1、1课时分层训练(六) 函数的奇偶性、周期性与对称性A 组 基础达标一、选择题1已知 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x)2 x m，则 f(2)( ) 【导学号：79140033】A3 B54C. D354A 因为 f(x)为 R 上的奇函数，所以 f(0)0，即 f(0)2 0 m0，解得 m1，则 f(2) f(2)(2 21)3.2函数 ylog 2 的图像( )1 x1 xA关于原点对称 B关于直线 y x 对称C关于 y 轴对称 D关于直线 y x 对称A 由 0 得1 x1，1 x1 x即函数定义域为(1,1)，又 f( x)log 2 log 2 f(x)，
2、1 x1 x 1 x1 x所以函数 ylog 2 为奇函数，故选 A.1 x1 x3(2018银川质检)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x2) f(x)对 xR 恒成立，当 x0,1时， f(x)2 x，则 f ( )(92)A. B.12 2C. D122B 由题意得 f f f f 2 ，故选 B.(92) (92) (4 12) (12) 12 24已知函数 f(x)是奇函数，在(0，)上是减函数，且在区间 a， b(a b0)上的值域为3,4，则在区间 b， a上( )A有最大值 4 B有最小值4C有最大值3 D有最小值3B 法一：根据题意作出 y f(x)的简图，由图
3、知，选 B.2法二：当 x b， a时， x a， b，由题意得 f(b) f( x) f(a)，即3 f(x)4，4 f(x)3，即在区间 b， a上 f(x)min4，f(x)max3，故选 B.5(2017湖南省东部六校联考)已知 f(x)是偶函数，且在0，)上是减函数，若 f(lg x) f(2)，则 x 的取值范围是( ) 【导学号：79140034】A. B. (1，)(1100， 1) (0， 1100)C. D(0,1)(100，)(1100， 100)C 法一：不等式可化为：Error!或Error!解得 1 x100 或 x1，所以 x 的取1100值范围为 .(1100，
4、 100)法二：由偶函数的定义可知， f(x) f( x) f(|x|)，故不等式 f(lg x) f(2)可化为|lg x|2，即2lg x2，解得 x100，故选 C.1100二、填空题6(2018西宁检测(一)已知函数 f(x) x3sin x m3 是定义在 n， n6上的奇函数，则 m n_.0 因为奇函数的定义域关于原点对称，所以 n n60，所以 n3，又 f(0) m30.所以 m3，则 m n0.7已知函数 f(x)是(，)上的奇函数，当 x0,2)时， f(x) x2，若对于任意 xR，都有 f(x4) f(x)，则 f(2) f(3)的值为_. 【导学号：79140035
5、】1 由题意得 f(2) f(24) f(2) f(2)， f(2)0. f(3) f(14) f(1) f(1)1， f(2) f(3)1.8已知偶函数 f(x)在区间0，)上单调递增，则满足 f(2x1) f 的 x 的取值范围(13)是_3 f(x)是偶函数， f(x) f(|x|)，(13， 23) f(|2x1|) f ，再根据 f(x)的单调性，得|2 x1| ，解得 x .(13) 13 13 23三、解答题9设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意实数 x 有 f f 成立(32 x) (32 x)(1)证明 y f(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若 f(1)2，
6、求 f(2) f(3)的值解 (1)由 f f ，(32 x) (32 x)且 f( x) f(x)，知 f(3 x) f f f( x) f(x)，所(32 (32 x) (32 (32 x)以 y f(x)是以 3 为周期的周期函数(2)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)0，且 f(1) f(1)2，又 3 是 y f(x)的一个周期，所以 f(2) f(3) f(1) f(0)202.10设 f(x)的定义域为(，0)(0，)，且 f(x)是奇函数，当 x0 时， f(x).x1 3x(1)求当 x0 时， f(x)的解析式；(2)解不等式 f(x) .x8解 (1)
7、 f(x)是奇函数，当 x0 时， x0，此时 f(x) f( x) . x1 3 x x1 3 x(2)f(x) ，当 x0 时， ，所以 ，所以 ，所以x8 x1 3x x8 11 3x 18 13x 1 183x18，解得 x2，所以 x(0,2)；当 x0 时， ，所以 ，所以 3 x3 2，所以 x2，所以原x1 3 x x8 11 3 x 18不等式的解集是(，2)(0,2)B 组 能力提升11(2018郑州第二次质量预测)已知 f(x) asin x b 4，若 f(lg 3)3，则 f3x( )(lg 13)A. B13 13C5 D84C 因为 f(x) f( x)8， f
8、f(lg 3)，所以 f 8 f(lg 3)5，(lg 13) (lg 13)故选 C.12已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，若 f(1)1， f(5) ，则实数 a2a 3a 1的取值范围为( )A(1,4) B(2,0)C(1,0) D(1,2)A f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数， f(5) f(56) f(1) f(1)， f(1)1， f(5) ，2a 3a 1 1，即 0，2a 3a 1 a 4a 1解得1 a4.13已知 f(x)， g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且 f(x) g(x) ，则 f(1)，(12)x g(0)， g
9、(1)之间的大小关系是_. 【导学号：79140036】f(1) g(0) g(1) 在 f(x) g(x) 中，(12)x 用 x 替换 x，得 f( x) g( x)2 x，由于 f(x)， g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，所以 f( x) f(x)， g( x) g(x)，因此得 f(x) g(x)2 x.联立方程组解得 f(x) ，2 x 2x2g(x) ，2 x 2x2于是 f(1) ， g(0)1，34g(1) ，54故 f(1) g(0) g(1)14已知函数 f(x)Error!是奇函数，(1)求实数 m 的值；(2)若函数 f(x)在区间1， a2上单调递增，求实数 a 的取值范围5解 (1)设 x0，则 x0，所以 f( x)( x)22( x) x22 x.又 f(x)为奇函数，所以 f( x) f(x)，于是 x0 时，f(x) x22 x x2 mx，所以 m2.(2)由(1)知 f(x)在1,1上是增函数，要使 f(x)在1， a2上单调递增结合 f(x)的图像知Error!所以 1 a3，故实数 a 的取值范围是(1,3
