1、- 1 -第 5 炼 函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1） 关于 轴对称（当 时，恰好就是偶函数）faxffxa0（2） 关于 轴对称b2b在已知对称轴的情况下，构造形如 的等式只需注意两点，一是等式fxf两侧 前面的符号相同，且括号内 前面的符号相反；二是 的取值保证 为所f ,ab2abx给对称轴即可。例如： 关于 轴对称 ，或得到fx12fxf均可，只是在求函数值方面，一侧是 更为方便31fxf（3） 是偶函数，则 ，进而可得到： 关于 轴对afxafx
2、fxa称。 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在 中， 仅是括号中的fa一部分，偶函数只是指其中的 取相反数时，函数值相等，即 ，要与xxfx以下的命题区分：若 是偶函数，则 ： 是偶函数中的 占据整个括号，所fxfafaf以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有 xfxa 本结论也可通过图像变换来理解， 是偶函数，则 关于 轴对称，f 0而 可视为 平移了 个单位（方向由 的符号决定） ，所以 关于fxfxaafx对称。a3、中心对称的等价描述：（1） 关于 轴对称（当 时，恰好就是奇函数）fxfxf,00（2） 关于 轴对称fafbf,2ab在已知对称中心的情况下，构造形如
3、 的等式同样需注意两点，一fxfx- 2 -是等式两侧 和 前面的符号均相反；二是 的取值保证 为所给对称中心即可。fx,ab2abx例如： 关于 中心对称 ，或得到1,0fxf均可，同样在求函数值方面，一侧是 更为方便35fxfxfx（3） 是奇函数，则 ，进而可得到： 关于 轴afafxaf,0a对称。 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在 中， 仅是括号中的fxa一部分，奇函数只是指其中的 取相反数时，函数值相反，即 ，要与x fx以下的命题区分：若 是奇函数，则 ： 是奇函数中的 占据整个括号，fxfafxafx所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有 fxa 本结论
4、也可通过图像变换来理解， 是奇函数，则 关于 中心对称，fx0,而 可视为 平移了 个单位（方向由 的符号决定） ，所以 关于fxfxaafx对称。,0a4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部” ，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同（二）函数的周期性1、定义：设 的定义域为 ，若对
5、，存在一个非零常数 ，有fxDxT，则称函数 是一个周期函数，称 为 的一个周期fxTf fx2、周期性的理解：可理解为间隔为 的自变量函数值相等T3、若 是一个周期函数，则 ，那么 ，f fxf2fTffx即 也是 的一个周期，进而可得： 也是 的一个周期TxkZx4、最小正周期：正由第 3 条所说， 也是 的一个周期，所以在某些周期函数Tf中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正- 3 -周期，比如常值函数 fxC5、函数周期性的判定：（1） ：可得 为周期函数，其周期fxafbfxTba（2） 的周期x2Ta分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等
6、间距再构造一个等式： fxaf所以有： ，即周期2fxafxf2Ta注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期（3） 的周期1fxafxf2Ta分析： 12f fxfaf（4） （ 为常数） 的周期fxfkf2Ta分析： ，两式相减可得：,2afxak2fxfx（5） （ 为常数） 的周期kfxTa（6）双对称出周期：若一个函数 存在两个对称关系，则 是一个周期函数，具体f fx情况如下：（假设 ）ba 若 的图像关于 轴对称，则 是周期函数，周期fx,xbfx2Tba分析： 关于 轴对称 2fa关于 轴对称fxxfbx的周期为2a
7、fbxfTa 若 的图像关于 中心对称，则 是周期函数，周期fx,0afx2Tba 若 的图像关于 轴对称，且关于 中心对称，则 是周期函数，周期x,0bfx- 4 -4Tba7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹” ，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”（3）单调区间：由于间隔 的函数图象相同，所以若 在 上kTZfx,abT单调增（减） ，则 在 上单调增（减）fx,abk（4）对称性：如果一个周期为 的函数 存在一条对称
