1、第四章 圆与方程4 1 圆的方程4 1.1 圆的标准方程1以(3，1)为圆心，4 为半径的圆的方程为( )A(x 3)2(y1) 24B(x3) 2( y1) 24C(x3) 2( y1) 216D(x 3)2(y1) 2162一圆的标准方程为 x2( y1) 28，则此圆的圆心与半径分别为( )A(1,0)，4 B( 1,0)，2 2C(0,1) ，4 D(0 ，1)，2 23圆(x 2) 2(y 2) 2m 2 的圆心为 _，半径为_4若点 P(3,4)在圆 x2y 2a 2 上，则 a 的值是_5以点(2,1)为圆心且与直线 xy 1 相切的圆的方程是_6圆心在 y 轴上，半径为 1，且
2、过点(1,2)的圆的方程为( )Ax 2(y2) 21Bx 2 (y2) 21C(x1) 2( y3) 21Dx 2(y3) 217一个圆经过点 A(5,0)与 B(2,1) ，圆心在直线 x3y 100 上，求此圆的方程8点 P(5a1,12 a)在圆(x1) 2y 21 的内部，则 a 的取值范围是( )A|a| 1 Ba 113C|a| 15D|a| 1139圆(x 1) 2y 225 上的点到点 A(5,5)的最大距离是_10设直线 axy 30 与圆(x1) 2(y2) 24 相交于 A，B 两点，且弦 AB 的长为 2 ，求 a 的值34.1.2 圆的一般方程1圆 x2y 26x
3、0 的圆心坐标是 _2若方程 x2y 2DxEyF0 表示以(2 ，4)为圆心，以 4 为半径的圆，则F_.3若方程 x2y 24x 2y5k0 表示圆，则 k 的取值范围是 ( )Ak1 Bk0)相切，则 m 的值为 ( )A. B. C. D212 22 24(2013 年陕西)已知点 M(a，b)在圆 O：x 2y 21 外，则直线 axby1 与圆 O 的位置关系是( )A相切 B相交C相离 D不确定5经过点 M(2,1)作圆 x2y 25 的切线，则切线方程为( )A. x y5 B. xy 502 2C2x y5 D2x y506(2013 年浙江)直线 y2x 3 被圆 x2y
4、26x8y 0 所截得的弦长等于 _7已知直线 kxy60 被圆 x2y 225 所截得的弦长为 8，求 k 的值8由直线 yx 1 上的一点向圆(x3) 2y 21 引切线，则切线长的最小值为( )A1 B2 C. D 32 79已知圆 C：(x2) 2(y 3) 24，直线 l：( m2)x(2m1) y7m8.(1)证明：无论 m 为何值，直线 l 与圆 C 恒相交；(2)当直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时，求 m 的值10已知圆 C：x 2y 28y120，直线 laxy2a0.(1)当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切；(2)当直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，且
5、AB2 时，求直线 l 的方程24.2.2 圆与圆的位置关系1已知两圆的方程 x2y 24 和 x2y 26x8y160，则此两圆的位置关系是 ( )A外离 B外切 C相交 D内切2圆 x2y 22x 10 和圆 x2y 2y10 的公共弦所在直线方程为 ( )Ax2y0 Bx 2y0C2x y0 D2x y03已知直线 xa( a0)和圆( x1) 2y 29 相切，那么 a 的值是( )A2 B3 C4 D54两圆 x2y 24x 2y10 与 x2y 24x 4y10 的公切线有( )A1 条 B2 条 C3 条 D4 条5已知两圆相交于两点 A(1,3)，B(m，1)，两圆圆心都在直线
6、 2xy c0 上，则mc 的值是( )A1 B2 C3 D06圆 x2y 22x 50 与圆 x2y 22x4y 40 的交点为 AB，则线段 AB 的垂直平分线方程为( )Axy10 B2x y10Cx 2y10 Dxy107若圆 x2y 24 与圆 x2y 22ay60(a0)的公共弦长为 2 ，求实数 a 的值38两圆(x3) 2(y 4) 225 和(x1) 2(y2) 2r 2 相切，则半径 r_.9已知两圆 C1：x 2y 210x10y0 与 C2：x 2y 26x2y400，求：(1)它们的公共弦所在直线的方程；(2)公共弦长10已知圆 x2y 24ax 2ay20(a1)
7、0.(1)求证：对任意实数 a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆 x2y 24 相切，求 a 的值4.2.3 直线与圆的方程的应用1方程 x2y 22ax 2ay0(a0) 表示的圆( )A关于 x 轴对称B关于 y 轴对称C关于直线 xy0 对称D关于直线 xy0 对称2若直线 xy m0 与圆 x2y 2m 相切，则 m 为( )A0 或 2 B2C. D无解23过原点的直线与圆(x2) 2y 21 相切，若切点在第三象限，则该直线方程为( )Ay x 3By x3Cy x 33Dy x334若直线 axby 1 与圆 x2y 21 相离，则点 P(a，b)与圆的位置关系是( )A在圆上
