1、高中数学不等式的恒成立问题不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点. 考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。一、构造函数法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更
2、加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例 1 已知不等式 对任意的 都成立，求 的取值范围.解：由 移项得: .不等式左侧与二次函数非常相似，于是我们可以设 则不等式 对满足 的一切实数 恒成立 对 恒成立 .当 时，即解得 故 的取值范围是 .注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于 的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的 x 为参数，以 为变量，令则问题转化为求一次函数（或常数函数） 的值在 内恒为负的问题，再来求解参数 应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。二、分离参数法在不等式中求含参数范围过程中，当不
3、等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法.例 2 已知函数 （ 为常数）是实数集 上的奇函数，函数在区间 上是减函数.（）若对（）中的任意实数 都有 在 上恒成立，求实数的取值范围.解：由题意知，函数 在区间 上是减函数.在 上恒成立注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于 取值范围内的任一个数都有 恒成立，则 ；若对于 取值范围内的任一个数都有恒成立，则 .三、数形结合法如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形
4、较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.例 3 已知函数 若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 .解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数 及 的图象，由于不等式 恒成立，所以函数 的图象应总在函数 的图象下方，因此，当 时， 所以 故 的取值范围是注：解决不等式问题经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象.如：不等式 ，在 时恒成立，求 的取值范围.此不等式为超越不等式，求解时一般使用数形结合法，设 然后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图
5、象，借助图象观察便可求解.四、最值法当不等式一边的函数（或代数式）的最值较易求出时，可直接求出这个最值（最值可能含有参数），然后建立关于参数的不等式求解.例 4 已知函数（）当 时，求 的单调区间；（）若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.解（）当 时，不等式 即 恒成立.由于 ，亦即 ，所以 .令 ，则，由 得 .且当 时， ；当 时， ，即在 上单调递增，在 上单调递减，所以 在 处取得极大值 ，也就是函数 在定义域上的最大值.因此要使 恒成立，需要 ，所以 的取值范围为 .例 5 对于任意实数 x，不等式x+1+x-2a 恒成立，求实数 a 的取值范围.分析：把左边看作 x 的函数
6、关系，就可利用函数最值求解.解法 1：设 f（x）=x+1+x-2=-2x+1,（x1）3，（-1x2）2x-1,（x2）f（x） min=3.a3.分析：利用绝对值不等式a-baba+b求解 f（x）=x+1+x-2的最小值.解法 2：设 f（x）=x+1+x-2，x+1+x-2（x+1）-（x-2）=3，f（x） min=3. a3.分析：利用绝对值的几何意义求解.解法 3：设 x、-1、2 在数轴上的对应点分别是 P、A、B，则x+1+x-2=PA+PB，当点 P 在线段 AB 上时，PA+PB=AB=3，当点 P 不在线段 AB 上时，PA+PB3，因此不论点 P 在何处，总有PA+P
7、B3，而当 a3 时，PA+PBa 恒成立，即对任意实数 x，不等式x+1+x-2a 恒成立.实数 a 的取值范围为（-，3）.小结求“恒成立问题”中参数范围，利用函数最值方便自然，利用二次不等式恒为正（负）的充要条件要分情况讨论，利用图象法直观形象.综上，恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，它以“参数处理”为主要特征，以“导数”为主要解题工具.往往与函数的单调性、极值、最值等有关，所以解题时要善于将这类问题与函数最值联系起来，通过函数最值求解相关问题.不等式恒成立问题，因题目涉及知识面广，解题方法灵活多样，技巧性强，难度大等特点，要求有较强的思维灵活性和创造性、较高的解题能力，上述方法是比较常用的，但因为问题形式千变万化，考题亦常考常新，因此在备考的各个阶段都应渗透恒成立问题的教与学，在平时的训练中不断领悟和总结，教师也要介入心理辅导和思想方法指导，从而促使学生在解决此类问题的能力上得到改善和提高.
