1、2017 届四川省龙泉驿区第一中学校高三上学期期中考试数学理试卷（解析版）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合 A=x|x2|2，x R，B=y|y=x 2， 1x2，则 R（AB）等于（ ）AR Bx|xR，x0 C0 D2直线 y=x4 与抛物线 y2=2x 所围成的图形面积是（ ）A15 B16 C17 D183设 ，且 ，则向量 的 夹角为（ ）A30 B60 C120 D15042015 年高中生技能大赛中三所学校分别有 3 名、2 名、1 名学生获奖，这 6 名学生要排成一排合影，则同校学生排在
2、一起的概率是（ ）A B C D5O 为ABC 内一点，且 2 + + = ， =t ，若 B，O ，D 三点共线，则 t 的值为（ ）A B C D6f（x）= +log2x 的一个零点落在下列哪个区间（ ）A （0，1） B （1，2） C （2，3） D （3，4）7某公司庆祝活动需从甲、乙、丙等 5 名志愿者中选 2 名担任翻译，2 名担任向导，还有 1 名机动人员，为来参加活动的外事人员提供服务，并且翻译和向导都必须有一人选自甲、乙、丙，则不同的选法有（ ）A20 B22 C24 D368若 f（x）=x 2+2 f（x）dx，则 f（x）dx= （ ）A1 B C D19若等差数列
3、a n的公差 d0，前 n 项和为 Sn，若nN *，都有 SnS 10，则（ ）AnN *，都有 ana n1 Ba 9a100CS 2 S17 DS 19010已知在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BAC=120，AB=AC=1，AA 1=2，若棱 AA1 在正视图的投影面 内，且 AB 与投影面 所成角为 （3060） ，设正视图的面积为 m，侧视图的面积为 n，当 变化时，mn 的最大值是（ ）A2 B4 C3 D411设实数 x，y 满足约束条件 ，则 z= 的取值范围是（ ）A ，1 B ， C ， D ， 12已知函数 y=f（x）的大致图象如图所示，则函数 y=f（x）的解析
4、式应为（ ）Af（x）=x Bf（x）=x+ Cf（x）= Df （x）=x +二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13若曲线 y=1nx 的一条切线与直线 y=x 垂直，则该切线方程为 14若 f（x）为偶函数，且当 x0，+） ，y=4x+3，则 f（x）的解析式 15 （ +2x）dx= 16a，b 为正数，给出下列命题：若 a2b2=1，则 ab1；若 =1，则 ab1；eaeb=1，则 ab1；若 lnalnb=1，则 ab1期中真命题的有 三、解答题（共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17 （12 分） （1）已知 是奇函数，求常数 m 的值；
5、（2）画出函数 y=|3x1|的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3 x1|=k 无解？有一解？有两解？18 （12 分）如图，直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直ABCD ，AB BC，AB=2CD=2BC，EAEB （）求证：ABDE；（）求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值；（）线段 EA 上是否存在点 F，使 EC平面 FBD？若存在，求出 ；若不存在，说明理由19 （12 分）已知公差不为 0 的等差数列a n中，a 1=2，且 a2+1，a 4+1，a 8+1 成等比数列（1）求数列a n通项公式；（2）设数列b n满足 bn= ，求适合
6、方程 b1b2+b2b3+bnbn+1= 的正整数 n 的值20 （12 分）根据调查，某学校开设了“街舞”、 “围棋”、 “武术”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 n 的样本，已知从“街舞”社团抽取的同学 8 人社团 街舞 围棋 武术人数 320 240 200（）求 n 的值和从“围棋” 社团抽取的同学的人数；（）若从“围棋” 社团抽取的同学中选出 2 人担任该社团活动监督的职务，已知“围棋” 社团被抽取的同学中有 2 名女生，求至少有 1 名女同学被选为监督职务的概率21 （12 分）已知函数 f（x） =ln
