1、1.3.1.2一、选择题1如图所示，已知高为 3 的棱柱 ABCABC的底面是边长为 1 的正三角形，则三棱锥 BABC 的体积为( )A. B.14 12C. D.36 34答案 D解析 棱柱的高为 3，B到底面 ABC 的距离，即棱锥 BABC 的高为 3，体积 V 123 .13 34 342已知圆柱的侧面展开图矩形面积为 S，底面周长为 C，它的体积是( )A. B.C34S 4SC3C. D.CS2 SC4答案 D解析 设圆柱底面半径为 r，高为 h，则Error!，r ，h .C2 SCVr 2h 2 .(C2) SC SC43(0910 学年枣庄模拟)一个空间几何体的正视图、侧视
2、图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为 1，则这个几何体的体积为( )A1B.12C.13D.16答案 D解析 由三视图知，该几何体是三棱锥体积 V 111 .13 12 164体积为 52cm3 的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的 9 倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为( )A54 cm 3 B54cm 3C58cm 3 D58cm 3答案 A解析 由底面积之比为 1:9 知，体积之比为 1:27，截得小圆锥与圆台体积比为1:26， 小圆锥体积为 2cm3，故原来圆锥的体积为 54 cm3，故选 A.5(0910 学年泰安高模)下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的
3、体积为( )A8 B2C4 D答案 D解析 由三视图可知，该几何体是底半径为 1，高为 2 的圆柱，沿经过轴的截面分割开的半个圆柱，故其体积 V (12)2.126圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是( )A1:1 B1:6C1:7 D1:8答案 C解析 如图，设圆锥底半径 OBR，高 POh，O为 PO 中点，PO ，h2 ，OA ，O AOB POPO 12 R2V 圆锥 PO 213 (R2) h2 R2h.124V 圆台 OO R2h.3(R2)2 R2 R2R)h2 724 ，故选 C.V圆 锥 POV圆 台 O O 17点评 由圆锥的平行于底面的截面性质，
4、截得小圆锥与原来圆锥的高的比为 1:2，故体积比为 1:8，因而上、下两部分体积比为 1:7.7用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是 1:3，这截面把圆锥母线分为两段的比是( )A1:3 B1: ( 1)3C1:9 D. :23答案 B解析 由面积比为 1:3，知小圆锥母线与原圆锥母线长之比为 1: ，故截面把圆锥母3线分为 1: ( 1)两部分，故选 B.38一密闭正三棱柱容器内装有液体，该三棱柱容器内底面正三角形边长为 2，棱柱的内高为 3，将一侧面置于水平桌面上，测得液体高度为 ，现将容器底面放于水平桌面上，32则容器内液面高度为( )A. B.32 332C. D
5、394 3答案 C解析 由题意可知，侧面置水平桌面上时，容器内的液体是一个四棱柱，高为 3，底面是一梯形，梯形的下底是 2，高是 ，可求得上底长为 1，32故体积 V 3 ，(1 2)322 934设直立正放于桌面上时，液面高度为 x，则 22x ，x .34 934 949已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4，高为 2，则体积为( )A32 B283 3C24 D203 3答案 B解析 上底面积 S16 226 ，34 3下底面积 S26 4224 ，34 3体积 V (S1 S2 )h13 S1S2 (6 24 )228 .13 3 3 63243 310已知三棱柱 ABCA 1
6、B1C1 的体积为 V，P、Q 分别在侧棱 A1A 和 C1C 上，且AP C1Q，则四棱锥 BAPQC 的体积是( )A. V B. V12 13C. V D. V25 14答案 B解析 V BAPQC VBACC1A1 V BACC112V C1ABC V.13二、填空题11圆台的上、下底面半径分别是 10 cm 和 20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角是180(如图) ，那么圆台的体积是 _答案 cm370003 3解析 180 360，l2020 10lh10 ，V (r r r 1r2)h (cm3)313 21 2 70003312(2010天津理，12)一个几何体的三视图如右图
7、所示，则这个几何体的体积为_答案 103解析 由三视图知，该几何体由一个高为 2，底面边长为 2 的正四棱锥和一个高为2，底面边长为 1 的正四棱柱组成，则体积为 221 112 .13 10313(08江西理)如图 1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有 a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点 P.如果将容器倒置，水面也恰好过点 P(图 2)有下列四个命题：正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 P任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 P若往容器内再注入 a 升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是：_
8、( 写出所有真命题的代号)答案 解析 正放时，里边有一个正四棱锥实心装饰块，正放与倒置时，水面都经过正四棱锥顶，容器内水的体积一定，错，对侧面水平放置时，正四棱锥的体积，在水面上、下各一半，容器的容积上、下各一半，水面恰好过点 P，但任意摆放时，水面上、下部分正四棱锥体积不等，故水面不过 P点，对，错14已知圆台上、下底面半径分别为 1,2，高为 3，则圆台体积为_答案 7解析 由已知圆台上、下底面积分别为S 上 ， S 下 4.则 V 圆台 ( 4)37.13 4三、解答题15(09天津文)如图是一个几何体的三视图若它的体积是 3 ，求 a 的值3解析 由三视图知，几何体为底面边长为 2，高
9、为 3 的正三棱柱V 2a33 ，a .12 3 316底半径为 1，高为 1 的圆柱，内接长方体如图，设矩形 ABCD 的面积为 S，长方体A1B1C1D1ABCD 的体积为 V，设矩形 ABCD 的一边长 ABx.(1)将 S 表达为 x 的函数；(2)求 V 的最大值解析 (1)矩形 ABCD 内接于圆 O，AC 为O 的直径，AC2，AB x，BC ，4 x2SABBC x (0x2)4 x2(2)长方体的高 AA11，VS AA1x 4 x2 ，x2(4 x2) (x2 2)2 40x2，0x 24，当 x22，即 x 时，V max2，2故长方体体积的最大值为 2.17已知直三棱柱
10、 ABCA 1B1C1，用一平面去截它，得截面A 2B2C2，且AA2h 1，BB 2h 2，CC 2h 3，若ABC 的面积为 S.求证：介于截面与下底面之间的几何体体积 V S(h1 h2h 3)13解析 连结 AB2、B 2C、CA 2，这样就把几何体 ABCA 2B2C2 分成三个三棱锥VV CABB2 V CAA2B2 V CA2B2C 2，V CABB2 V B2ABC Sh2，13VCAA2B2 V CAA 2BV A2ABC Sh1，13VCA 2B2C2V A2CB2C2 V A2BCC2V BA2C2C V BACC2 V C2ABC Sh3.13V S(h1h 2h 3)13点评 在求某几何体的体积时，大家经常采用的“割补法 ”和“等积变形”等方法，都是设法实现复杂向简单，未知向已知的转化请读者想一想，此题还可以用什么方法解？高 考*试题*库