8、轴 （或对称中心） ，则fxx存在无数条对称轴，其通式为 fx 2TakZ证明： 关于 轴对称 fxafxfx函数 的周期为 Tfk关于 轴对称2fxkfxx2kTa注：其中（3） （4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法二、典型例题：例 1：设 为定义在 上的奇函数， ，当 时， ，则()fxR()(fxfx01()fx_7.5f思路：由 可得： 的周期 ， 考虑将 用 中的函(2)(fxfxfx4T(7.5)fx数值进行表示： ，此时周期性已经无法再进行调整，考虑利用7.53.0.5奇偶性进行微调： ，所以102ff 1(.)2f答案： 1(.)2f例 2：定义域为 的函数 满足
9、，当 时，Rfxffx0,，则 （ ）321xf5fA. B. C. D. 4181214思路：由 ，可类比函数的周期性，所以考虑将22fxfxffx- 5 -向 进行转化： 52x0, 32513112424fff答案：D小炼有话说： 虽然不是周期函数，但函数值关系与周期性类似，可理解为：间隔 2 个fx单位的自变量，函数值呈 2 倍关系。所以在思路上仍可沿用周期性的想法，将自变量向已知范围进行靠拢。例 3：定义在 上的函数 对任意 ，都有 ，则RfxR112,24fxfx等于（ ）2016fA. B. C. D. 4121335思路：由 及所求 可联想到周期性，所以考虑fxfx0f，所以
10、是周期为 4 的周期函数，故1124ffxfx fxffx，而由已知可得 ，所以2016ff12345ff320165f答案：D例 4（2009 山东）：定义在 上的函数 满足 ，则Rfx2log,12,0xfffx的值为（ ）209fA. B. C. D. 10思路：所给 的特点为 才有解析式能够求值，而 只能通过fx0x减少自变量的取值，由所求 可联想到判断 是否2ff29f fx具有周期性， 时， ，则有0x1xffx，两式相加可得： ，则13fff 3ffx，即 在 时周期是 6，故6xxfx0- 6 -，而20952fff10101fff答案：C小炼有话说：（1）本题的思路依然是将无
11、解析式的自变量通过函数性质向含解析式的自变量靠拢，而 数较大，所以考虑判断函数周期性。29x（2）如何快速将较大自变量缩至已知范围中？可利用带余除法除以周期，观察余数。则被除数的函数值与余数的函数值相同，而商即为被除数利用周期缩了多少次达到余数。例如本题中 ，从而06345 2095ff（3）本题推导过程中 也有其用处，其含义是间隔为 3 的自变量函数值互3fx为相反数，相比周期，它的间隔更小，所以适用于利用周期缩小自变量范围后，进行“微调”从而将自变量放置已知区间内例 5：函数 是周期为 的偶函数，当 时， ，则不等式fx40,2x2log1fx在 上的解集为_0xf1,3思路：从已知出发可
12、知 时， 为增函数，0,2xfx且 ，所以 时，2logf,1， 时， ，由偶函数可得：0x1,fx时， ， 时， 。从而可作出草图。由所解不等,0f2,0fx式 可将 分为 两部分，当 时， ，所以xf,31,030fx，当 时， ，所以 ，综上解集为： 1,0xfx1,fx1,3答案： ,例 6：已知 是定义在 上的函数，满足 ，当fxR0,fxffxf时， ，则函数 的最小值为（ ）0,1x2xA. B. C. D. 4141212思路：由 可得 是周期为 2 的周期函数，所以只需要求出一个周期fxffx内的最值即可。由 可得 为奇函数，所以考虑区间 ，在0f 1,- 7 -时， ，所以
13、 ，而由于 为奇函0,1x214fxmax124fffx数，所以在 时， ，所以 即为,0min12fxff12f在 的最小值，从而也是 在 上的最小值fx1,fR答案：B例 7：已知定义域为 的函数 满足 ，且函数 在区间Rfx4fxffx上单调递增，如果 ，且 ，则 的值（ ）2,121212A. 可正可负 B. 恒大于 0 C. 可能为 0 D. 恒小于 0思路一：题目中给了单调区间，与自变量不等关系，所求为函数值的关系，从而想到单调性，而 可得 ，因为 ，所以 ，进而将 装入了124x21x1x14x21,4x中，所以由 可得 ，下一步需要转化 ，由,2fff可得 关于 中心对称，所以
14、有 。代入 fxffx,0fx1x可得 ，从而11421120fxf思路二：本题运用数形结合更便于求解。先从 分析出 关于4xfx中心对称，令 代入到 可2,0xfxf得 。中心对称的函数对称区间单调性相同，从而f可作出草图。而 ，即 的中12124x12,x点位于 的左侧，所以 比 距离 更远，结合图12x象便可分析出 恒小于 01fxf答案：D小炼有话说：（1）本题是单调性与对称性的一个结合，入手点在于发现条件的自变量关系，与所求函数值关系，而连接它们大小关系的“桥梁”是函数的单调性，所以需要将自变量装入同一单调区间内。而对称性起到一个将函数值等价转化的作用，进而与所求产生联系（2）数形结
15、合的关键点有三个：第一个是中心对称图像的特点，不仅仅是单调性相同，而且是呈“对称”的关系，从而在图像上才能看出 的符号；第二个是12fxf，进而可知 ；第三个是0f2,0;,0xfx- 8 -，既然是数形结合，则题中条件也要尽可能转为图像特点，而12124xx表现出中点的位置，从而能够判断出 距离中心对称点的远近。12,x例 8：函数 的定义域为 ，若 与 都是奇函数，则（ ）fxRffA. 是偶函数 B. 是奇函数xC. D. 是奇函数2fxf3f思路：从已知条件入手可先看 的性质，由 为奇函数分别可得到：fx1,x，所以 关于 中心对称，11,fxfxff,01,双对称出周期可求得 ，所以
16、 不正确，且由已知条件无法推出一定符24TC合 。对于 选项，因为 ，所以 ，进而可推出,ABD51fxffx关于 中心对称，所以 为 图像向左平移 个单位，即关于 对fx3,03f 30,称，所以 为奇函数， 正确f答案：D例 9：已知定义域为 的函数 在 上只有 和 两个零点，且 与Ryfx0,7132yfx都是偶函数，则函数 在 上的零点个数为（ ）7yfx2A. B. C. D. 40848640思路：已知区间仅是 ，而所求区间为 ，跨度如此之大，需要函数性质。从条0,0,13件入手 为偶函数可得 关于 轴对称，从而判断出27fxffx2,7x是周期函数，且 ，故可以考虑将 以 10
17、为周期分组，先判2T013断出一个周期内零点的个数，再乘以组数，加上剩余部分的零点即可解： 为偶函数2,7fxf关于 轴对称, 7fxfxfx2,7x为周期函数，且 fx210T将 划分为 0,2130,2,01,3 关于 轴对称 fx7x44fxffxfx- 9 -160ff81460fff3410fff在 中只含有四个零点,而 共 组02,20所以 1480N在 中，含有零点 共两个,310,2130ffff所以一共有 806 个零点答案：C小炼有话说：（1）周期函数处理零点个数时，可以考虑先统计一个周期的零点个数，再看所求区间包含几个周期，相乘即可。如果有不满一个周期的区间可单独统计（2
18、）在为周期函数分段时有一个细节：“一开一闭” ，分段的要求时“不重不漏” ，所以在给周期函数分段时，一端为闭区间，另一端为开区间，不仅达到分段要求，而且每段之间保持队型，结构整齐，便于分析。（3）当一个周期内含有对称轴（或对称中心）时，零点的统计不能仅限于已知条件，而要看是否由于对称产生新的零点。其方法一是可以通过特殊值的代入，二是可以通过图像，将零点和对称轴标在数轴上，看是否有由对称生成的零点（这个方法更直观，不易丢解）例 10：设函数 是定义在 上以 1 为周期的函数，若 在区间yfxR2gxfx上的值域为 ，则函数 在 上的值域为（ ）2,32,6gx2,A. B. C. D. 0,34
19、,324,8思路：设 ，则 ，因为 为周期函数，故以 为突破口，0,3x6xfxfx，考虑在00022gnfnfngn中 ，所以 ，在12,141414286,34gxxx中 ，所以 ，所以 在9 00099,1 gx的值域为 ,2,3答案：B三、近年模拟题题目精选1、 （2014，庆安高三期中）已知函数 是 R 上的偶函数，且满足 ，)(xf 3)(1(xff当 时， ，则 的值为（ ）,0x()2fx5.207A0.5 B1.5 C D11.2、 （2014，安徽）设函数 满足 ，当 时，fsinfxfx0,x- 10 -，则 （ ）0fx236fA. B. C. D. 1220123、
20、（2014，四川）设 是定义在 上的周期为 2 的函数，当 时，fxR,x，则 _24,10,0fx3f4、 （2014，新课标全国卷 I）设函数 的定义域都为 ，且 是奇函数，,fxgRfx是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）gxA. 是偶函数 B. 是奇函数f fxgC. 是奇函数 D. 是奇函数x5、 （2014，会宁县校级月考）已知 ，方程1,2fxffxf在 内有且只有一个 ，则 在区间 内根的个数为（ ）0fx,120214A. B. C. D. 60730146、已知定义在 上的函数 满足： ，当R()fx()(,)()fxfxf时， ，则 _1,x3()f297、已知定义在 上
21、的函数 满足 ，且fx,2fxfxf时， ，则 （ ）,0x15f2log0A. B. C. D. 141458、已知 是定义在 上的奇函数，且对任意实数 ，恒有 ，当()fxRx(2)(ffx时， ，求0,22x(0)(2)0ff- 11 -习题答案：1、答案：B解析：由 可得： ，两式相减可得：3)(1(xff ()1)3fx，所以 的周期 ，再由 是偶函数可得：fxf2Tfx207.5.0.5f2、答案：A解析：由 可知 ，sinfxfx231717sin662fff，171i66fff，所以可得：551sin2fff2316f3、答案：1解析： 21412ff4、答案：C解析： 为奇函
22、数，可知 为偶函数，所以根据奇偶性的规律可得： 为fxfx fxg奇函数， 是偶函数， 是奇函数， 是偶函数，故 C 正确ggfxg5、答案：D解析： ， 可得 关于 轴对称，12fxfT,2fxff1x因为 在 内有且只有一个零点 ，所以由对称性可得 在 只有两个零点0, 10,2。所以一个周期中含有两个零点，区间 共包含 1007 个周期，所以有 2014 个3,2 0,4零点6、答案： 1解析：由 可得： 关于 中心对称，由 可得：()()fxffx,(1)()fxf- 12 -关于 轴对称，所以可求出 的周期 ，则 fx1fx4T2091ff7、答案： 解析： 可知 为奇函数， 可得 ，所以fxfffxf4T 24log522225 1log04logllog4ffff8、答案： 解析：由 可得： 的周期 ，由于 具备周期性，故求和时可()(fxfxfxTfx考虑按照周期将一个周期的函数值归为一组，求出一组的结果，在考虑求和的式子中含有多少组周期即可：1,20,311,40ffffffff4故 (0)()(2)053ffff