7、xmx（mR） （1）若曲线 y=f（x）过点 P（1，1） ，求曲线 y=f（x）在点 P 处的切线方程；（2）求函数 f（x）在区间1 ，e上的最大值；（3）若函数 f（x）有两个不同的零点 x1，x 2，求证：x 1x2e 2选修 4-4：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为原点，Ox 轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为：sin（+ ）= ，曲线 C 的参数方程为：（1）写出直线 l 和曲线 C 的普通方程；（2）若直线 l 和曲线 C 相交于 A，B 两点，定点 P（1，2） ，求线段|AB|和|PA|PB |的值选修 4-
8、5；不等式选讲23已知函数 f（x）=|2x 1|+a|x1|（I）当 a=1 时，解关于 x 的不等式 f（x）4（II）若 f（x） |x 2|的解集包含 ，2，求实数 a 的取值范围2016-2017 学年四川省成都市龙泉实验中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合 A=x|x2|2，x R，B=y|y=x 2， 1x2，则 R（AB）等于（ ）AR Bx|xR，x0 C0 D【考点】交、并、补集的混合运算【分析】集合 A 为绝对值不等式的解集，由绝对值
9、的意义解出，集合 B 为二次函数的值域，求出后进行集合的运算【解答】解：A=0，4，B=4，0，所以 AB=0， R（AB）=x|x R，x0，故选 B【点评】本题考查对集合的认识以及集合的基本运算，属基本题2 （2016 春晋江市校级期末）直线 y=x4 与抛物线 y2=2x 所围成的图形面积是（ ）A15 B16 C17 D18【考点】定积分在求面积中的应用【专题】导数的概念及应用【分析】先联立求出方程组的解，利用导数的运算法则和微积分基本定理即可得出【解答】解：联立得 ，解得 或 ，由抛物线 y2=2x 与直线 y=x4 所围成的图形的面积 S= （y+4） dy=8+16 2+8 =1
10、8故选：D【点评】熟练掌握导数的运算法则和微积分基本定理是解题的关键3 （2016临沂一模）设 ，且 ，则向量 的 夹角为（ ）A30 B60 C120 D150【考点】数量积表示两个向量的夹角【专题】计算题；方程思想；转化思想；平面向量及应用【分析】 ，可得 =0，解得 x再利用向量夹角公式即可得出【解答】解： ， = x3=0，解得 x= =（0，4） ，（ ） =12，| |=4， = =2 ，设向量 的 夹角为 ，cos= = = ，=150故选：D【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4 （2016茂名一模） 2015 年高中生技
11、能大赛中三所学校分别有 3 名、2 名、1 名学生获奖，这 6 名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是（ ）A B C D【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】把第一个及第二个学校的学生看做整体，求出同校学生排在一起的方法数，再求出三个学校的学生随便排有多少种方法，由古典概型的概率计算公式得所求概率【解答】解：由已知把第一个及第二个学校的学生看做整体得同校学生排在一起共 种方法，而三个学校的学生随便排有 种方法，由古典概型的概率计算公式得所求概率：故选：C【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的
12、合理运用5 （2016 秋洛阳期中） O 为ABC 内一点，且 2 + + = ， =t ，若 B，O，D 三点共线，则 t的值为（ ）A B C D【考点】平行向量与共线向量【专题】数形结合；转化思想；平面向量及应用【分析】以 OB，OC 为邻边作平行四边形 OBFC，连接 OF 与 BC 相交于点 E，E 为 BC 的中点2 + + = ，可得 =2 = =2 ，因此点 O 是直线 AE 的中点可得 B，O，D 三点共线， =t ， 点 D 是 BO 与 AC 的交点过点 O 作 OMBC 交 AC 于点 M，点 M 为 AC 的中点利用平行线的性质即可得出【解答】解：以 OB，OC 为邻
