1、1函数对称性与周期性知识归纳：一函数自身的对称性结论结论 1. 函数 y = f (x)的图像关于点 A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2ax) = 2b证明：（必要性）设点 P(x ,y)是 y = f (x)图像上任一点，点 P( x ,y)关于点 A (a ,b)的对称点 P（ 2ax，2b y ）也在 y = f (x)图像上， 2by = f (2ax)即 y + f (2ax)=2b 故 f (x) + f (2ax) = 2b，必要性得证。（充分性）设点 P(x0,y0)是 y = f (x)图像上任一点，则 y0 = f (x0) f (x) + f (2
2、ax) =2bf (x0) + f (2ax 0) =2b，即 2by 0 = f (2ax 0) 。 故点 P（2a x 0，2b y 0）也在 y = f (x) 图像上，而点 P 与点 P关于点 A (a ,b)对称，充分性得征。推论：函数 y = f (x)的图像关于原点 O 对称的充要条件是 f (x) + f (x) = 0结论 2. 若函数 y = f (x)满足 f (a +x) = f (bx)那么函数本身的图像关于直线 x = 对称，反2ab之亦然。证明 ：已知对于任意的 都有 f(a+ ) =f(b )=0,xy0x0y令 a+ = , b =0 “则（ ， ） ，（ ，
3、 ）是函数 y=f(x)上的点 0显然，两点是关于 x= 对称的。2a反之，若已知函数关于直线 x = 对称，b在函数 y = f (x)上任取一点（ ）那么 （ ）0,yP0,xy关于 x = 对称点 （a+ b , ）也在函数上2abP0x故 f( )=f(a+ b ) f(a+( -a)=f(b-( -a)0000所以有 f (a +x) = f (bx)成立。推论 1：函数 y = f (x)的图像关于直线 x = a 对称的充要条件是 f (a +x) = f (ax) 即 f (x) = f (2ax) 推论 2：函数 y = f (x)的图像关于 y 轴对称的充要条件是 f (x
4、) = f (x)结论 3. 若函数 y = f (x) 图像同时关于点 A (a ,c)和点 B (b ,c)成中心对称（ab） ，则 y = f (x)是周期函数，且 2| ab| 是其一个周期。若函数 y = f (x) 图像同时关于直线 x = a 和直线 x = b 成轴对称 （ab） ，则 y = f (x)是周期函数，且 2| ab| 是其一个周期。若函数 y = f (x)图像既关于点 A (a ,c) 成中心对称又关于直线 x =b 成轴对称（ab） ，则 y = f (x)是周期函数，且 4| ab|是其一个周期。的证明留给读者，以下给出的证明：函数 y = f (x)图像
5、既关于点 A (a ,c) 成中心对称，f (x) + f (2ax) =2c，用 2bx 代 x 得：f (2bx) + f 2a(2b x) =2c（*）又函数 y = f (x)图像直线 x =b 成轴对称， f (2bx) = f (x)代入（* ）得：f (x) = 2cf 2(ab) + x（*） ，用 2（ab ）x 代 x 得f 2 (ab)+ x = 2cf 4(ab) + x代入（*）得：f (x) = f 4(ab) + x,故 y = f (x)是周期函数，且 4| ab| 是其一个周期。二不同函数的对称性结论结论 4. 函数 y = f (x)与 y = 2bf (2
6、ax)的图像关于点 A (a ,b)成中心对称。结论 5. 函数 y = f (x)与 y = f (2ax)的图像关于直线 x = a 成轴对称。函数 y = f (x)与 ax = f (ay)的图像关于直线 x +y = a 成轴对称。函数 y = f (x)与 xa = f (y + a)的图像关于直线 xy = a 成轴对称。定理 4 与定理 5 中的证明留给读者，现证定理 5 中的设点 P(x0 ,y0)是 y = f (x)图像上任一点，则 y0 = f (x0)。记点 P( x ,y)关于直线 xy = a 的轴对称点为 P（ x1， y1） ，则 x1 = a + y0 ,
7、y1 = x0a ，x 0 = a + y1 , y0= x1a 代入 y0 = f (x0)之中得 x1a = f (a + y1) 点 P（x 1， y1）在函数 xa = f (y + a)的图像上。同理可证：函数 xa = f (y + a)的图像上任一点关于直线 xy = a 的轴对称点也在函数 y = f (x)的图像上。故定理 5 中的成立。推论：函数 y = f (x)的图像与 x = f (y)的图像关于直线 x = y 成轴对称。三三角函数图像的对称性函 数 对称中心坐标 对称轴方程y = sin x ( k, 0 ) x = k+/2y = cos x ( k+/2 ,0
8、 ) x = ky = tan x (k/2 ,0 ) 无注：上表中 k Z举例例 1：定义在 R 上的非常数函数满足： f (10+x)为偶函数，且 f (5x) = f (5+x),则 f (x)一定是（ ）(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数解：f (10+x)为偶函数，f (10+x) = f (10x).f (x)有两条对称轴 x = 5 与 x =10 ，因此 f (x)是以 10 为其一个周期的周期函数， x =0即 y 轴也是 f (x)的对称轴，因此 f (x)还是一个偶函数。故选(A)例
9、2：设定义域为 R 的函数 y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且 f(x1)和 g-1(x2) 函数的图像关于直线 y = x 对称，若 g(5) = 1999，那么 f(4)=（ ）。 （A） 1999； （B）2000； （C ）2001； （D ）2002。 解：y = f(x1)和 y = g-1(x2)函数的图像关于直线 y = x 对称，y = g -1(x2) 反函数是 y = f(x1)，而 y = g-1(x2) 的反函数是:y = 2 + g(x), f(x1) = 2 + g(x), 有 f(51) = 2 + g(5)=2001 故 f(4) = 200
10、1,应选（C ）例 3.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(1+x)= f(1x),当 1x0 时，f (x) = x，则 f 21(8.6 ) = _ 解：f(x)是定义在 R 上的偶函数x = 0 是 y = f(x)对称轴；又f(1+x)= f(1x) x = 1 也是 y = f (x) 对称轴。故 y = f(x)是以 2 为周期的周期函数，f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (0.6 ) = 0.3例 4.函数 y = sin (2x + )的图像的一条对称轴的方程是（ ） 25(A) x = (B) x = (C) x = (D)
11、x =24845解：函数 y = sin (2x + )的图像的所有对称轴的方程是 2x + = k +52x = ,显然取 k = 1 时的对称轴方程是 x = 故选(A)k例 5求证:若 为奇函数，则方程 =0 若有根一定为奇数个。fxRf证: 为奇函数 - =f0ff02 =0 即 =0 是方程 =0 的根0xx若 是 =0 的根，即 =0 由奇数定义得 =01xf1f 1fx1f也是方程的根 即方程的根除 =0 外成对出现。 方程根为奇数个。x练习：1设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x+2)= f(x), 当 0x1 时，f (x) = x，则 f (7.5 ) = （
12、）(A) 0.5 (B) 0.5 (C) 1.5 (D) 1.5解：y = f (x)是定义在 R 上的奇函数， 点（0，0 ）是其对称中心；又f (x+2 )= f (x) = f (x)，即 f (1+ x) = f (1x)， 直线 x = 1 是 y = f (x) 对称轴，故 y = f (x)是周期为 2 的周期函数。f (7.5 ) = f (80.5 ) = f (0.5 ) = f (0.5 ) = 0.5 故选(B)2知函数 y=f(x)对一切实数 x 满足 f(2-x)=f(4+x)，且方程 f(x)=0 有 5 个实根，则这 5 个实根之和为（ C ）A、5 B、10
13、C、15 D、183 是周期为 2 的奇函数，当 时， 则()fx01x()lg.fx63(),52afb(),cf（A） （B） （C） （D）abcbaccba解：已知 是周期为 2 的奇函数，当 时，()f ()l.fx设 ， ， 0，64()55f31()22ff1()2cff，选 D.c4定义在 R上的函数 xf是奇函数又是以 为周期的周期函数 ,则 74ff等于(B )A.-1 B.0 C.1 D.45用 mina,b表示 a，b 两数中的最小值。若函数 f(x)=min|x|,|x+t|的图像关于直线 x=12对称，则 t 的值为( )A-2 B2 C-1 D16定义在 R 上的