8、B在圆外C在圆内 D都有可能5圆 x2y 24x 4y10 上的动点 P 到直线 xy 0 的最小距离为( )A1 B0C2 D 2 3 2 26过点 P(2,1)作圆 C：x 2y 2ax2ay2a10 的切线只有一条，则 a 的取值是( )Aa3 Ba3 Ca2 Da27与圆 x2y 24x 6y120 相切且在两坐标轴上的截距相等的直线有( )A4 条 B3 条 C2 条 D1 条8设圆 x2y 24x 50 的弦 AB 的中点 P(3，1) ，则直线 AB 的方程为_9若实数 x，y 满足等式(x 2)2y 23，那么 的最大值为( )yxA. B. C. D.12 33 32 310
9、已知圆 C：x 2y 24x14y450 及点 Q(2，3)(1)若点 P(a，a1)在圆上，求线段 PQ 的长及直线 PQ 的斜率；(2)若 M 为圆 C 上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；(3)若实数 m， n 满足 m2n 24m14n450，求 k 的最大值和最小值n 3m 24.3 空间直角坐标系4 3.1 空间直角坐标系1点 P(1,0,1)位于( )Ay 轴上 Bz 轴上CxOz 平面内 DyOz 平面内2在空间直角坐标系中，点(2,1,4) 关于 x 轴的对称点的坐标是( )A(2,1，4) B(2，1，4)C(2，1,4) D(2,1，4)3点 P(4,1,3)在平面 y
10、Oz 上的投影坐标是( )A(4,1,0) B(0,1,3)C(0,3,0) D都不对4在空间直角坐标系中，点 P(1， ， )，过点 P 作平面 yOz 的垂线 PQ 垂足为 Q，2 3则 Q 的坐标为( )A(0， ，0) 2B(0， ， )2 3C(1,0， ) 3D(1， ，0)25点(2，3,0)在空间直角坐标系中的位置是在( )Ay 轴上 BxOy 平面上CxOz 平面上 D第一象限内6设 x，y 为任意实数，相应的点 P(x，y, 3)的集合是( )Az 轴上的两个点 B过 z 轴上的点 (0,0,3)，且与 z 轴垂直的直线C过 z 轴上的点 (0,0,3)，且与 z 轴垂直的
11、平面D以上答案都有可能7点 A(1， 3,2)关于点(2,2,3)的对称点的坐标为( )A(3，1,5) B(3,7,4)C(0，8,1) D(7,3,1)8已知点 A(3，y,4)，B( x,4,2)，线段 AB 的中点是 C(5,6，z)，则x_，y_，z _.9点 P(2,3,5)到平面 xOy 的距离为_10如图 K431，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，且边长为 2a，棱PD底面 ABCD，|PD|2b，取各侧棱的中点 E，F，G ， H，试建立适当的空间直角坐标系，写出点 E，F，G，H 的坐标图 K4314 3.2 空间两点间的距离公式1在空间直角坐标系中，
12、点 A(2,1,5)与点 B(2,1，1) 之间的距离为( )A. B6 6C. D232坐标原点到下列各点的距离最大的是( )A(1,1,1) B (2,2,2)C(2，3,5) D(3,3,4)3已知 A(1,1,1)，B(3，3，3) ，点 P 在 x 轴上，且|PA| PB|，则点 P 的坐标为( )A(3,0,0) B(3,0,1)C(0,0，3) D(0，3,0) 4设点 B 是 A(3,2,5)关于 xOy 平面的对称点，则|AB| ( )A10 B. 10C2 D 40105已知空间坐标系中，A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB 的中点为 M，线段 CM
13、的长|CM|( )A. B. 534 532C. D.532 1326方程(x12) 2(y 3) 2(z 5) 236 的几何意义是_7已知点 A 在 y 轴上，点 B(0,1,2)，且| AB| ，求点 A 的坐标58以 A(1,2,1)，B(1,5,1) ，C(1,2,7)为顶点的三角形是_三角形9已知点 A(x,5x,2x 1)，B(1，x2,2x)，当|AB| 取最小值时，x 的值为_10在空间直角坐标系中，已知 A(3,0,1)和 B(1，0，3)，问：(1)在 y 轴上是否存在点 M，满足|MA| MB|；(2)在 y 轴上是否存在点 M，使MAB 为等边三角形？若存在，试求出点
14、 M 的坐标第四章 圆与方程41 圆的方程41.1 圆的标准方程1C 2.D3(2,2) |m| 4.5 5.(x 2)2( y1) 226A 解析：方法一(直接法)：设圆心坐标为(0 ，b)，则由题意知1，解得 b2，故圆的方程为 x2( y2) 21.0 12 b 22方法二(数形结合法)：作图由点到圆心的距离为 1，易知圆心为 (0,2)，故圆的方程为x2( y 2)21.7解：方法一：设圆心 P(a，b) ，则Error!解得Error!圆的半径 r 5.a 52 b2 1 52 32圆的标准方程为(x1) 2(y3) 225.方法二：线段 AB 的中点 P ，(5 22 ，0 12