13、边作平行四边形 OBFC，连接 OF 与 BC 相交于点 E，E 为 BC 的中点2 + + = ， =2 = =2 ，点 O 是直线 AE 的中点B，O，D 三点共线， =t ，点 D 是 BO 与 AC 的交点过点 O 作 OMBC 交 AC 于点 M，则点 M 为 AC 的中点则 OM= EC= BC， = ， ，AD= AM= AC， =t ，t= 故选：B【点评】本题考查了向量三角形法则、平行线的性质定理、向量共线定理三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题6 （2012市中区校级一模）f（x）= +log2x 的一个零点落在下列哪个区间（ ）A （0，1） B （1，2
14、） C （2，3） D （3，4）【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题【分析】根据函数的实根存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果【解答】解：根据函数的实根存在定理得到f（1） f（2）0故选 B【点评】本题考查函数零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题7 （2016 秋龙泉驿区校级期中）某公司庆祝活动需从甲、乙、丙等 5 名志愿者中选 2 名担任翻译，2 名担任向导，还有 1 名机动人员，为来参加活动的外事人员提供服务，并且翻译和向导都必须有一人选自甲、乙、丙，则不同的选法有（ ）A20 B22 C24 D
15、36【考点】计数原理的应用【专题】应用题；方程思想；演绎法；排列组合【分析】翻译和向导先个安排 1 人，其余 3 人全排，即可得出结论【解答】解：翻译和向导都必须有一人选自甲、乙、丙，有 A32=6 种方法，其余 3 人全排，有 A33=6 种方法，根据乘法原理，有 66=36 种方法，故选 D【点评】本题考查计数原理运用，注意要根据题意，进而按一定顺序分情况讨论，对于有限制条件的元素要首先安排8 （2014江西）若 f（x）=x 2+2 f（x）dx，则 f（x）dx=（ ）A1 B C D1【考点】定积分【专题】导数的综合应用【分析】利用回代验证法推出选项即可【解答】解：若 f（x）dx=
16、 1，则：f （x）=x 22，x 22=x2+2 （x 22）dx=x 2+2（ ） =x2 ，显然 A 不正确；若 f（x）dx= ，则：f（x）=x 2 ，x 2 =x2+2 （x 2 ）dx=x 2+2（ ） =x2 ，显然 B 正确；若 f（x）dx= ，则：f（x）=x 2+ ，x 2+ =x2+2 （x 2+ ）dx=x 2+2（ ） =x2+2，显然 C 不正确；若 f（x）dx=1 ，则：f（x）=x 2+2，x 2+2=x2+2 （x 2+2）dx=x 2+2（ ） =x2+ ，显然 D 不正确；故选：B【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的应用，回代验证有时也是解答问
17、题的好方法9 （2016合肥三模）若等差数列a n的公差 d0，前 n 项和为 Sn，若nN *，都有 SnS 10，则（ ）AnN *，都有 ana n1 Ba 9a100CS 2 S17 DS 190【考点】等差数列的前 n 项和；数列的函数特性【专题】计算题；整体思想；定义法；等差数列与等比数列【分析】由nN *，都有 SnS 10，a 100，a 110，再根据等差数列的性质即可判断【解答】解：nN *，都有 SnS 10，a 100，a 110，a 9+a110，S 2S 17，S 190，故选：D【点评】本题注意等差数列的性以及等差数列的前 n 项和公式，是基础题，10 （2016
18、 秋 龙泉驿区校级期中）已知在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BAC=120，AB=AC=1，AA 1=2，若棱 AA1 在正视图的投影面 内，且 AB 与投影面 所成角为 （30 60） ，设正视图的面积为 m，侧视图的面积为 n，当 变化时， mn 的最大值是（ ）A2 B4 C3 D4【考点】简单空间图形的三视图【专题】证明题；空间位置关系与距离【分析】利用 AB 与投影面 所成角为 ，BAC=120， AB=AC=1，AA 1=2，BAD=，建立正视图的面积为 m 和侧视图的面积为 n 的关系，利用 30 60 求解 mn 的最大值【解答】解：AB 与投影面 所成角为 时，平面 AB
19、C 如下图所示：BC= ，ACE=60 ，BD=ABsin，DA=ABcos，AE=ACcos （60 ） ，ED=DA+AE=cos（60）+cos故正视图的面积为 m=EDAA1=2cos（60）+cos 侧视图的面积为 n=BDAA1=2sinmn=4sincos（60 ）+cos=4sincos60cos+sinsin60）+cos =sin2+2 sin2+2sin2=3sin2+ cos2=2 sin（230）306030230 90，所以：2 mn3故得 mn 的最大值为 3 故选：C【点评】本题考查了三视图的投影的认识和理解，实体图边长与投影图边长的关系利用其夹角建立关系是解题
