1、第四章 第 29 炼 图像变换在三角函数中的应用 三角函数与解三角形第 29 炼 图像变换在三角函数中的应用在高考中涉及到的三角函数图像变换主要指的是形如 的函数，通sinyAx过横纵坐标的平移与放缩，得到另一个三角函数解析式的过程。要求学生熟练掌握函数图像变换，尤其是多次变换时，图像变化与解析式变化之间的对应联系。一、基础知识：（一）图像变换规律：设函数为 （所涉及参数均为正数）yfx1、函数图像的平移变换：（1） ： 的图像向左平移 个单位fxafxa（2） ： 的图像向右平移 个单位（3） ： 的图像向上平移 个单位fxbfb（4） ： 的图像向下平移 个单位2、函数图像的放缩变换：（1
2、） ： 的图像横坐标变为原来的 （图像表现为横向的伸缩）fkxf 1k（2） ： 的图像纵坐标变为原来的 倍（图像表现为纵向的伸缩）3、函数图象的翻折变换：（1） ： 在 轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于fxfx轴对称的图像y（2） ： 在 轴上方的图像不变， 轴下方的部分沿 轴向上翻折即可（与原ff xx轴下方图像关于 轴对称）xx（二）图像变换中要注意的几点：1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换例如： ：可判断
3、出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤31yfx第四章 第 29 炼 图像变换在三角函数中的应用 三角函数与解三角形：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标2yfx的为平移变换2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现：（1）加“常数” 平移变换（2）添“系数” 放缩变换（3）加“绝对值” 翻折变换3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则： 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 横坐标的多次变换中，每次变换只有 发生相应变化x例如： 可有两种方案21yfxyf方案一：先平移（向
4、左平移 1 个单位） ，此时 。再放缩（横坐标变为原1fxf来的 ） ，此时系数 只是添给 ，即12x2方案二：先放缩（横坐标变为原来的 ） ，此时 ，再平移时，若平移 个2fxf a单位，则 （只对 加 ） ，可解得 ，故向左平fxfafaa12移 个单位12 纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行例如： 有两种方案21yfxyfx方案一：先放缩： ，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加f1，即 2yfxyfx方案二：先平移： ，则再放缩时，若纵坐标变为原来的 倍，1fa那么 ，无论 取何值，也无法达到 ，所1yfxyaxa21yfx以需要对前一步进行调整：平移 个单位，再进
5、行放缩即可（ ）2a二、典型例题：第四章 第 29 炼 图像变换在三角函数中的应用 三角函数与解三角形例 1：要得到函数 的图像，只需要将函数 的图像（ ）sin23yxsin2yxA. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位 3 3C. 向右平移 个单位 D. 向左平移 个单位6 6思路：观察发现原始函数与变换后的函数仅仅多一个常数，说明只有平移变换，在变换的过程中要注意只有含 的地方进行了变化，所以只有 ，xsin2sin23yxx所以是向右平移 个单位6答案：C小炼有话说：（1）图像变换要注意区分哪个是原始函数，哪个是变化后的函数。（2）对于 前面含有系数时，平移变换要注意系数产生的影
6、响。x例 2：把函数 的图像上所有的点横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，siny再把图像向右平移 个单位，这是对应于这个图像的解析式是（ ）34A. B. C. D. cos2yxcos2yx13sin24yx13sin28yx思路： ，经过化简可得：132inisiyx 横 坐 标 向 右 平 移33si2sicos24yxxx答案：A 例 3：为了得到函数 的图像，可以将函数 的图像（ ）sin26yxcos2yxA. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位 3C. 向右平移 个单位 D. 向左平移 个单位6 6思路：观察可发现两个函数的三角函数名不同，而图像变换是无法直接改变三
7、角函数名的，只有一个可能，就是在变换后对解析式进行化简，从而使得三角函数名发生改变。所以在第四章 第 29 炼 图像变换在三角函数中的应用 三角函数与解三角形考虑变换之前，首先要把两个函数的三角函数名统一， ，第二cos2in2yx步观察可得只是经过平移变换，但是受到 系数影响。所以考虑对两个函数进行变形以便x于观察平移了多少，目标函数： ；原函数：sin21ysin2sin24yxx可得平移了 个单位3答案：B小炼有话说：常见的图像变换是不能直接改变三角函数名，所以当原函数与目标函数三角函数名不同时，首先要先统一为正弦或者余弦例 4：要得到 的图像只需将 的图像（ ）sinyxsin23xy
8、A. 先向左平移 个单位，再将图像上各点的横坐标缩短至原来的23 12B. 先向右平移 个单位，再将图像上各点的横坐标缩短至原来的C. 先将图像上各点的横坐标缩短至原来的 ，再将图像向左平移 个单位123D. 先将图像上各点的横坐标扩大为至原来的 倍，再将图像向右平移 个单位思路：本题中共用两个步骤：平移与放缩。步骤顺序的不同将会导致平移的程度不同，所以可以考虑按照选项的提示进行变换，看结果是否与已知相同A. 12122sinsinsinsin23333xyyxxyxB. ii iiC. 2sinsinsin2333xyyxyxD. 11iiisin444x答案：B第四章 第 29 炼 图像变
9、换在三角函数中的应用 三角函数与解三角形例 5：为了得到函数 的图像，可以将函数 的图像（ xy3cosin xy3sin2）A.向右平移 个单位 B.向左平移 个单位 4 4C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位 12 12思路：先将两个函数化为相同的结构，再考虑图像变换，从 入手化为xy3cosin的形式： ，从而sinyAx2sin3cosi4yxx得到需要 向左平移 个单位。3i21答案：D例 6：将函数 的图像沿 轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图像，sinyxx8则 的一个可能取值为（ ）A B C D40443思路：首先先求出平移后的解析式， 8sin2sin28yxy
