1、第 56 题 不等式的恒成立、恰成立、能成立问题I题源探究 黄金母题【例 1】当 取何值时，一元二次不等式 对一切实数 都k2308kxx成立？【解析】由已知结合二次函数的图像可得 ，解得2,3408k所以当 时，一元二次不等式 ，对一30k30k2x切实数 都成立x 精彩解读【试题来源】人教版 A 版必 5P4例 3【母题评析】本题考查一元二次不等式恒成立参数取值范围问题不等式恒成立问题，是历年来高考的一个常考点【思路方法】合理运用二次函数的图像及其性质解题II考场精彩真题回放【例 2】 【2017 高考天津文 8】已知函数|2,1().xf设 aR，若关于 x的不等式 ()|2xfa在 R
2、上恒成立，则 的取值范围是A 2, B 3, C ,3 D 23,【答案】【解析】首先画出函数 fx的图象，当 0a时， 2xga的零点是 20xa，零点左边直线的斜率时 12，不 会和函数 f有交点，满足不等式恒成立，零点右边 xga，函数的斜率 12k，根据图象分析，当 x时， a，即 0成立，同理，若 0a，函数 2g的零点是 2，零点右边 xgf恒成立，零点左边 xa，根据图象分析当 0时，a，即 20，当 时， fxg恒成立，所【命题意图】本题考查绝对值不等式的性质， 属于创新题，有一定的难度它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力【考试方向】这类
3、试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较大，往往是高中数学主要知识的交汇题【难点中心】1解决此类问题的关键是运用函数图像及其性质（数形结合）解题2 一般不等式恒成立求参数1可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题；2也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；以 2a，故选 A【名师点睛】本题中的函数 fx 和 2xga都是比较熟悉的函数，考场中比较快速的方法是就是代入端点，画出函数的图象，快速准确，满足题意时 fx的图象恒不在函数 2xya下方，当 3时，函数图象如图所示，排除 C，D 选项；当 23a时，函数图象如图所示，排除 B 选项，3也可转化为 0Fx的
4、问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围3对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式III理论基础解题 原理（1 ） 对一切 恒成立20axbcaxR20,4.abc（2 ） 对一切 恒成立22,0.aIV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度中等或偏大【技能方法】若不等式 在区间 上恒成立，则 等 价于在区间上 ；若不等式 在区间 上恒fxADminfxAfxBD成立，则等价于在区间 上 如果函数在区间 上不存在最值，那么也可以根据函数值域的端maxfBD点值得出类似
5、的等价关系【易错指导】在一元二次不等式的恒成立问题中要特别注意二次项的系数，当这个系数是不确定的字母时，要分其大于零、等于零和小于零的情况进行讨论V举一反三触类旁通考向 1 不等式的恒成立问 题、恰成立、能成立问题【例 1】 【2018 贵州省遵义航天高级中学高一下学期期中考试】若不等式 的解集2120mx是 R，则 的范围是mA B C D,9,9,19,9,【答案】A【名师点睛】不等式 的解是全体实数(或恒成立 )的条件是当 时， ；当 时，20axbc 0a ,0bc a不等式 的解是全体实数(或恒成立 )的条件是当 时， ；当 时，0 a2 ,0 a【例 2】 【2018 四川宜宾市高
6、一上学期期末考 】当 时，不等式 恒成立，1,a2420xaa则 的取值范围为xA B C D,13,12,3,1,3【答案】A【 解析】 令 ，则不等式 恒成立转化为 在24faxx2420xaa0fa上恒成立，则 ，整理得 ，解得1,a210 0f256 3x或 ，所以实数 的取值范围是 ，故选 Ax3x,13,【例 3】 【2018 甘肃天水一中高三上学期第二学段（期中） 】对于任意实数 ，不等式x恒成立，则实数 的取值范围是（ ）240aaA B C D,2,2,2【答案】C【名师点睛】不等式的恒成立，应和函数的图像联系起来二次项系数含字母，应对二次项系数是否为 0，分情况讨论当二次项
7、系数不为 0 时，结合二次函数 图像考虑，根据题意图像应恒在 轴的下方，故抛物线x开口向下且和 轴没交点，即判别式小于 0综合两种情况可得所求范围x【跟踪练习】1 【 2018 河北省武邑中学高二上学期期末考试 】对任意的实数 ，不等式 恒成立，则实数x210mx的取值范围是（ ）mA B C D4,04,04,04,0【答案】B【解析】当 m=0 时， ，不等式成立；设 ，当 m0 时函数 y 为二次函210x21yx数，y 要恒小于 0，抛物线开口向下且与 x 轴没有交点，即要 m3故选 A2140 xx3, 1或或【名师点睛】不等式恒成立问题的一般思路是转化为函数的最值来处理，解此类型的