20、的关键属于中档题11 （2015唐山二模）设实数 x，y 满足约束条件 ，则 z= 的取值范围是（ ）A ，1 B ， C ， D ， 【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义以及斜率公式的计算，即可求 z 的取值范围【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） z= 的几何意义是区域内的点（x，y）到定点 D（1，0）的斜率，由图象知 BD 的斜率最大，CD 的斜率最小，由 ，解得 ，即 B（ ， ） ，即 BD 的斜率 k= = ，由 ，解得 ，即 C（ ， ） ，即 CD 的斜率 k= = ，即 z ，故选：D【
21、点评】本题主要考查线性规划以及直线斜率的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法12 （2011台州一模）已知函数 y=f（x）的大致图象如图所示，则函数 y=f（x）的解析式应为（ ）Af（x）=x Bf（x）=x+ Cf（x）= Df （x）=x +【考点】函数的图象；函数解析式的求解及常用方法【专题】数形结合【分析】函数 y=f（x）的解析求不出来，根据选项结合图象采用排除法进行排除，以及利用特殊值法进行排除【解答】解：根据图象不关于原点对称，则该函数不是奇函数，可排除选项 D，取 x= 时，根据图象可知函数值大于 0，而选项 B，f（ ）= + =
22、e20，故 B 不正确，由题上图象可以看出当 x时，有 f（x）0，但 C 选项，f（x）= ，当 x时，f （x）= 0，C 错误故选 A【点评】本题主要考查了识图能力，以及函数的对称性和单调性，数形结合的思想和特殊值法的应用，属于中档题本题正面确定不易，排除法做此类题是较好的选择二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13 （2016 秋 龙泉驿区校级期中）若曲线 y=1nx 的一条切线与直线 y=x 垂直，则该切线方程为 x y1=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】利用切线与直线 y=x 垂直，得到切线的斜率，也就是曲线在点 M 处的导数，通过计算
23、，得出点M 的坐标，再利用点斜式求出切线方程即可【解答】解：设点 M（x 0，y 0）切线与直线 y=x 垂直切线的斜率为 1曲线在点 M 处的导数 y= =1，即 x0=1当 x0=1 时，y 0=0，利用点斜式得到切线方程：y=x 1；切线的方程为：xy 1=0故答案为：xy 1=0【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及两条直线垂直，其斜率的关系，同时考查了运算求解的能力，属于基本知识的考查14 （2016 秋 龙泉驿区校级期中）若 f（x）为偶函数，且当 x0，+） ，y=4x+3，则 f（x）的解析式 f（x）= 【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质
24、及应用【分析】根据题意，令 x0，则x0，结合函数0，+）上的解析式可得 f（x）= 4x+3，又由函数为偶函数可得 x0 时函数的解析式；进而综合 2 种情况可得答案【解答】解：根据题意，令 x0，则x0，则 f（ x）=4（ x）+3= 4x+3，又由 f（x）为偶函数，则 f（x）=f（x）= 4x+3，故 f（x）= ，故答案为：f（x）= 【点评】本题考查函数的奇偶性的运用，涉及函数解析式的求法，注意将函数的解析式写成分段函数的形式15 （2016 秋 龙泉驿区校级期中） （ +2x）dx= 【考点】定积分在求面积中的应用；定积分【专题】计算题；导数的概念及应用【分析】 dx 表示四
25、分之一单位圆， （2x）dx= ，相加可得答案【解答】解： dx 表示四分之一单位圆， dx= ，（2x）dx= =1，故 （ +2x）dx= +1= ，故答案为： 【点评】本题考查的知识点是定积分，难度不大，属于基础题16 （2016 秋 洛阳期中）a ，b 为正数，给出下列命题：若 a2b2=1，则 ab1；若 =1，则 ab1；eaeb=1，则 ab1；若 lnalnb=1，则 ab1期中真命题的有 【考点】不等式的基本性质【专题】综合题；转化思想；综合法；不等式【分析】不正确的结论，列举反例，正确的结论，进行严密的证明，即可得出结论【解答】解：中，a ，b 中至少有一个大于等于 1，则
26、 a+b1，由 a2b2=（a +b） （a b）=1，所以 ab1，故正确中 = =1，只需 ab=ab 即可，取 a=2，b= 满足上式但 ab= 1，故错；构造函数 y=xex，x0，y=1e x0，函数单调递减，e aeb=1，ab，ae abe b，abe aeb=1，故正确；若 lnalnb=1，则 a=e，b=1，a b=e11，故 不正确故答案为：【点评】本题考查不等式的性质、导数的应用等基础知识，意在考查学生分析问题解决问题的能力、推理能力、运用转化与化归思想的能力三、解答题（共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17 （12 分） （2012 秋
27、 聊城期末） （1）已知 是奇函数，求常数 m 的值；（2）画出函数 y=|3x1|的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3 x1|=k 无解？有一解？有两解？【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题；数形结合；分类讨论【分析】 （1）先求出函数的定义域，再利用奇函数的定义，代入一对相反变量即可直接求常数 m 的值；（2）先取绝对值画出对应图象，再利用函数的零点即为对应两个函数图象的交点把 y=k 在图象上进行来回平移看交点个数即可找到结论【解答】解：（1）因为 3x10x0故函数定义域为 x|x0因为函数为奇函数，故有 f（ 1）=f（1） m=1所以所求常数 m 的值为 1；（2）因为
28、函数的零点即为对应两个函数图象的交点所以把研究零点个数问题转化为研究图象交点个数当 k0 时，直线 y=k 与函数 y=|3x1|的图象无交点，即方程无解；当 k=0 或 k1 时，直线 y=k 与函数 y=|3x1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当 0k1 时，直线 y=k 与函数 y=|3x1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解【点评】本题第一问主要考查函数的奇偶性，第二问主要研究函数的图象，都是考查基础知识，综合在一起属于中档题目18 （12 分） （2016 洛阳二模）如图，直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直ABCD ，AB BC，AB=2CD=2
29、BC，EAEB （）求证：ABDE；（）求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值；（）线段 EA 上是否存在点 F，使 EC平面 FBD？若存在，求出 ；若不存在，说明理由【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；向量语言表述线面的垂直、平行关系【专题】综合题；空间角【分析】 （）取 AB 中点 O，连接 EO，DO利用等腰三角形的性质，可得 EOAB，证明边形 OBCD为正方形，可得 ABOD，利用线面垂直的判定可得 AB平面 EOD，从而可得 ABED；（）由平面 ABE平面 ABCD，且 EOAB，可得 EO平面 ABCD，从而可得 EOOD 建立空间直角坐标系，确
30、定平面 ABE 的一个法向量为 ， ，利用向量的夹角公式，可求直线 EC 与平面 ABE 所成的角；（）存在点 F，且 时，有 EC平面 FBD确定平面 FBD 的法向量，证明 =0 即可【解答】 （）证明：取 AB 中点 O，连接 EO，DO因为 EB=EA，所以 EOAB （1 分）因为四边形 ABCD 为直角梯形，AB=2CD=2BC，ABBC，所以四边形 OBCD 为正方形，所以 ABOD （2 分）因为 EOOD=O所以 AB平面 EOD （3 分）因为 ED平面 EOD所以 ABED （ 4 分）（）解：因为平面 ABE平面 ABCD，且 EOAB，平面 ABE平面 ABCD=AB
31、所以 EO平面 ABCD，因为 OD平面 ABCD，所以 EOOD由 OB，OD，OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 因为EAB 为等腰直角三角形，所以 OA=OB=OD=OE，设 OB=1，所以 O（0，0，0） ，A（1，0，0） ，B（1，0，0） ，C（1，1，0） ，D （0，1，0） ，E（0，0，1） 所以 ，平面 ABE 的一个法向量为 （7 分）设直线 EC 与平面 ABE 所成的角为 ，所以 ，即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为 （9 分）（）解：存在点 F，且 时，有 EC平面 FBD （10 分）证明如下：由 ， ，所以 设平面 FBD
32、的法向量为 =（ a，b，c） ，则有所以 取 a=1，得 =（1，1，2） （12 分）因为 =（1，1， 1） （ 1，1，2）=0，且 EC平面 FBD，所以 EC平面 FBD即点 F 满足 时，有 EC平面 FBD （14 分）【点评】本题考查线面垂直，考查线面平行，考查线面角，考查利用向量解决线面角问题，确定平面的法向量是关键19 （12 分） （2016 秋 沈河区校级期中）已知公差不为 0 的等差数列a n中，a 1=2，且 a2+1，a 4+1，a 8+1成等比数列（1）求数列a n通项公式；（2）设数列b n满足 bn= ，求适合方程 b1b2+b2b3+bnbn+1= 的正
33、整数 n 的值【考点】数列递推式；等差数列的通项公式【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】 （1）由 a2+1，a 4+1，a 8+1 成等比数列，建立关于 d 的方程，解出 d，即可求数列a n的通项公式；（2）表示出 bn，利用裂项相消法求出 b1b2+b2b3+bnbn+1，建立关于 n 的方程，求解即可【解答】解：（1）设公差为为 d，a 1=2，且 a2+1，a 4+1， a8+1 成等比数列，（a 4+1） 2=（a 2+1） （a 8+1） ，（3d+3） 2=（3+d） （3+7d） ，解得 d=3，a n=a1+（n1）d=2 +3（n1）=3n1；（2
34、）数列b n满足 bn= ，b n= ，b nbn+1= =3（ ）b 1b2+b2b3+bnbn+1=3（ + + ）=3（ ）= ，即 = ，解得 n=10，故正整数 n 的值为 10【点评】本题考查等比数列和等差数列的概念与性质，以及裂项相消法求和，属于中档题20 （12 分） （2016 春 成都校级期末）根据调查，某学校开设了“ 街舞”、 “围棋” 、 “武术” 三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 n 的样本，已知从“街舞”社团抽取的同学 8 人社团 街舞 围棋 武术人数 320 240 200（）求 n 的
35、值和从“围棋” 社团抽取的同学的人数；（）若从“围棋” 社团抽取的同学中选出 2 人担任该社团活动监督的职务，已知“围棋” 社团被抽取的同学中有 2 名女生，求至少有 1 名女同学被选为监督职务的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】概率与统计【分析】 （）由题意可得 = ，解方程可得 n 值，由比例易得所求；（）由（）知，从“围棋”社团抽取的同学为 6 人，其中 2 位女生记为 A，B，4 位男生记为C，D，E，F，列举可得共 15 种，其中没有女生的有 6 种，故所求概率 1 =【解答】解：（）由题意可得 = ，解得 n=19，从“围棋” 社团抽取的同学 240 =6 人
36、（）由（）知，从“围棋”社团抽取的同学为 6 人，其中 2 位女生记为 A，B，4 位男生记为 C，D，E，F，则从这 6 位同学中任选 2 人，不同的结果有A，B，A，C，A，D，A ，E，A，F，B，C，B，D，B ， E，B，F ， C，D，C ，E，C，F ，D，E，D，F，E，F ，共 15 种，从这 6 位同学中任选 2 人，没有女生的有：C，D，C，E，C，F ，D， E，D，F，E，F，共 6 种故至少有 1 名女同学被选中的概率 1 =【点评】本题考查列举法求基本事件数以及事件发生的概率，属基础题21 （12 分） （2014 南京三模）已知函数 f（x）=lnxmx （ m
37、R） （1）若曲线 y=f（x）过点 P（1，1） ，求曲线 y=f（x）在点 P 处的切线方程；（2）求函数 f（x）在区间1 ，e上的最大值；（3）若函数 f（x）有两个不同的零点 x1，x 2，求证：x 1x2e 2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】 （1）中求出斜率，代入切线方程即可；（2）中需要讨论 m 的范围， m 的取值范围不一样，求出的最值不同；（3）中将所证的结论转化为求新函数的单调区间问题得以解决【解答】解：（1）因为点 P（1，1）在曲线 y=f（x）上，所以m= 1，解得 m=1因
