1、 数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 为虚数单位， ,若 是纯虚数，则 的值为（ ）iaR1aiaA1 或 1 B1 C1 D32.已知全集 ，集合 ，则U260,21,xAxBy（ ）CA B C D3,1,23,3.已知函数 ，则“ ”是“函数 在 上为增函数”的（ afx0fx1）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4.设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则（ ）,ab，A若 ，则 B若 ，则 /ab/,/a/C. 若
2、 ，则 D若 ，则,a5.运行如图所示框图的相应程序，若输入 的值分别为 和 ，则输出 的值是,b4log3lM（ ）A0 B1 C. 3 D16.在正方形 中，点 是 的中点，点 是 的一个三等份点（靠近点 ） ，那么ABCDEFBCB（ ）EFA B C. D123BD142AD132AB7.中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅制造一种标准量器商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若 取 3，其体积为 12.6（立方寸） ，则图中 的为x（ ）A2.5 B3 C. 3.2 D48.设 满足约束条件 ，若目标函数 ， 的最大值为 2，,xy430,xy20zxnyz则
3、的图象向右平移 后的表达式为（ ）tan66A B t2yxcotyxC. Dtan6tan29.直线 与 轴的交点分别为 ，直线 与圆 的交点为1:0lxy,xy,ABl2:1Oxy.给出下列命题: .则下面命题正确的是（ ,CD1:;:02AOBpaSqaCD）A B C. Dpqppq10.函数 （其中 为自然对数的底）的图象大致是（ ）21xye11.已知双曲线 的左右焦点分别为 ，以线段210,xyab12,0,Fe为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为 ，若直线 与圆12FP2相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）2:16cbExyA B C. Dx3yx2yx12.已知函数 （ 为自然
4、对数的底）.若函数 恰好有0,xfeegfk两个零点，则实数 的取值范围是（ ）kA B C. D1,e,101,010,第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离是 210xy240xmy14.对于函数 ，若关于 的方程 有且只有两sin,gx0fn个不同的实根 ，则 12,x12x15.将正整数 12 分解成两个正整数的乘积有 三种，其中 是这三种分解12,63434中两数差的绝对值最小的，我们称 为 12 的最佳分解.当 （ 且 ）是34pq*,pqN正整数 的最佳分解时，我们定义函数 ，例如 .数列n
5、fnq12f的前 100 项和为 *3f16.已知双曲线 的离心率为 ，实轴为 ，平行于 的直线与双曲线2:1xyCab3AB交于点 ，则直线 的斜率之积为 ,MN,AN三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分）已知由实数组成的等比数列 的前项和为 ，且满足 .nanS478,254aS（1）求数列 的通项公式；na（2）对 ， ，求数列 的前 项和 .*N221loglnnnba nbnT18. （本小题满分 12 分）在 中，角 的对边分别为 ，且 .ABC,bccaABC（1）求 的大小；（2）已知 ，若对
6、任意的 ，都有 ，求cosin2os1fxaxxRfxfB函数 的单调递减区间.19. （本小题满分 12 分）已知三棱台 中，平面 平面 ， ,1ABC1BCAB90C.12,4,6A（1）求证： 平面 ；11（2）点 是 的中点，求二面角 的余弦值.DBC11BD20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 的离心率 ，右顶点、上顶点分别为 ，直线2:10xyCab32e,AB被圆 截得的弦长为 .AB2:1Oxy25（1）求椭圆 的方程；C（2）设过点 且斜率为 的动直线 与椭圆 的另一个交点为 ， ，klCMONB若点 在圆 上，求正实数 的取值范围.N21. （本小题满分 12 分）已知
7、 存在两个极值点 .2ln1fxabx12,x（1）求证： ；2（2）若实数 满足等式 ，试求 的取值范围.120fxfab请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 ，曲线 的参数方程为：xOy21:1Cxy2C， （ 为参数） ，以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系.2cosinxy（1）求 的极坐标方程；12,C（2）射线 与 的异于原点的交点为 ，与 的交点为 ，求 .30yx1CA2CBA23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 .5fxax