14、函数 f(x)满足 f(x)= 0),2()1(,log2xfxf ，则 f（2010）的值为 ( B ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2解析 由已知得 21)logf, (0f, ()(1)ff,(2)(f, (3)10f,43)0f, 5(43)ff, (6)5(4)0ff,所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f（2010 ） = f（6 ）=0,故选 C.7 定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，且 ，则方程 =0 在区间（0，6 ）内解02x的个数的最小值是 （ ） A5 B4 C3 D2解析：由 的周期性知，)(xf 415)2( ffff即至少有根 1，
15、2，4 ，5。故选择 B。8设函数 y=f(x)的定义域为 R，且满足 f(x+1)=f(1-x)，则 y=f(x+1)的图象关于_y_对称。y=f(x)图象关于 _x=1_对称。9设 y=f(x)的定义域为 R，且对任意 xR，有 f(1-2x)=f(2x)，则 y=f(2x)图象关于_对称，y=f(x) 关于_ 对称。10设函数 y=f(x)的定义域为 R，则下列命题中，若 y=f(x)是偶函数，则 y=f(x+2)图象关于 y 轴对称；若 y=f(x+2)是偶函数，则 y=f(x)图象关于直线 x=2 对称；若 f(x-2)=f(2-x)，则函数 y=f(x)图象关于直线 x=2 对称；
16、y=f(x-2)与 y=f(2-x)图象关于直线 x=2 对称，其中正确命题序号为_。11设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 的图象关于直线 对称，则 f (1)+ f (2)+ f xfy21x(3)+ f (4)+ f (5)= _.【考点分析】本题考查函数的周期性解析： 得 ，假设0f0f0fn因为点（ ，0）和点（ ）关于 对称，所以n1,n12x10fnffn因此，对一切正整数 都有： f从而： 。本题答案填写：012345ff12函数 对于任意实数 满足条件 ，若 则xxfxf15,f_。5f【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。解析：由 得 ，所以 ，则12f
17、xf14()2fxfxf(5)1f。5()()5f f【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一般都比较灵活。本题应直观理解 “只要加 2，则变倒数，加两次则回原位” 则一通尽通12fxf也。13设函数 的定义域为 R，若 与 都是关于 的奇函数，则函数f x1fx在区间 上至少有 个零点. yx0,1答案：f(2k -1)=0，kZ. 又可作一个函数 满足问题中的条件，且 的f f一个零点恰为 ，kZ . 所以至少有 50 个零点.214设 f(x)= ，又记 f1(x)=f(x), ,k=1,2,则 =x)()(1xffkk )(201xf解：， ，据此，112
18、,ffxfxx3234,11ffxffx， ，因 2010 为 4n+2 型，故选4142,nnff434,nnffx.B15已知偶函数 y=f(x)定义域为 R，且恒满足 f(x+2)=f(2-x)，若方程 f(x)=0 在0,4 上只有三个实根，且一个根是 4，求方程在区间(-8,10中的根方程的根为-6,-4,-2,0,2,4,6,8,10 共 9 个根16设函数 在 上满足 ， ，且在闭区间()fx,)(2)()fxf(7)fxf0 ， 7上，只有 1(30f（）试判断函数 的奇偶性；y（）试求方程 =0 在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论()f【考点分析】本题考
19、查函数的奇偶性与周期性解析：由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数 的对称轴为 ,)(xfy72x和从而知函数 不是奇函数,)(xfy由 )14()()14()7(2 fffxff ,从而知函数 的周期为)10)xy0T又 ,故函数 是非奇非偶函数;(3而 x(II)由 )14()()14()7)(2 xfxfffxff 10x(II) 又 09(73(,3 f故 f(x)在 0,10和 -10,0上均有有两个解,从而可知函数 在0,2005上有 402 个解,在-)xy2005.0上有 400 个解,所以函数 在-2005,2005 上有 802 个解.)(xfy17 定义域为 R，对于任意 x 都有 且fx1f问 是否是周期函数？如是则周期是多少？4ff解：如图可知 M（1 ，0） ，N（4 ，0）是对称中心，设 为 的任意一点，它的关0xf于 M 的对称点是 则：x1,设 与 关于 N 点对称则 4 = 4，2x112206x由题意 01,ffxff即对于任意 都有2xxRfxf是周期函数，周期为 6.f结论：若函数 的图象为对称中心在 X 轴上的中心对称图形，则 为周期函fx()Rfx数，周期为两对称中心距离的 2 倍。