38、为 f（x）= 1=0，所以切线的斜率为 0，所以切线方程为 y=1（2）因为 f（ x）= m= 当 m0 时，x（1，e ） ，f （x）0，所以函数 f （x）在（1，e）上单调递增，则 f （x） max=f （e ）=1 me当 e，即 0m 时，x（1，e） ，f（x）0，所以函数 f （x）在（1，e）上单调递增，则 f （x） max=f （e ）=1 me 当 1 e ，即 m1 时，函数 f （x）在 （1， ）上单调递增，在（ ，e）上单调递减，则 f （x） max=f （ ）=lnm 1 当 1，即 m1 时，x （1，e ） ，f （x）0，函数 f （x）在（1，
39、e）上单调递减，则 f （x） max=f （1）=m综上，当 m 时，f （x ） max=1me；当 m1 时，f （x） max=lnm1；当 m1 时，f （x） max=m （3）不妨设 x1x 20因为 f （x 1）=f （x 2）=0，所以 lnx1mx1=0，lnx 2mx2=0，可得 lnx1+lnx2=m（x 1+x2） ，lnx 1lnx2=m（x 1x2） 要证明 x1x2e 2，即证明 lnx1+lnx22，也就是 m（x 1+x2）2因为 m= ，所以即证明 ，即 ln 令 =t，则 t1，于是 lnt 令 （t）=lnt （t1） ，则 （t）= = 0故函数
40、（t）在（1，+）上是增函数，所以 （ t） （1）=0，即 lnt 成立所以原不等式成立【点评】本题是关于导数的综合应用，利用导数求斜率，求函数的单调区间以及区间上的最值是最主要的题型之一选修 4-4：坐标系与参数方程 22 （10 分） （2016 秋 龙泉驿区校级期中）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为原点，Ox 轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为：sin （+ ）= ，曲线 C 的参数方程为：（1）写出直线 l 和曲线 C 的普通方程；（2）若直线 l 和曲线 C 相交于 A，B 两点，定点 P（1，2） ，求线段|AB|和|PA|PB |的值【考点】参数
41、方程化成普通方程【专题】方程思想；转化思想；三角函数的求值；坐标系和参数方程【分析】 （1）直线 l 的极坐标方程为： sin（+ ）= ，展开可得： （sin+cos ）= ，利用互化公式可得直角坐标方程曲线 C 的参数方程为： ，可得x2=4（1+sin2t ）=y，x （2）直线 l 的参数方程为： ，代入曲线 C 的方程可得： t2=0，可得|AB|=|t 1t2|=，|PA|PB|=|t1t2|【解答】解：（1）直线 l 的极坐标方程为： sin（+ ）= ，展开可得： （sin+cos）= ，可得直角坐标方程：x+y 1=0曲线 C 的参数方程为： ，x 2=4（1+sin2t ）
42、=y，x （2）直线 l 的参数方程为： ，代入曲线 C 的方程可得： t2=0，t 1+t2= ，t 1t2=2|AB|=|t 1t2|= = = ，|PA|PB|=|t1t2|=2【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程的方法、参数方程及其应用、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题选修 4-5；不等式选讲23 （2016 秋 龙泉驿区校级期中）已知函数 f（x）=|2x1|+a|x1|（I）当 a=1 时，解关于 x 的不等式 f（x）4（II）若 f（x） |x 2|的解集包含 ，2，求实数 a 的取值范围【考点】分段函数的应用【专题】综合题；函数思想；转化法；函数的性质及应用【分析】 （）由条件利用绝对值的意义求得不等式 f（x）4 的解集（）f（x）|x2|的解集包含 ，2，即为 a|x1|3 3x 对 x ，2恒成立，分类解得即可【解答】解：（）当 a=1 时，f（x）= |2x1|+|x1|= ，f（x）4， 或 ，解得 x 或 x2，故不等式的解集为（， 2，+） （）f（x）|x2|的解集包含 ，2，a|x1|3 3x 对 x ，2恒成立当 x1 时，a（1x）33x，解得 a3，当 1x2 时，a（x1）33x，解得 a3，综上：a3【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题
