1、海南省 20172018 学年高中毕业班阶段性测试数学（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得： ， 故选：D2. 已知复数 满足 ， 为 的共轭复数，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得： ， ，故选：A3. 如图，当输出 时，输入的 可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】当输出 时，此时 4= ，即 ，由 ，可得： ，即 ，同理： 。故选:B 4. 已知 为锐角， ，则 的取值范围为（
2、 ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 ，可得：又 ， 的取值范围为故选：C5. 把一枚质地均匀、半径为 的圆形硬币抛掷在一个边长为 的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可知，硬币的圆心必须落在小正方形中，如图：该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为 ，故选：B6. 的展开式中， 的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 的通项为：的展开式中， 的系数为故选：B点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特
3、定项.可依据条件写出第 r1 项，再由特定项的特点求出 r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 r1 项，由特定项得出 r 值，最后求出其参数.7. 已知正项数列 满足 ，设 ，则数列 的前 项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 ，可得： ，又 ， ，数列 的前 项和故选：C8. 如图，网格纸上正方形小格的边长为 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥，如图所示：，故选：D点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关
4、系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.9. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， 、,故选：A10. 已知函数 是定义在 上的偶函数， ，当 时， ，若，则 的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由函数 是定义在 上的偶函数， ，可得： ，即 ，故函数的周期为 12.令 ，解得 ，在 上 的根为 5，7；又 ， 的最大值在 上，即 .故选：D11. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 作
5、互相垂直的两直线 ， 与抛物线分别相交于 ， 以及 ， ，若 ，则四边形 的面积的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由抛物线性质可知： ，又 ， ，即设直线 AB 的斜率为 k（k0） ，则直线 CD 的斜率为 直线 AB 的方程为 y=k（x1） ，联立 ，消去 y 得 k2x2（2k 2+4）x+k 2=0，从而 ， =1，由弦长公式得|AB|= ，以 换 k 得|CD|=4+4k 2，故所求面积为 32（当 k2=1 时取等号） ，即面积的最小值为 32故选：C12. 已知 ，方程 与 的根分别为 ， ，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析
6、】方程 的根，即 与 图象交点的横坐标，方程 的根，即 与 图象交点的横坐标，而 的图象关于直线 轴对称，如图所示： ， ，又 ，故选：A点睛：本题充分利用了方程的根与图象交点的关系，把问题转化为“形”的问题，而的图象关于直线 轴对称，从而两根之间满足 ，目标函数即可转化为关于 的函数的最值问题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知 ， ， ，且向量 ， 的夹角是 ，则 _【答案】【解析】设 ，由 ，可得， ，又 向量 ， 的夹角是 ， ，解得： ，即故答案为：14. 已知实数 ， 满足 ，则 的最大值是_【答案】7【解析】作出可行域，如图所示：当直线经过
7、点 B 时， 最大，即 ，故答案为：7点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 且垂直于 轴的直线与该双曲线的左支交于 ， 两点， ， 分别交 轴于 ， 两点，若 的周长为 ，则的最大值为_【答案】【解析】由题意，ABF 2的周长为 32，|AF 2|+|BF2|+|AB|=32，|AF 2|+|BF2
8、|AB|=4a，|AB|= ， =324a， ， ，令 ，则 ，.令 m= ，则当 m= 时， 的最大值为故答案为：16. 如图，在三棱锥 中， 平面 ， ，已知 ， ，则当最大时，三棱锥 的表面积为_【答案】【解析】设 ，则 ， ， ，当且仅当 ，即 时，等号成立.,故答案为：4三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17. 已知在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，且 .（1）求角 的大小；（2）若 ， ，求 的面积.【答案】(1)
9、 (2) 【解析】试题分析：(1)利用正弦定理及两角和正弦公式即可求得角 的大小；(2) 由（1）知 ，又 ，易求得 ，由正弦定理求得 ，进而得到的面积.试题解析：（1）由 及正弦定理得，即 ，又 ，所以 ，又 ，所以 .（2）由（1）知 ，又 ，易求得 ，在 中，由正弦定理得 ，所以 .所以 的面积为 .18. 如图，在直三棱柱 中， ， ，点 为 的中点，点为 上一动点.（1）是否存在一点 ，使得线段 平面 ？若存在，指出点 的位置，若不存在，请说明理由.（2）若点 为 的中点且 ，求二面角 的正弦值.【答案】(1) 存在点 ，且 为 的中点，证明见解析(2) 【解析】试题分析：（1）存在