8、（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；25,1a（2）若 ，使得 ，求实数 的取值范围.0xR204fxm试卷答案一、选择题1.答案：B解析： 是纯虚数， ，且 ，211aiai210aa.2.答案：D解析：由题意得，集合 ，集合 ,那么 ，故选 D.3,2UCA13B1,2UCAB3.答案：A解析： ，即 在区间 上恒成立，则 ，而20afx3xa,a，故选 A.02a4. 答案：C解析：对于 A 选项，两直线有可能异面或相交；对于 B 选项，两平面有可能相交；对于 D 选项，直线 有可能在平面 内，故选 C.a5. 答案：D解析： ， ，根据程序框图，43log,l,b1,0ab.22
9、Ma6. 答案：D解析：在 中， 因为点 为 的中点，所以 .因为点CEFCFED12ECD为 的一个三等分点，所以 ，所以B23B，故选 D.121233EFCDCBAD7. 答案：B解析：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：215.416.6,3xx8. 答案：C解析：作出可行域与目标函数基准线 ，由线性规划知识，可得当直线2yxn过点 时， 取得最大值，即 ，解得 ；则2nzxy1,Bz12n的图象向右平移 个单位后得到的解析式为ta66.故答案为 C.tn2tan2yxx9. 答案：C解析： 真；11,0, ,2AOBAaSap,2221,BdCDaa，所以 ，
10、222140ACDABCD所以 假，选 C.q10. 答案：A解析：当 时，函数是 有且只有一个极大值点是 ，所以选 A.0x2211,xxye 2x11. 答案：D解析：设切点为 ，则 ，又 ，所以 ，所以 ，M1/EPF214E14PFrb2PFab因此 ，所以渐近线方程为 .224bacba2yx12. 答案：B解析：过原点且与曲线 相切的直线斜率是 ，作出 图象可以看出斜率xyee,fk的取值范围.k二、填空题13. 答案： 35解析：由直线 与直线 平行，可得 ， ,直线210xy240xmy21m4可化为 , .24xy 2135d14. 答案：1 解析：作出函数 的图象，与直线
11、有且只有两个交点，则 ，两交点关ygxyn1,2n于直线 对称，所以 .2x12=15. 答案： 503解析：当 为偶数时， 当 为奇数时， ,n30nf112233nnf所以 .0124951=+=1S16. 答案：2解析：设点 ，则 ，所以,Mxy2221bxayab2ANANkkxa三、解答题17.解：（1）由条件得 ，37482aq717 172254254aSa所以 .1nn（2） ,2221bn所以 .222221113nTnn18. 解：（1）由条件得: ，coscscaBabC从而 ,cossaBbC得 ，所以 .12ini2A3（2）由条件得函数 在 时，取得最大值，fx31
12、9.（1）证明：梯形 中， 得：1BC112,4BC，从而60,23C，所以 ，21B1因为平面 平面 ，且 ，1ABC所以 平面 ，因此 ，AC11所以 平面1B（2）如图，以 所在直线分别为 轴， 轴，点 为原点建立空间直角坐标系,xyC，则，Cxyz,116,0,40,30,23ABCBD又 ，112BCA,113,平面 的法向量 ，设平面 的法向量为 ，D0m1ABD,nxyz则 1,30Anxyzxy，0232Bz令 ，得 ，z1,n所以 ，2cos,1934m所以所求二面角的余弦值是 .220. 解：（1） ，所以直线 的方程为 即 ，32ebAB12xyb20xyb圆心 到直线
13、的距离为 ，所以 ，0,OAB15d=15所以椭圆 的方程为 ；C24xy（2）设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，M0,N0,1xy所以 ，2220 20011xyxy又 ，204所以 ，得 ，20201,1,35yy2316所以正实数 的取值范围是 .3,421. 解：（1） 2211axbaxf结合题意， 为一元二次方程 的两根，12,x2=0于是， 且 ，可得：=40ab21ab 1212,xx（2）由（1）可得 12= 2212lnlnfxfaxbaxba2112ln,a22xx1212lnlnlnaaab由 得 ，整理可得120fxfbl0，lnab令 21,2,lnt t设函数
14、，求导得 ，所以 ，1ln,22xyx 1ln,2,xy0y函数 在 和 为减函数，1ln,22,xyx,2,设函数的值域为 ，,12ln1ln,因此 的取值范围为 .222. 解：（1）将 代入曲线 方程： ，cosinxy1C21xy可得曲线 的极坐标方程为 ，1C2曲线 的普通方程为 ，将 代入，221xycosinxy得到 的极坐标方程为 .222sin（2）射线的极坐标方程为 ，与曲线 的交点的极径为 ，=061C1=2cos36射线 与曲线 的交点的极径满足 ，解得=062C22sin6205所以 .121035AB23. 解：（1） ， ，xa73xa 的解集为 ， ， .2f5,1512（2） ，fxax ，使得 成立，0R204fm ，即 ，解得 ，或 ，2in4mx551m实数 的取值范围是 .,1,
