1、恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。一、分离参数最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：af(x)恒成立,只须求出 ,()则 a ;若 af(x)恒成立, 只须求出 ,则 a 转化为函数求最值.() () ()例 1 已知函数 f(x)= ,若任意 x2 ,+)恒有 f(x)0,试确定 a 的取值范围.
2、ln(+2)解:根据题意得,x+ 21 在 x2 ,+)上恒成立,即 a +3x 在 x2 ,+)上恒成立.设 f(x)=- 2+3x .则 f(x)= + ,当 x=2 时, =2 ,所以 a22(32)294 ()2 在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若 f(a)g(x)恒成立,只须求出 g(x)最大值 ,则 f(a) .然后解不等式求出参数 a 的取值()范围; :若 f(a)g(x)恒成立 ,只须求出 g(x)最小值 ,则 f(a) .然后解不等式求出参数 a 的()取值范围.问题还是转化为函数求最值.例 2 已知 x( ,1时,
3、不等式 1+ +(a ) 0 恒成立 ,求 a 的取值范围.2 24解 令 =t ,x( ,1 t(0 ,2.所以原不等式可化为 1,并且必须也只需当x=2 时 y2的函数值大于等于 y1的函数值。故 loga21,a1, 12+分析:在不等式出现了两个字母 x 及 p,关键在于把哪个字母看成一个变量.另一个作为常数.显然可将 p 视作自变量,则上述问题可转化为在-2 ,2内关于 p 的一次函数大于 0 恒成立问题.解:原不等式可化为(x1)p+ 2x+10 .设 f(p)= (x1)p+ 2x+1,则 f(p)在 2 ,2 上恒大于2 20,故有 即 解得 (2)0(2)0 24+30210
4、 3或 1或 1例 8 对于 ，不等式 恒成立，求实数 x 的取值范围。1,a1ax2ax2xyo12y1=(x-1)2y2=logax解析：不等式 不等式 即 对于1ax2ax21 1ax22)1x(a)(2恒成立。1,a记 ，则问题转化为一次函数（或常数函数）在区间1，1内恒为正的2)(a)(fx 应满足的条件。由 得 或0)1(f 0x)()x(2.2故实数 x 的取值范围是 .,0,恒成立问题中含参范围的求解策略较多，但主要有以上三种常见方法，其实质是一种等价转化的思想，可见，只要我们在解题中善于归纳和总结，就一定会积累更多的经验和方法，从而更好地提高我们的解题能力。四、判别式法若所求
5、问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有),0()(2Rxacbxxf 1 对 恒成立 ; 2 对 恒成立 0f 0)(xfR.0a例 9已知函数 的定义域为 R，求实数 的取值范围。)1(lg2axy解：由题设可将问题转化为不等式 对 恒成立，即有2解得 。所以实数 的取值范围为 。04)(2a3或 a),31(),(若二次不等式中 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。x例 10设 ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。)(2mf ),1xmxf)(解：设 ，则当 时， 恒成立F 0F当 时， 显然成立；014即 当 时，如图， 恒成立的充要条件为
6、：0)(x解得 。12)(mF23综上可得实数 的取值范围为 。)1,五、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。例 3、若 时，不等式 恒成立，求 的取值范围。2,x23xaa解：设 ，则问题转化为当 时， 的最小值非负。3fa2,xfx（1） 当 即： 时， 又 所以 不存在；4min730ff734a（2） 当 即： 时， 又2a2in2afxf624a42O xyx-1（3） 当 即： 时， 又2a4min270fxfa74a74a综上所得： 7六、利用集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利
7、用集合与集合之间的包含关系来求解，即： ，则 且 ，不等式的解即为实数 的取值范围。,mnfagfagna例 5、当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。1,3xlo1axa解： lga（1） 当 时， ，则问题转化为 1x1,3,a31a（2） 当 时， ，则问题转化为01a1xa1,3,a3110a综上所得： 或3易混题、能成立问题若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 上 ；DxAxfDmaxfA若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 上的 .BinB例 1、已知不等式 在实数集 上的解集不是空集，求实数 的取值范围_（答：a34R）a例 2、若关于 的不等式
8、的解集不是空集，则实数 的取值范围是 x2xa第二个填空是不等式能成立的问题. 设 .则关于 的不等式 的解集axf2x32ax不是空集 在 上能成立 ,3f, 3minf即 解得 或42minax6例 3、已知函数 ， ， . 若 ，且 存在单调xflbxag2102bxgfxh递减区间，求 a 的取值范围；分析及解只研究第（I）问. ，xahb1ln)(,2时则 .21)(xaxh因为函数 存在单调递减区间，所以 有解.()0由题设可知, 的定义域是 ,0而 在 上有解,就等价于 在区间 能成立,0xh0xh即 , 成立, 进而等价于 成立,其中 .a21x xuaminxu21由 得,
9、.于是, ,xu2121minxu1由题设 ,所以 a的取值范围是00例 4、不等式 有解，求 的取值范围。2kxk解：不等式 有解 有解 有解 ，02(1)x21kx2max1k所以 。()，例 5、对于不等式 ，存在实数 ，使此不等式成立的实数 的集合是 ；对于任意21xa aM，使此不等式恒成立的实数 的集合为 ，求集合 0x， NM，解：由2(1)()3.xfx ，又 有解 ，所以 afmin()af3a令 恒成立 ()gx2105()xgx， max()(5)9g所以 9N、恰好成立例 6、已知 当 的值域是 ,试求实数 的值.（最值法）,2xaf xf,10.第(问是一个恰成立问题
10、,这相当于 的解集是 .02xf ,1x当 时,由于 时, 0a1,与其值域是 矛盾,32axf 0当 时, 是 上的增函数,22xxf 1所以, 的最小值为 ,x1f令 ,即01f .30a例 7、已知两函数 f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x 3+5x2+4x，其中 k 为实数。（1）对任意 x -3，3，都有 f（x)g(x)成立，求 k 的取值范围；（2）存在 x -3，3，使 f（x)g(x)成立，求 k 的取值范围；（3）对任意 x1、 x2 -3，3，都有 f（x 1)g(x 2)，求 k 的取值范围。解析：（最值法） （1）设 h(x)=g(x)-f(x)=2x2-3
11、x2-12x+k，问题转化为 x -3，3时，h(x)0 恒成立，故 h (x)0.令 h (x)=6x 2-6x-12=0，得 x= -1 或 2。min由 h(-1)=7+k，h(2)=-20+k，h(-3)=k-45，h(3)=k-9，故 h (x)=-45+k，由 k-450，得 k45.min（2）据题意：存在 x -3，3，使 f（x)g(x)成立，即为：h(x)=g(x)-f(x)0 在 x -3，3有解，故 h (x)0，由（1）知 h （x）=k+7，于是得 k-7。axma（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意 x1， x2 -3，3，都有 f（x 1)g(x 2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x 1，x 2的取值在-3，3上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：，由 g(x)=6x 2+10x+4=0，得 x=- 或-1，易得3,)()(minaxxgf 32，又 f(x)=8(x+1)2-8-k， . 故 令 120-213ming ,3x.120)(maxkffk-21，得 k141。点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。