10、点 ，且 为 的中点.要证 平面 ，连接 ，点 ， 分别为 ， 的中点，转证 即可；（2）设点 ， 分别为 ，的中点，连接 ， ， ，易得 平面 ， ，从而得到三棱锥 的体积.试题解析：（1）存在点 ，且 为 的中点.证明如下：如图，连接 ， ，点 ， 分别为 ， 的中点，所以 为 的一条中位线， ，平面 ， 平面 ，所以 平面 .（2）如图，设点 ， 分别为 ， 的中点，连接 ， ， ，并设 ，则， ，由 ，得 ，解得 ，又易得 平面 ， ，.所以三棱锥 的体积为 .点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法分割法、补形法
11、、等体积法. 割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值19. 某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过 站的地铁票价如下表：乘坐站数票价（元）现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过 站.甲、乙乘坐不超过
12、 站的概率分别为 ， ；甲、乙乘坐超过 站的概率分别为 ， .（1）求甲、乙两人付费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量 ，求 的分布列和数学期望.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：(1) 由题意知甲乘坐超过 站且不超过 站的概率为 ，乙乘坐超过站且不超过 站的概率为 ，利用乘法概率公式及互斥原理得到甲、乙两人付费相同的概率；(2) 由题意可知 的所有可能取值为： ， ， ， ， .求得相应的概率值，即可得到 的分布列和数学期望.试题解析：（1）由题意知甲乘坐超过 站且不超过 站的概率为 ，乙乘坐超过 站且不超过 站的概率为 ，设“甲、乙两人付费相同”为事件 ，则 ，所
13、以甲、乙两人付费相同的概率是 .（2）由题意可知 的所有可能取值为： ， ， ， ， .，.因此 的分布列如下：所以 的数学期望 .点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率” ，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离散
14、型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 XB(n，p)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)np)求得.20. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为椭圆的上顶点和右焦点， 的面积为 ，直线 与椭圆交于另一个点 ，线段 的中点为 .（1）求直线 的斜率；（2）设平行于 的直线 与椭圆交于不同的两点 ， ，且与直线 交于点 ，求证：存在常数 ，使得 .【答案】(1) (2) 存在常数【解析】试题分析：(1)由题意得到椭圆的方程为 . 直线 的方程为 ，联立 消去 得 ，从而得线
15、段 的中点 ，进而得到直线 的斜率；(2) 设直线 的方程为 . 联立方程得到 同理得到，存在常数 ，使得 .试题解析：（1）因为椭圆的离心率为 ，所以 ，即 ， ，所以 ， ，所以 ，所以 ，所以椭圆的方程为 .直线 的方程为 ，联立 消去 得 ，所以 或 ，所以 ，从而得线段 的中点 .所以直线 的斜率为 .（2）由（1）知，直线 的方程为 ，直线 的斜率为 ，设直线 的方程为. 联立 得 所以点的坐标为 .所以 ， .所以 .联立 消去 得 ，由已知得 ，又 ，得 .设 ， ，则 ， ， .所以 ，故 .所以 .所以存在常数 ，使得 .21. 已知函数 ， .（1）求函数 的单调区间；（
16、2）证明： .【答案】(1) 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 (2)见解析【解析】试题分析：(1) 由题易知 解不等式得到函数 的单调区间；(2) 要证 ，即证 .易知： ， ，从而得证.试题解析：（1）由题易知 ，当 时， ，当 时， ，所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .（2） 的定义域为 ，要证 ，即证 .由（1）可知 在 上递减，在 上递增，所以 .设 ， ，因为 ，当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，而 ，所以 .（二）选考题：共 10 分.请考生在 22，23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修 4-4：坐标
17、系与参数方程在平面直角坐标系 中，已知直线 ： （ 为参数） ，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（1）求曲线 的直角坐标方程；（2）设点 的极坐标为 ，直线 与曲线 的交点为 ， ，求 的值.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（）直接由直线的参数方程消去参数 t 得到直线的普通方程；把等式两边同时乘以 ，代入 x=cos， 2=x2+y2得答案；（）把直线的参数方程代入圆的普通方程，利用直线参数方程中参数 t 的几何意义求得的值试题解析：（1）把 展开得 ，两边同乘 得 .将 ， ， 代入即得曲线 的直角坐标方程为 .（2）将 代入式，得 ，
18、易知点 的直角坐标为 .设这个方程的两个实数根分别为 ， ，则由参数 的几何意义即得 .23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）当 时，求不等式 的解集；（2）若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）通过讨论 x 的范围，得到各个区间上的 x 的范围，取并集即可；（2）根据绝对值的几何意义求出 m 的范围即可试题解析：（1）当 时，原不等式可化为 .若 ，则 ，即 ，解得 ；若 ，则原不等式等价于 ，不成立；若 ，则 ，解得 .综上所述，原不等式的解集为： .（2）由不等式的性质可知 ，所以要使不等式 恒成立，则 ，所以 或 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 . 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