15、)即 P .直线 AB 的斜率 k .(32，12) 1 0 2 5 17弦 AB 的垂直平分线的方程为 y 7 ，12 (x 32)即 7xy100.解方程组Error!得Error! 即圆心 P(1，3)圆的半径 r 5.1 52 32圆的标准方程为(x1) 2(y3) 225.8D9. 54110解：弦 AB 的长为 2 ，则由垂径定理，圆心(1,2) 到直线的距离等于 1，31， a0.|a 2 3|a2 141.2 圆的一般方程1(3,0) 2.43B 4.A52 136A7解：(1) 2y 2 ，圆心 ，半径 r .(x 12) 14 (12，0) 12(2)(xa) 2y 2a
16、2，圆心(a,0)，半径 r|a|.(3)x2(ya) 21a 2，圆心(0，a)，半径 r .1 a28C 解析：圆的标准方程是： (x1) 2( y2) 213 2，圆心(1,2) ，半径 r13.过点A(11,2)的最短的弦长为 10，最长的弦长为 26(分别只有一条 )，还有长度为 11,12，25的各 2 条，所以共有长为整数的弦 221532(条) 9解：设点 P 的坐标为(x，y)，A 的坐标为( x0，y 0)点 A 在直线 2x3y 50 上，有 2x03y 050.又P 为 MA 的中点， 有Error!Error!代入直线的方程，得 2(2x4) 3(2y3)50，化简，
17、得 2x3y 60 即为所求10解：(1)由圆的一般方程，得2(t3) 24(14t 2)24(16t 49)0，解得 1，圆心到直线a2 b2axby1 的距离为 d 1，即 a2b 21，1a2 b2P 在圆内5C 6.A7A 解析：过原点的直线也满足条件8xy409D 解析：方法一：实数 x，y 满足(x2) 2y 23，记 P(x，y)是圆(x 2) 2y 2 3 上的点，是直线 OP 的斜率，记为 k.直线 OP：ykx，代入圆的方程，消去 y，得(1k 2)yxx24x10.直线 OP 与圆有公共点的充要条件是 ( 4)24(1k 2)0， k .3 3方法二：同方法一，直线 OP
18、 与圆有公共点的条件是 ， k .|k2 0|k2 1 3 3 310解：(1)点 P(a，a1)在圆上，a 2(a1) 24a14( a1) 450.解得 a4，P(4,5)|PQ | 2 ，4 22 5 32 10kPQ .3 5 2 4 13(2)圆心坐标 C 为(2,7)，半径为 2 ，2|QC| 4 .2 22 7 32 2|MQ| max4 2 6 ，2 2 2|MQ|min4 2 2 .2 2 2(3)设点(2,3)的直线 l 的方程为 y3k(x2) ，即 kxy2k30，方程 m2n 24m14n450，即(m2) 2(n 7)28 表示圆易知直线 l 与圆方程相切时， k
19、有最值， 2 .k 2 .|2k 7 2k 3|1 k2 2 3k 的最大值为 2 ，最小值为 2 .n 3m 2 3 343 空间直角坐标系43.1 空间直角坐标系1C 解析：点 P 的 y 轴坐标为 0，则点 P 在平面 xOz 上2B 解析：点 P(a，b，c )关于 x 轴的对称点为 P(a，b，c)3B 4.B 5.B 6.C 7.B87 8 3 9.510解：由图知，DADC， DCDP，DPDA ，故以 D 为原点，DA，DC，DP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系E，F，G，H 分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面 EFGH底面 ABCD，从而这 4 个点的
20、竖坐标都为 P 的竖坐标的一半，也就是 b.由 H 为 DP 的中点，得 H(0,0，b)E 在底面 ABCD 上的投影为 AD 的中点，E(a,0，b)同理 G(0，a，b)F 在坐标平面 xOz 和 yOz 上的投影分别为点 E 和 G，故 F 与 E 的横坐标相同，都是 a，点 F 与 G 的纵坐标也同为 a，又 F 的竖坐标为 b，故 F(a，a，b) 43.2 空间两点间的距离公式1B 2.C 3.A 4.A 5.C6以点(12，3,5)为球心，半径长为 6 的球7解：由题意设 A(0，y,0)，则 ，得 y0 或 y2，y 12 4 5故点 A 的坐标为(0,0,0)或(0,2,0
21、)8直角 解析：因为|AB| 29，|BC| 293645，|AC| 236，所以|BC|2| AB|2| AC|2，所以ABC 为直角三角形9. 解析：|AB|87 x 12 5 x x 22 2x 1 2 x2 ，14(x 87)2 57故当 x 时，|AB |取得最小值8710解：(1)假设在 y 轴上存在点 M，满足|MA| MB|.设 M(0，y,0)，由|MA |MB |，可得 .32 y2 12 12 y2 32显然，此式对任意 yR 恒成立y 轴上所有点都满足关系|MA|MB |.(2)假设在 y 轴上存在点 M，使MAB 为等边三角形由(1)可知，y 轴上任一点都有|MA |MB| ，只要满足|MA| AB|，就可以使得MAB 是等边三角形|MA | ，10 y2|AB| ，1 32 0 02 3 12 20 ，解得 y .10 y2 20 10故 y 轴上存在点 M，使MAB 为等边三角形，点 M 的坐标为(0， ，0) 或10(0， ，0)10
