1、高考专题复习：二项式定理高考要求 头htp:/w.xjkygcom/126t126.hp:/wxjkygco/ 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j正确理解二项式定理，能准确地写出二项式的展开式 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j会区分项的系数与项的二项式系数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j掌握二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 熟练掌
2、握二项式定理的基本问题通项公式及其应用 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j知识点归纳 头htp:/w.xjkygcom/126t126.hp:/wxjkygco/ 1二项式定理及其特例：（1） 01() ()nnrnnabCabCbN ，（2） rnnxx 奎 屯王 新 敞新 疆2二项展开式的通项公式： rnrrT1 )210(n， 奎 屯王 新 敞新 疆3常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对 r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 奎 屯王 新 敞新 疆 4 奎 屯王 新 敞新 疆二项式系数表（杨辉三角）()nab展开式的
3、二项式系数，当 n依次取 1,23时，二 项 式 系 数 表 ， 表 中 每 行两 端 都 是 1， 除 以 外 的 每 一 个 数 都 等 于 它 肩 上 两 个 数 的 和 奎 屯王 新 敞新 疆5二项式系数的性质：()n展开式的二项式系数是 0nC， 1， 2n， nC r可以看成以 r为自变量的函数 ()fr，定义域是 , ，例当 6时，其图象是 7个孤立的点（如图）（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（ mnC） 直线 2nr是图象的对称轴 奎 屯王 新 敞新 疆（2）增减性与最大值：当 是偶数时，中间一项 2nC取得最大值；当 n是奇数时，中间两项12nC，取得最大
4、值 奎 屯王 新 敞新 疆（3）各二项式系数和： 1(1)nrnnnxx ，令 ，则 022rnnCC 奎 屯王 新 敞新 疆题型讲解 头htp:/w.xjkygcom/126t126.hp:/wxjkygco/ 例 1 如果在（ + 4x） n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解：展开式中前三项的系数分别为 1， 2n， 8)1(，由题意得 2 n=1+ 8)(，得 n=8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j设第 r+1 项为有理项， T 1r=C rx 43r，则 r 是 4 的倍数，所以 r=0，4， 8
5、 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j有理项为 T1=x4，T 5= 3x，T 9= 256 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定 r 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 2 求式子（x+ |x2） 3 的展开式中的常数项 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解法一：（x+ |12） 3=（x+ |12） （x+ |2） （x+ |2）得到常数项的情况有：三个括号中全取2，得（2） 3；一个括号取x，一个括号取 |1x，一个括号取2，得 C 13C 2（2）=12，常数项为（2）
6、 3+（12）=20 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解法二：（|x|+ |1x2） 3=（ | |） 6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j设第 r+1 项为常数项，则 T 1=C 6（1） r（ |x） r|x| r6=（1） 6C r|x| r26，得 62r=0，r =3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jT 3+1=（1） 3C =20 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 3 求（1+x+x 2+x3） （1x） 7 的展开式中 x4 的系数；求（x+ 44） 4 的展开式中的常数项；求（1+x） 3+（1+ x） 4+（1
7、+ x） 50 的展开式中 x3 的系数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解：原式= 1（1x） 7=（1x 4） （1x） 6，展开式中 x4 的系数为（1）4C 61=14 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（x+ 4） 4= 42)(x= 48)2(x，展开式中的常数项为 C 8（1） 4=1120 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j方法一：原式= )(83x=35)()( 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j展开式中 x3 的系数为 C 451 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j方法二：原展开式中 x3 的系数为C
8、3+C 4+C 35+C 0=C 4+C +C 350=C 4+C 35+C 0=C 451 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 4 求921x展开式中 9x的系数解： rrrrrrrr xCxCCT 31892189921 2 令 :,3,8 399 的 系 数 为故则xr点评： rnrbaC是 n展开式中的第 1r项， n,20注意二项式系数与某项系数的区别 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j在本题中，第 4 项的二项式系数是 39C，第 4 项 9x的系
9、数为3921，二者并不相同 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 5 求 103x展开所得 的多项式中，系数为有理数的项数解： 3210103102rrrrrr xCCT 依题意： Z,2， 为 3 和 2 的倍数，即为 6 的倍数，又 r， N， 9,6r，构成首项为 0，公差为 6，末项为 96 的等差数列，由 )1(096n得 7，故系数为有理数的项共有 17 项 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j点评：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 6 求 523x展开式中 的系数解法一： 5512x 05
10、144014455552CxCCxC 故展开式中含的项为 x245故展开式中 的系数为 240 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解法二： 552 33xNrxxCTrrrr ,5032551要使 指数为 1，只有 才有可能，即 424684252 824 x故 x的系数为 0解法三： 523x22233xxxx由多项式的乘法法则，从以上 5 个括号中，一个括号内出现 ，其它四个括号出现常数项，则积为 的一次项，此时系数为 4041C点评：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综合应用 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 7 设 an=1+q+q2+q 1n（nN *，q1） ，A n=C 1a1+C 2na2+C nan 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（1）用 q 和 n 表示 An；（2） （理）当32 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j所以 2（1+ ） n3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j
