1、江苏省泰兴中学高一数学教学案(36)抽象函数的对称性与周期性班级 姓名 知识点梳理一、 抽象函数的对称性定理 1. 若函数 定义域为 ，且满足条件： ，则函数)(xfyR)()(xbfaf的图象关于直线 对称。)(xfy2ba推论 1. 若函数 定义域为 ，且满足条件： ，则函数)(f )()(ff的图像关于直线 对称。)(fx推论 2. 若函数 定义域为 ，且满足条件： ),则函数fyR2xafxf的图像关于直线 对称。xfya总结： 的系数一个为 1，一个为-1，相加除以 2，可得对称轴方程推论 3. 若函数 定义域为 ，且满足条件： ， 又若方程)(f )()(xfaf有 个根，则此 个
2、根的和为 。0)(xfnn定理 2. 若函数 定义域为 ，且满足条件： （ 为xfyRcbffba,常数） ，则函数 的图象关于点 对称。)()2,(cb推论 1. 若函数 定义域为 ,且满足条件： 成立，则xfy 0)(xfaf的图象关于点 对称。)(f )02(a推论 2.若函数 定义域为 ，且满足条件： （ 为常数） ，R)()(fxf a则函数 的图象关于点 对称。)(xfy),(总结： 的系数一个为 1，一个为-1， 整理成两边，其中一个的系数是为 1，另一个xxf为-1，存在对称中心。定理 3.若函数 定义域为 ，则函数 与 两函数的图象)(xfyR)(xafy)(xbfy关于直线
3、 对称（由 可得） 。2abbx推论 1. 函数 与函数 的图象关于直线 对称。)(xfy)(fyax推论 2. 函数 与函数 的图象关于直线 对称。a0定理 4.若函数 定义域为 ，则函数 与 的图象关)(xfyR)(xafy)(xbfcy于点 对称。2,cab推论. 函数 与函数 图象关于点 对称。)(xfy)(xbfy)0,2(二、抽象函数的周期性命题：若 是非零常数，对于函数 定义域的一切 ，满足下列条件之一，则a)(xfyx函数 是周期函数.)(xfy定理 5.若函数 定义域为 ，且满足条件 ，则 是)(fR)()(bfaf)(xfy以 为周期的周期函数。baT推论 1.若函数 定义
4、域为 ，且满足条件 ，则)(xfy )()(fxf是以 为周期的周期函数。)2ba推论 2.若函数满足条件 则 是以 为周期的周期函数。1,ffx则 T=2a)(xfyaT2推论 3. 若函数满足条件 则 是以 为周期的周期函1,ffxax则 4)(xfya4数。定理 7.若函数 的图象关于直线 与 对称，则 是以)(xfya)(b)(xfy为周期的周期函数。2abT定理 8.若函数 的图象关于点 与点 对称，则 是以f)0,(),(bf为周期的周期函数。)(定理 9.若函数 的图象关于直线 与 点 ，则 是以xfyax)(0,ba)(xfy为周期的周期函数。4abT总结： 的系数同为为 1，
5、具有周期性。x例题讲解：1.求函数值例1 是 上的奇函数 = ， 0，2时 ，求 (2007) )(xfR)(xf)4(fx)(xff的值 .例2 已知 是定义在 上的函数，且满足 1 =1+ ，)(xfR)(xf)2)(xf)(f=2，求 的值. )1(f092. 求函数解析式例3 已知 是定义在R上的偶函数， = ，且当 时，)(xf )(xf)42,0x=- ，则当 时,求 的解析式)(xf1246)(f3.判断函数的奇偶性例4 已知 是定义在 上的函数，且满足 = ，)(xfR)9(xf 1()fx， 试判断函数 的奇偶性.9)9(fxf)(xf4.判断函数的单调性例5 已知 是定义在
6、 上的偶函数， = ,且当 时，)(xfR)(xf)42,0x是减函数，求证当 时 为增函数)(xf 4,6)(xf例6 满足 =- ， = ，若 =- ，)(xf)(f)6(xf(f)2x)(af)20(f5，9且 在5，9上单调.求 的值. aa5.确定方程根的个数例7 已知 是定义在 上的函数， = ， = , )(xfR)(xf)4)7(xf)(xf(0)=0，求在区间1000，1000上 =0至少有几个根？f江苏省泰兴中学高一数学作业(36)班级 姓名 得分 1、定义在 上的非常数函数满足： 为偶函数，且 ,则R)10(xf)5()(xff一定是（ ）)(xfA.是偶函数，也是周期函
7、数 B.是偶函数，但不是周期函数 C.是奇函数，也是周期函数 D.是奇函数，但不是周期函数2、已知函数 ()fx是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x都有(1xff，则5()2f的值是（ ）A.0 B.1C.1 D.523、已知 ， ， ，13xf1ffx21ffx，则 （ ）.1nnfxf204fA. B. C. D.3 77354、 是单位长方体，黑白二蚁都从点 出发，沿棱向前爬行，每走一ABCD1 A条棱称为“走完一段” 。白蚁爬行的路线是 黑蚁爬行的路线是,11D它们都遵循如下规则：所爬行的第 段所在直线与第 段所在直线必.1BA 2ii须是异面直线（其中 .设黑白二
8、蚁走完第 1990 段后，各停止在正方体的某个顶点处，)Ni这时黑白蚁的距离是( )A.1 B. C. D.0235、 yfx定义域为 ，且对任意 xR都有1fxf，若 2f则R)209(_6、已知 是 上的偶函数，对 都有 = 成立，若)(xfRRx)6(xf(f)3f2)1(f则 = )201(f7、函数 在 上有定义，且满足 是偶函数，且 ， )(xfR)(xf025f1gxf是奇函数，则 的值为 205f8、设 是定义在 上的偶函数，且 ,当1 0 时，)(xfR)1()(xff= ，则 (8.6 ) = _)(f21f9、设 是定义在区间 上且以 2 为周期的函数，对 ，用 表示区间)(xf ),(ZkkI已知当 时， 求 在 上的解析式.),12,(k0Ix.)(2xf)(fkI10、若 是以 2 为周期的偶函数，当 时， 试比较 、)(Rxf1,0x,)(2015xf)98(f、 的大小.)170(f54f
