1、【课题研究】 4、2、3 直线与圆的方程的应用【讲师】 孟老师一、 【学习目标】1、坐标法求直线和圆的应用性问题；2、面积最小圆、中点弦问题的解决方法.二、 【自学内容和要求及自学过程】直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，本节通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用.1、自学例 4、例 5，体会其中的解题方法和技巧（坐标法解题）教材上例 4、例 5 都是用坐标法解决几何问题的，你能否总结 一下坐标法（代数法）解决几何问题的步骤吗？解决直线与圆的问题时，一般采用坐标法（代数法） 、几何法来解决问题，多数是采用圆心到直线的距离与半径的关系来解 决，我们教材上
2、例 4、例 5 采用了代数法，你能用几何法来完 成例 4 吗？试着作一下！比较几何法和坐标法，你认为那种方法比较简便实用？结论：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论；过点 作 .由已知， ，在 中，2POH.10|,4|OAPAOCRT有 ,设拱圆所在的半径为 ，则有22|ACr.10)4(r解得 . 中，有 .根据图形我5RT2222| HPC们可以知道 =2，|2又 ，于5.0645.| r 5.104.|是有我们可以很容易得到下列结论，结论如下：，所以
3、支柱86.31.| COH的长度约为 3.86cm.我们把两种方法比较，会发现坐标法同通俗2PA易懂，而几何法比较难想，繁琐，因此解题时要有所选择.练习：完成教材练习 1、2、3、4 题.2、面积最小圆问题、中点弦轨迹问题例 1、求通过直线 与圆 的交点，0yx 01422yx且面积最小的圆的方程.结论：解法一：利用过两曲线交点的曲线系.我们可以设圆的方程为.配方得到标准式方程如下所示0)32(1422 yxyx，可以得到13)2/()/()1( 2，当 时，此时半519/5/5r 5/径 ，所求圆的方程为 .解法二：9 9y利用平面几何知识.以直线与圆的交点 连线为直径的),(),2xBA（
4、圆符合条件.把两个方程式联立，消去 ，得 .因为判别062式大于零，我们可以根据根与系数的关系也即韦达定理得到线段 的中A点的横坐标为 ， ，5/32/)(10x 5/930y又半径 （弦长公式） ，所以所求的圆的19.|5.r方程是: .解法三：我们可以求出两点的坐)/3(2yx标，根据两点间距离公式和中点坐标公式求出半径和圆心，求出圆的方程.例 2、已知圆 O 的方程为 ，求过点 所作的弦的中2x)2,1(A点的轨迹.结论：解法一：参数法（常规方法）设过 A 所在的直线方程为 y-2=k(x-1)(k 存在时） ，P（x,y)，则 ，消去)(,92kxyy，得到如下方程 所以我们可以.05
5、4)()12kxxk得到下面结果 ，利用中点坐标公式及中点在1/直线上，得： (k 为参数）.消)1/(,( 2去 k 得 P 点的轨迹方程为 ，当 k 不存在时，中点2yP（1，0）的坐标也适合方程.所以 P 点的轨迹是以点（1/2,1)为圆心，为半径的圆.解法二：代点法（涉及中点问题可考虑此法）我们可2/5以设过点 A 的弦为 MN，则可以设两点的坐标为 .因),(),(21yxNM为 M、N 都在圆上，所以我们可以得到 ，然后9212yx我们把两式向减可以得到：设 P（x,y)则).(0).(/()()( 221212121xyx .所以由这个结论和 M、 N、P、A 四点共/,/线，可以得到 .所以 2x+(y-2)1/xy/(x-1) 2y=0，所以 P 点的轨迹方程为 （ x=1 时也成立） ， 022yx所以 P 点的轨迹是以点（1/2,1)为圆心， 为半径的圆.解法三：数/5形结合（利用平面几何知识） ，由垂径定理可知 ,故点 P 的轨迹AO是以 AO 为直径的圆.三、 【作业】1、必做题：习题 4.2B 组的 2、3、4 题；2、选做题：习题 4.2B 组第 5 题.
