1、概率论与数理统计,主讲：柯大观电话：86689930（办） 手机：13806884706 短号：674706 Email: 办公地点：温州医学院茶山校区4A417 公共邮箱：，公共邮箱密码：09shenggong,随机变量的分布函数,设X为一随机变量,则对任意实数x，(Xx)是一个随机事件，称,为随机变量X的分布函数,F(x)是一个普通的函数！,Distribution Function,分布函数的定义,分布函数的性质,F(x)是单调不减函数,0 F(x) 1, 且,F(x)处处右连续,蒲丰投针问题 Buffon Needle problem,1777年的一天，法国数学家蒲丰（Comte d
2、e Buffon，1707-1788）把一些朋友请到家里。他事先在一张大白纸上画好了一条条等距离的平行线，又拿出许多质量均匀、长度恰好是平行线间距的一半的小针，请朋友们把针一枚一枚随意投到白纸上。蒲丰则在一旁观察每一枚投出的针是否与平行线相交。计数结果是：共投了2212枚，其中704枚与平行线相交。于是，蒲丰计算了这两数之商：2212/7043.142， 然后宣布，这就是圆周率的近似值！,连续型随机变量及其概率密度定义 对于随机变量 ，若存在一个非负可积函数 ， 使对任意的 ，都有（1） 成立，则称 X 为连续型随机变量，称 为的概率密度函数，简称密度函数或概率密 度（ Probability
3、 density function p.d.f. ）,密度函数在区间上的积分 = 随机变量在区间上取值的概率,概率密度函数的性质,非负性,规范性,密度函数和分布函数的关系,积分关系,导数关系,连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续,P(X=a)=0,P(a X b)= P(aXb)=P(a X b)=P(aXb),X取值在某区间的概率等于密度函数在此区间上的定积分,连续型随机变量的分布函数的性质,因此，连续型随机变量取任意指定实数值a的概率为0,解 Step1: 利用密度函数的性质求出 a,例：已知密度函数求概率,Step2: 密度函数在区间的积分得到此区间的概率,例：已知分布函数求密度函
4、数,（2)X 的密度函数,（2）密度函数为,解,解,当 x 1 时,当1 x 5 时,例：已知密度函数求分布函数,已知连续型随机变量X的概率密度为,求 X 的分布函数,当 x5 时,所以,练一练,已知连续型随机变量X的概率密度为,（2） 求 X 的分布函数,练一练,（2)求X 的密度函数,均匀分布,若连续型随机变量X的概率密度为,则称X在区间 （a，b）上服从均匀分布记为 X U (a, b),Uniform Distribution,定义,分布函数,X“等可能”地取区间（a,b）中的值，这里的“等可能”理解为：X落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说它落在子区间内的
5、概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。,意义,102电车每5分钟发一班，在任一时刻 某一乘客到了车站。求乘客候车时间不超过2分钟的概率。,设随机变量X为候车时间，则X服从（0，5）上的均匀分布,解,例,XU（0，5）,几何概型（一维）,思考,设在-1，5上服从均匀分布，求方程,有实根的概率。,解 方程有实数根,即,而 的密度函数为,所求概率为,指数分布,若连续型随机变量X的概率密度为,Exponential Distribution,定义,分布函数,则称X服从参数为 的指数分布.,例,设X服从参数为3的指数分布，求它的密度函数,及,和,解,X的概率密度,例如 E：抽样调查15-18岁青
6、少年的身高 X与体重 Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。,前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。,不过此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质， 更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此， 我们将二者作为一个整体来进行研究，记为(X, Y),称为二维随机变（向）量。,设X、Y 为定义在同一样本空间上的随机变量，则称向量（ X，Y ）为上的一个二维随机变量。,定义,二维随机变量,二维随机变量(X, Y)的取值可看作平面上的点,二维随机变量的联合分布函数,若（X，Y）是随机变
7、量， 对于任意的实数x,y.,定义,称为二维随机变量的联合分布函数,性质,(3),P（x1 X x2，y1 Y y2）= F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1),联合分布函数表示矩形域概率,P（x1 X x2，y1 Y y2）,F(x2,y2),-F(x2,y1),-F(x1,y2),+F(x1,y1),二维离散型随机变量,若二维 随机变量 （X，Y）的所有可能取值只有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量。,如何反映（X，Y）的取值规律呢？,定义,研究问题,联想一维离散型随机变量的分布律。,（X，Y）的联合概率分布（分布律）,表达式形式,表格
8、形式（常见形式）,性质,的可能取值为(1， 2)， (2， 1)， (2， 2).,，(1/3) (2/2)1/3， ，(2/3) (1/2)1/3， ，= (2/3) (1/2)1/3，,例,解,若存在非负函数 f（x，y），使对任意实数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数可表示成如下形式,则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.,二维连续型随机变量的联合概率密度,定义,联合概率密度函数的性质,非负性,几何解释,.,.,随机事件的概率=曲顶柱体的体积,设二维随机变量,的概率密度为,(1) 确定常数 k；,.,(4) 求,例,(1),所以,解,(2),当 时，,当 时，,所以，,(3),或解,(4),解,续解 .,x+y=3,1,解答,蒲丰投针问题求解,平面上画有距离为a的一些平行线，向平面上任意投一根长为l(la)的针，试求针与平行线相交的概率P解 如图一所示，以M表示针落下后的中点，以x表示M到最近一条平行线的距离，以表示针与此线的交角,蒲丰投针问题求解（续）,由分析知针与平行线相交的充要条件是其中若 d = 2l，则 p=1/p 。 而p可由大量试验的频率估算。,作业,P70 习题二 8，9，13，14，15,C U next time！,
