1、北 京 四 中编 审:石小燕 责 编:余 强 撰 稿: 姚一民 二项式定理 重点，难点解析 1熟练掌握二项式定理和通项公式，掌握杨辉三角的结构规律 二项式定理:, 叫二项式系数（0rn）.通项用 Tr+1 表示，为展开式的第 r+1 项，且 , 注意项的系数和二项式系数的区别. 2掌握二项式系数的两条性质和几个常用的组合恒等式. 对称性： 增减性和最大值: 先增后减.n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为 ；n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为 . ,3二项式从左到右使用为展开；从右到左使用为化简，从而可用来求和或证明.掌握“赋值法”这种利用恒等式解决问题的思想. 例题分析:
2、一、与通项有关的一些问题 例 1在 的展开式中，指出 1）第 4 项的二项式系数 2）第 4 项的系数 3）求常数项 解:展开式的通项 为展开式中的第 r+1 项. 1） ，二项式系数为 ； 2）由 1）知项的系数为 ； 3）令 6-3r=0, r=2, 常数项为 . 例 2若 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项. 分析:通项为 , 前三项的系数为 ，且成等差， 即 解得:n=8. 从而 ，要使 Tr+1 为有理项，则 r 能被 4 整除. 例 31）求 的常数项；2）求(x 2+3x+2)5 的展开式中 x 的系数. 解:1） 通项， 令 6-2r=0, r=3, 常数项
3、为 . 2）(x 2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5 展开式中含 x 项由(x+1) 5 中常数项乘(x+2) 5 的一次项与(x+1) 5的一次项乘(x+2) 5 的常数项相加得到.即为 ，因而其系数为 240. 例 4(a+b+c) 10 的展开式中，含 a5b3c2 的系数为_. 分析:根据多项式相乘的特点，从(a+b+c) 10 的十个因式中选出 5 个因式中的 a，三个因式中的 b，两个因式中的 c 得到，从而 a5b3c2 的系数为 . 小结:三项式的展开，或者转化为二项式展开，或者采用得到二项式定理的方法去解决. 例 5(1+x) 3+(1+x)4+(1+x)5+(1+x
4、)100 的展开式中 x3 的系数为_. 分析:（法一）展开式中 x3 项是由各二项展开式中含 x3 项合并而形成.因而系数为 （法二）不妨先化简多项式，由等比数列求和公式:原式=, 要求 x3 项只要求分子的 x4 项，因而它的系数为 . 二、有关二项式系数 的问题. 例 6(2x+x lgx)8 的展开式中，二项式系数最大的项为 1120，则 x=_. 分析:二项式系数最大的为第 5 项， 解得:x=1 或 . 例 7 的展开式中系数最大的项为第_项. 分析:展开式中项的系数不同于二项式系数，只能用数列的分析方法. 设第 r+1 项的系数最大， 则 解得: ， r=7, 因而第 8 项系数
5、最大. 三、赋值法: 例 8已知 1）求 a0, 2）求 a1+a2+a3+a4+a5 3）求(a 0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2 4）求 a1+a3+a5 5）|a 0|+|a1|+|a5| 分析:1）可以把(1-2x) 5 用二项式定理展开求解 .从另一个角度看，a 0 为 x=0 时右式的结果，因而令 x=0, (1-0) 5=a0, a 0=1. 2）令 x=1, 则(1-2) 5=a0+a1+a2+a3+a4+a5 又 a0=1, a 1+a2+a3+a4+a5=-2. 3）令 x=1，得 a0+a1+a2+a5=-1 (*) 令 x=-1, 得 35=a0-a1+a2-
6、a3+a4-a5 (*) 因而,(a 0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2 4）联立(*),(*)两方程，解得 a1+a3+a5=-122. 5） 因而 |a0|+|a1|+|a5|即为(1+2x) 5 的展开式的所有系数和， |a 0|+|a1|+|a5|=(1+2)5=35=243. 小结:求展开式的系数和只需令 x=1 可解； 赋值法也需合情合理的转化. 例 9已知 , 其中 b0+b1+b2+bn=62, 则 n=_. 分析:令 x=1，则 , 由已知， 2n+1-2=62, 2 n+1=64, n=5. 例 10求 的展开式中有理项系数的和. 分析:研究其通项 . 显然当 r=
7、2k(kZ) 时为有理项.因而它的有理项系数和即为(2+t) n 的奇数项的系数和. 设 (2+t)n=a0+a1t+a2t2+antn 令 t=1，即 3n=a0+a1+a2+an 令 t=-1，即 1=a0-a1+a2-+(-1)nan 上两式相加，解得奇数项系数和 . 四、逆用公式 例 11求值 S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1 解: 例 12求值: 分析:注意将此式还原成二项展开式的结构 原式= 五、应用问题 例 13求证:3 2n+2-8n-9 能被 64 整除. 证明: 能被 64 整除. 例 1491 92 除以 100 的余数为_. 分析:91 92=(90+1)92 91 92 被 100 除的余数为 81. 小结:若将 9192 整理成(100-9) 92 随之而来又引出一新问题，即 992 被 100 除的余数是多少，所以运算量较大. 例 15求 0.9983 的近似值（精确到 0.001) 解:
