一定是（ ）,F,FA.可交换环； B.无零因子环； C.含么环； D.域。5. 格不一定具有（ ）A.交换律； B.结合律； C.分配律； D.吸收律。6. 设 ， 和 分别表示求最小公倍数和最大公约数运算，则 是（ ）1,248S ,SA.有补格；
29、B.分配格； C.有补分配格； D.布尔代数。7. 一个含 个结点的无向图中有 个结点的度数分别为 ，则第 个结点的度数不可能是（ ）31,234A.0； B.1； C.2； D.4。8. 设连通的简单平面图 中有 10条边和 5个面，则 的结点数为（ ）GGA.6； B.7； C.8； D.9。9. 设无向树 中有 个结点度数为 ， 个结点度数为 ， 个结点度数为 ，则 中的树叶数为（ ）T1234TA.10； B.11； C.12； D.13。10.设 为连通的无向图，若 仅有 个结点的度数是奇数，则 一定具有（ ）GGGA、 欧 拉 路径； B、 欧 拉 回 路 ； C 、 哈密尔顿路径
30、； D、 哈密尔顿回路。二、填空题（每小空 2分，共 20分）1. 设 为实数集合， ，则在代数 中，R|01SxRx,maxS关于 运算的么元是 ，零元是 。Sma2. 设 为模 加法，则在 中，元素 的阶为 ， 的阶为 。1010,9, 563. 设 ， 和 分别为求最大公约数和最小公倍数运算，10,25,1,Sgcdlm则在布尔代数 中，原子的个数为 ，元素 的补元为 。10,gcdl24. 在格 中， ， 当且仅当 当且仅当 。,L,abLabab5. 一个具有 个结点的简单连通无向图的边数至少为 ，至多为 。n三、解答题（第 1小题 12分，第 2小题 8分，共 20分）1. 设图
31、如图 1所示，G(1) 求 的邻接矩阵 ；A离散试卷及答案第 11 页 共 12 页(2) 求 ，说明从 到 的长为 的路径各有几条；(2)3(4),A1v42,3(3) 求 的可达矩阵 ； GP(4) 求 的强连通分图。2. 求群 的所有子群及由元素 确定的各子群的左陪集，其中 ， 是模 加法。8,N580,17N8四、证明题（每小题 10分，共 40分）1. 证明布尔恒等式： 。()()(abcbac2. 设 为实数集合， 和 为数的加法和乘法运算，对 ， ，R,bRba*证明： 为独异点。,3. 证明：若 简单无向图 满足 ，则图 是连通图。)(mnG)2(1nG4. 设 是一个群， ；
32、定义一个映射 ，使得对于 有 ；,Ga:fx1()fax证明： 是f,安徽大学 2007 2008学年第 2 学期离散数学（下） 考试试卷（A 卷）一、单项选择题（每小题 2分，共 20分）1.A； 2.C； 3.D； 4.D； 5.C； 6.B； 7.B； 8.B； 9.A； 10.A。二、填空题（每小空 2分，共 20分）1. ， ； 2. ， ； 3. ， ； 4. ， ； 5. ， 。03abn()/2三、解答题（第 1小题 12分，第 2小题 8分，共 20分）1. (1) 的邻接矩阵 ； 2 分G01A(2) ； ； ； 5 分(2)01A(3)02A(4)02A从 到 的长为 的
33、路径的条数分别为 ； 8 分1v4, 1,2(3) 的可达矩阵为 ； 10 分G01P离散试卷及答案第 12 页 共 12 页(4) 因 ，故 的强连通分图的结点集为 ， 。 12 分01TPG1v234,v2. 的子群为： ， ， ， ； 4 分8,N80,8,246,80,48,N元素 确定的各子群的左陪集对应为： ， ， ， 。 8 分551,37,5四、证明题（每小题 10分，共 40分）1. 2分()()()abcbabc6分a 。 10 分1()()abcc2. 因 对 和 运算封闭，故 对 运算封闭；对 ， 2 分RR,xyzR,xyzzxyzxyzyxzyx )(*)(*)(
34、yz故 ，从而 上的 运算满足结合律； 6 分()()xyzyzR因对 ， ， ，故 为 运算的么元； Rxx0*0 x00*综合以上， 为 上的可结合的二元运算，且 关于 运算有么元，所以 为独异点。 10 分,R3. 假设 有 个连通分图，则因 为简单无向图，故 ， 4 分G(2)kG12()1)mnk因为 ，所以 ， ， 8 分02nk0nk所以 ，这与 矛盾！112()()m12()所以图 是连通图。 10 分4. 对 ，若 ，则 ，故 ，从而 为单射； 3 分12,xG12()fxf112axxa2xf， 且 ，因此 ，使 ，所以 为满射； 6 分yay1)yG()fy， ，故 为同态； 9 分,x 11()()()fxxaxaxff所以 是 的群自同构。 10 分f,G