8、一般思路是：（1 ）观察函数的变量是哪个，函数形式是二次，还是指数，还是对勾函数，函数结构较为复杂时可以利用求导，根据函数的单调性，求出函数最值即可；（2 ）对于一次函数恒大与 0 或恒小于 0 的问题 ，可以直接转化为两个端点值恒大于 0 或恒小于 0 即可4 【 2018 广东省珠海高一上学期期末考 】设函数 ，对于满足 的一切 值都有2fxa14xx，则实数 的取值范围为（ ）0fxaA B C D1a12a1212a【答案】D【解析】 满足 的一切 值，都有 恒成立，可知4xx20fx，满足 的一切 值恒成立， ，22110,a4x14x，实数 的取值范围是 ，实数 的取值范围为 ，故
9、选 D20,4xa1,2a2a【方法点晴】本题主要考查二次函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数 恒成立( 可) 或 恒成立（ 即可） ； 数形结合(afxmaxffxminfx图象在 上方即可) ； 讨论最值 或 恒成立； 讨论参数本yfxygmin0a0题就是利用方法 求得 的取值范围的考向 2 恒成立与其他知识的交汇不等式恒成立问题可以与其它知识产生交汇，如数列、函数与导数、解析几何、常用逻辑用语等【例 4】 【2018 衡水金卷高三信息卷（四） 】设 ： ， ： ，若 是p3402xq2210xmxp的必要不充分条件，则实数 的取值范围为（ ）qm
10、A B C D2,13,12,0,1,1,【答案】D【例 5】 【2018 江苏南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校高三联考】已知函数在 上单调递减，则 的取值范围是_ 321fxax,a【答案】 ,【解析】 ， 321fxax223fxax又函数 在 上单调递减， 在 上恒成立，1, 01, ，即 ，解得 或 230 fa20 3a3a实数 的取值范围是 ,3,【例 6】 【 2018 河南濮阳高二上学期期末考 】已知命题 若命题 是假命题，则2001:,pxRaxp实数 的取值范围是_a【答案】 1,2【名师点睛】不等式 的解是全体实数(或恒成立 )的条件是当 时， ；当 时，20a
11、xbc 0a ,0bc a；不等式 的解是全体实数(或恒成立 )的条件是当 时， ；当 时，0 a2 , 0【跟踪练习】1 【 2018 广东中山市高二上学期期末复习 】命题“ 恒成立”是假命题，则实数 的取值范围是230axa( )Aa 3 D0a3【答案】A【解析】命题“ 恒成立”是假命题，即“ 恒成立” 是真命题，当 时，23x230x0a不成立，当 时，要使 恒成立，必须 ，解得230ax0a2a2 41或 ，故选 A2 【 2018 内蒙古包钢一高三上学期第一次月考 】若不等式 对一切实数 恒成立，则关于20xaxR的不等式 的解集为t231taA B C D,1,1【答案】B3 【
12、 2018 上海静安区第一学期高三教学质量检测 】若不等式 的解集是区间 的子集，则21xa3,实数 的取值范围为_a【答案】 ,5【解析】由题意可得：不等式 等价于 设 21xa210xa21fxa不等式 的解集是区间 的子集， ， ，故答案21xa3,35 7f5为 ,54 【 2018 山东潍坊第七中学高一上学期期中考试 】下列命题中：集合 的真子集的个数是 8；|03AxxN且函数 在 上为减函数，则实数 的取值范围是 ；212fa,4a3a已知函数 ，则函数的值域为 ；4xxy3,14关于 的一元二次方程 一个根大于 1，一个根小于 1，则实数 的取值范围 210mm23其中正确的有
13、_ （请把所有满足题意的序号都填在横线上）【答案】【解析】 集合 且 集合 的真子集是| 03Ax0,12xNA共有 个，错误,01,2,127函数 的图象是开口向上，且以直线 为对称 轴的抛物线，若函数3fxax 312ax在 上为减函数，则 ，解得 ，正确2,44已知函数 ，令 ，对称轴是 ，当 时，412xxy21,12xtyt2tt取得最小值 ；当 时，取得最大值 ，故值域是 ，错误3t3,设函数 ，则关于 的一元二次方程 一个根大于 ，一个根 小21fxmx210xm1于 ，则有 ，即 ，解得 ，正确，故答案为10035 【 2018 辽宁大连渤海高级中学高二上学期期中考试 】函数
14、的定义域为 R，则常数 的21fxkxk取值范围是_【答案】 0,4【名师点睛】求函数的定义域，应使得函数解析式有意义分母中根式的被开放式大于 0，转化成不等式恒成立，二次项系数为字母，讨论是否为零，不为零时，结合二次函数图像来解注意三个二次之间的关系6 【 2018 四川成都外国语学校高三 11 月月考】已知 是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，fx，若 ，有 成立，则实数 的取值范围是_xfe,1a2fxaa【答案】 3,4【解析】由题意可得 ，所以 2fxf22fxafxfafx即 为因为函数 是偶函数，故函数图象关于 y 轴对称，且在 上单调递减，在 上单调递增所fx ,00,以
15、由 可得 在 上恒成立，从而 在 上恒成立，化2a2xa,124x1a简得 3x2-2ax-a2 0 在 上恒成立，,1设 h(x)= 3x2-2ax-a2，则有 ，解得 ，故实数 a 的取值范围是 0 43ha34a3,4【名师点睛】一元二次不等式恒成立问题的几个注意点（1 ）一元二次不等式的恒成立问题，可通过二次函数求最值来处理；也可通过分离参数，再求最值（2 ）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数（3 ）对于二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方