10、x 向 左 平 移即 ，在由已知可得其中一条对称轴为 ，所以i4 0x，解得： ，当 时， 24kZ24kZk4答案：C小炼有话说：本题为图像变换与三角函数性质相结合的题目例 7：若将函数 的图像向右平移 个单位可得到一个奇sinyx0,26函数的图像，向左平移 个单位可得到一个偶函数的图像，则 可取的一组值是（ 3,）A. B. 2, 2,6C. D. 161第四章 第 29 炼 图像变换在三角函数中的应用 三角函数与解三角形思路：本题也可按照例 6 的处理方式，通过两次平移得出解析式然后列出 的方程组求,解，但从另一方面，由两次平移后得到的对称轴（对称中心）的位置可以推出平移之前的对称位置
11、，从而确定出原函数的对称轴与对称中心：向右平移 个单位后关于 对称，60,则原函数关于 中心对称；向左平移 个单位关于 轴对称，则原函数关于,0630x轴对称，从而确定周期 ，进而 ，而3x426T1向右平移 个单位得到奇函数，可得siny6答案：C例 8：若把函数 图像向左平移 个单位，则与函数 的图像重合，则sinyx3cosyx的值可能是（ ）A. B. C. D. 1312232思路：首先将两个函数的三角函数名统一： ，将函数cosinyx向左平移 得到的解析式为 ，由于两个sinyx3isi33x函数图像重合，可得 ，所以sinsin2xx，解得： ，故选择 D23xkZ36kZ答案
12、：D例 9将函数 的图象向右平移 个单位长度后sin2fx0得到函数 的图象，若 的图象都经过点 ，则 的值可以是（ g,fxg3,2P）A. B. C. D.53566思路：可以考虑先求出 的解析式，从而减少 中的变量个数。fxgx第四章 第 29 炼 图像变换在三角函数中的应用 三角函数与解三角形，而 ，即 ，所以30sin2f23sin23fx，依题意sisingxfx，可得： 或 ，30sin2=223k23k解得： 或 ，只有 B 符合题意kZk6k答案：B例 10：函数 （其中 ）的图象如图所示，为了得到()sin()fxAx)2,0A的图象，则只要将 的图象（ ）()sing(f
13、A向右平移 个单位长度 B向右平移 个单位长61度C向左平移 个单位长度 D向左平移 个单位长2度思路：本题分为两步，先根据图像求解析式，再确定图像变换。由图像可得： 最小fx值为 ，所以 ，再由对称中心与对称轴距离可得周期 ，从而1A 74123T。此时 ，由 过 可得：2()sin2)fx()fx7,12，所以 ，773sin1663kk ()sin2)3fx，则需 向右平移 个单位：i2gxfx6sinsin263f x答案：A三、近年好题精选1、函数 的图像向左平移 个单位得函数 的图像，12sin3cosfxxx3gx第四章 第 29 炼 图像变换在三角函数中的应用 三角函数与解三角
14、形则函数 的解析式是（ ）gxA B2sin2cosgxC Dco3gxx in2、 （2016，陕西八校联考）下图是 ，sin()fxAx在区间 上的图象，,0,2xRA5,6为了得到这个函数的图象，只需将 的图象上所sin()yxR有的点（ ）A向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变6B向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变1C向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变3D向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变3、 （ 2015，山东）要得到函数 的图像，只需将函
15、数 的图像（ sin43yxsin4yx）A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位12 12C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位3 34、 （ 2014，辽宁）将函数 的图像向右平移 个单位长度，所得图像对3sin2yx2应的函数（ ）A. 在区间 上单调递减 B. 在区间 上单调递增7,12 7,12C. 在区间 上单调递减 D. 在区间 上单调递增,63 ,635、 （2014，四川）为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上sin21yxsin2yx第四章 第 29 炼 图像变换在三角函数中的应用 三角函数与解三角形所有的点（ ）A. 向左平行移动 个单位长度 B. 向右
16、平行移动 个单位长度12 12C. 向左平行移动 个单位长度 D. 向右平行移动 个单位长度6、为了得到函数 的图像，只需把函数 图像上所有点（ 3sinyx3sinyx）A. 向左平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3 12B. 向左平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍C. 向左平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6D. 向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3 127、把函数 的图像上所有的点向左平行移动 个单位长度，再把所得图像上所有sinyx3点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变） ，得到的图像所表示的函数是
17、（ ）12A. B. sin23yx sin26xyC. D. i i3第四章 第 29 炼 图像变换在三角函数中的应用 三角函数与解三角形习题答案：1、答案：A解析： 21sin3sicos23in2si6fxxxxxi ii6gf2、答案：D解析：由图像可得 的周期 ，所以 ，另一方面由最值可得fx5263T2，即 ，由 可知 ，可解得1Asin()f0ff71f，即 。那么 。可知732kZ3sin23fx按选项 D 的方式变换即可得到sin()yxRf3、答案：B解析： ，故将 向右平移 单位即可si4sin4312xsin4yx124、答案：B解析：变换后的图像解析式为： ，考虑其单3sin3sin2yxx增区间： ，解得： ，B22kxkZ7112kk正确5、答案：A解析： ，故只需将 的图像向左平行移动 个1sin21sin2yxxsin2yx2单位长度6、答案：A解析：可知要经过放缩与平移，若先平移，则要先向左移动 ，再将坐标变为原来的 ，312A 符合第四章 第 29 炼 图像变换在三角函数中的应用 三角函数与解三角形7、答案：C解析：13 2sinsinsin33yxyxyx 向 左 平 移 横 坐 标 缩 短
