1、1人教版必修二圆与方程专题讲义一、标准方程 22xaybr1.求标准方程的方法关键是求出圆心 和半径,ar2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）二、一般方程 22040xyDEF1. 表示圆方程，则2AxByC2200440ABABCDEFDEF2.求圆的一般方程方法待定系数：往往已知圆上三点坐标利用平面几何性质条件 方程形式圆心在原点 220xyr过原点 220abab圆心在 轴上 x 2xyr圆心在 轴上 y 20圆心在 轴上且过原点 x 2xaya圆心在 轴上且过原点 y 2b与 轴相切 x 20xyb与 轴相切 y 2aa与两坐标轴都相切 2xy2涉及点与圆的位置关系：圆
2、上两点的中垂线一定过圆心涉及直线与圆的位置关系：相切时，利用到圆心与切点的连线垂直直线；相交时，利用到点到直线的距离公式及垂径定理3. 常可用来求有关参数的范围240DEF三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离 与半径 的大小关系dr点在圆内； 点在圆上； 点在圆外drdr2.涉及最值：（1）圆外一点 ，圆上一动点 ，讨论 的最值BPBminNCraxMB（2）圆内一点 ，圆上一动点 ，讨论 的最值APAminNrACaxPAM思考：过此 点作最短的弦？（此弦垂直 ）AC3.以 两点为直径的圆方程为12(,)(,)xyB1212()()0xy四、直线与圆的位置关系1.判断方法（ 为圆
3、心到直线的距离）d（1）相离 没有公共点0dr（2）相切 只有一个公共点 （3）相交 有两个公共点2.直线与圆相切（1）知识要点基本图形3主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线 与圆 相切意味圆心 到直线 的距离恰好等于半径lClr（2）常见题型求过定点的切线方程切线条数点在圆外两条；点在圆上一条；点在圆内无求切线方程的方法及注意点i）点在圆外如定点 ，圆： ， 0,Pxy22xaybr2200xaybr第一步：设切线 方程l00k第二步：通过 ，从而得到切线方程dr特别注意：以上解题步骤仅对 存在有效，当 不存在时，应补上千万不要漏了.k如：过点 作圆 的切线，求切线方程.1,P2
4、46120xy答案： 和340xyii）点在圆上若点 在圆 上，则切线方程为0， 22aybr200xaybr注：碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.求切线长：利用基本图形， 2 22APCrAPCr求切点坐标：利用两个关系列出两个方程 1ACPk3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题：垂径定理及勾股定理（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.（3）关于点的个数问题例：若圆 上有且仅有两个点到直线 的距离为 1，则2235xyr4320xy半径 的取值范围是_. 答案：r ,64.直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及
5、一些参数时）4五、对称问题1.若圆 ，关于直线 ，则实数 的值为_.2210xymxy10xym答案：3（注意： 时， ，故舍去）24DEF变式：已知点 是圆 : 上任意一点， 点关于直线AC5xyaA的对称点在圆 上，则实数 _.210xy2.圆 关于直线 对称的曲线方程是_.2310xy变式：已知圆 ： 与圆 ： 关于直线 对称，1C241x2C2241xyl则直线 的方程为_.l3.圆 关于点 对称的曲线方程是_.223xy,34.已知直线 ： 与圆 ： ，问：是否存在实数 使自 发出的光lxb21xyb3,A线被直线 反射后与圆 相切于点 ？若存在，求出 的值；若不存在，试说明lC47
6、,5B理由.六、最值问题方法主要有：（1）数形结合；（2）代换例：已知实数 ， 满足方程 ，求：xy2410xy（1） 的最大值和最小值；看作斜率5（2） 的最小值；截距（线性规划）yx（3） 的最大值和最小值.两点间的距离的平方2七、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（ 为圆心距）d（1） 外离 （2） 外切12dr12dr（3） 相交 （4） 内切12r（5） 内含12r2.两圆公共弦所在直线方程5圆 ： ，圆 ： ，1C2110xyDEyF2C220xyDxEyF则 为两相交圆公共弦方程.22注：若 与 相切，则表示其中一条公切线方程；1若 与 相离，则表示连心线的中垂线方程.C23圆
7、系问题（1）过两圆 ： 和 ： 交点12110xyDEyF2C220xyDxEyF的圆系方程为 （ ）21注：1）上述圆系不包括 ；2C2）当 时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）1（2）过直线 与圆 交点的圆系方程为0AxBy20xyDEF0xyDEFC（3）有关圆系的简单应用（4）两圆公切线的条数问题相内切时，有一条公切线；相外切时，有三条公切线；相交时，有两条公切线； 相离时，有四条公切线八、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式轨迹方程.例：过圆 外一点 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.21xy2,0A分析： 2OP（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动动点 主动点特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.6例：如图，已知定点 ，点 是圆 上的动点， 的平分线交 于2,0AQ21xyAOQA，当 点在圆上移动时，求动点 的轨迹方程.MQM分析：角平分线定理和定比分点公式.
