1、第一章 随机事件及其概率,1.3 古典概型,1.4 条件概率,1.5 事件的独立性, 1.1 随机事件,1.2 随机事件的概率,1.2 随机事件的概率,一、频率及其性质,定义,次数为,频率.,易见,频率具有下述基本性质:,1.,2.,3.,则,一个随机事件是否发生,虽然事先不能确定,若在相同条件下进行次 实验，,其中 发生的,频率及其性质,一个随机事件是否发生,虽然事先不能确定,频率及其性质,一个随机事件是否发生,虽然事先不能确定,但是我们常常希望知道该事件在一次实验中发生,的可能性有多大?,例如,在投掷硬币的实验中,大量重复的实验表明:,出现正面和反面的频率接近,一个稳定值0.5.,可见频率
2、的稳定值与事件发生的可,能性大小之间存在内在的联系.,它还表明事件发生,的可能性大小是可用数值来度量的.,完,是一个无限不循,环小数,我国数学家祖冲之,数点后七位,这个纪录保持了1000多年!,以后有,人不断把它算得更精确.,1873年,英国学者沈克,士,它的数目在小数点后,共有707位之多!,但几十年后,曼彻斯特的费林生,对它产生了怀疑.,了下表:,得到,第一次把它计算到小,一,但几十年后,曼彻斯特的费林生,对它产生了怀疑.,了下表:,得到,但几十年后,曼彻斯特的费林生,对它产生了怀疑.,得到了下表:,说出他怀疑的理由?,所以,理论上每,个数码出现的次数,或它们出现的频,率,但 7 出现的频
3、率过小.,应近似相等,应都接近于0.1,完,检查某工厂一批产品的质量,从中分别抽取,10件、,100件、,20件、,200件、,150件、,50件、,300,件检查,检查结果及次品出现的频率列如下表.,10,20,50,100,150,200,300,0,1,3,5,7,11,16,0,0.050,0.060,0.050,0.047,0.055,0.053,由上表可以看出,次品数,但次品频率,仅在,0.05 附近有微小变化.,这里 0.05 就是次品频率的,稳定值.,完,概率的统计定义,在前述抛掷均匀硬币的实验记录( )中,我,们已经看到：,随着实验次数的增加，,硬币出现正面,的频率逐步趋于一
4、个稳定值0.5.,另一方面，,由于硬,币是均匀的，,我们完全有理由认为，,在一次试验中，,硬币出现正面和反面的可能性大小相同，,即1/2.,这,表明频率的稳定值与事件发生的可能性大小(概率),之间有着内在的联系.,大量例证表明：,在进行大量重复实验时，,随机事件A,而且偏,概率的统计定义,而且偏,概率的统计定义,而且偏,差随着实验次数的增大越来越小.,频率的这种性质,在概率轮中称为频率的稳定性.,频率稳定性的事实,说明了刻画随机事件发生可呢功能性大小的数,概率的客观存在性.,定义,在相同条件下进行n次重复实验,若事件A,发生的频率,随着实验次数n的增大而,稳定地在某个常数P附近摇动,则称P为事
5、件A的概,概率的统计定义,稳定地在某个常数P附近摇动,则称P为事件A的概,概率的统计定义,稳定地在某个常数P附近摇动,则称P为事件A的概,率,记为P(A).,注：,概率的稳定值是概率的外在表现，,本质.,重复实验时，,往往是用实验次数足够大的频率来估计概率大小,随着实验次数的增加估计的精度会越来越高.,概率被视为频率的稳定值,并非概率的,据此确定某事件概率是困难的，,但当进行大量,频率会接近稳定值.因此,在实际应用时,且,从而应具有与频率相应的,概率的统计定义,概率被视为频率的稳定值,从而应具有与频率相应的,概率的统计定义,概率被视为频率的稳定值,从而应具有与频率相应的,性质:,1.,2.,3
6、.,则,完,从某鱼池中取 100 条鱼,做上记号后再放入,该鱼池中.,先从该池中任意捉来 40 条鱼,发现其,中两条有记号,问池内大约有多少条鱼?,解,则从池中捉到一条有记号鱼,的概率为,它近似于捉到有记号鱼的频率,即,故池内大约有2000条鱼.,完,二、概率的公理化定义,概率的频率解释为概率提供了经验基础,但是不,能作为一个严格的数学定义,从概率论有关问题的研,究算起,经过近三个世纪的漫长探索历程,人们才真正,完整地解决了概率的严格数学定义,1933年,苏联著名,数学家柯尔莫哥洛夫,在他的概率论的基本概念,一书给出了现在已被广泛接受的概率的公理化体系,第一次将概率论建立在严密的逻辑基础上.,
7、定义:,设E是随机试验,S是它的样本空间,对于,概率的公理化定义,定义:,设E是随机试验,S是它的样本空间,对于,概率的公理化定义,定义:,设E是随机试验,S是它的样本空间,对于,E的每一件事件A赋予一个实数,记为P(A),若P(A)满,足下列三个条件:,1.,非负性:,对每一个事件A,有,2.,完备性:,3.,可列可加性:,对任意可数个两两互不相容的,则称 P(A)为事件A的概率.,完,概率的性质,性质1,性质2,容的事件，,则有,性质3,性质4,特别地，,若,则,(1),(2),概率的性质,(2),概率的性质,(2),性质5,对任一事件A，,性质6,注：,性质6可推广到任意有限个事件的并的
8、情形.,例如,完,性质1,证明,令,则,由概率的可列可加性得,由概率的非负性知,故由上式可得,注：,不可能事件的概率为0,但反之不然.,完,性质2,(有限可加性)设,是两两互不相,容的事件,则有,证明,令,既有,由概率的可列可加性得,证毕.,完,性质3,证明,因,且,由性质2,得,证毕.,完,性质4,特别地,若,则,(1),(2),证明,因,且,再由概率的有限可加性,即得,所以,则有,则有,则有,又由概率的非负性知,则有,证毕,完,性质5,对任一事件A,证明,因,由性质4,得,证毕.,完,性质6,对任意两个事件A,B,有,证明,因,且,故得,证毕,一般地,对任意n个事件,有,完,已知,求,(1
9、),(2),(3),(4),解,(1),因为,相容的,故有,于是,(2),已知,求,(3),(4),解,已知,求,(3),(4),解,(3),(4),完,已知,求下列各事件的概率:,解,故,且,解,故,且,解,故,且,于是,则,(1),解,于是,则,(1),解,于是,则,(1),(2),(3),完,某城市中发行 2 种报纸,经调查,在这,2 种报纸的订户中,订阅,求只订一种报纸的概率,解,记事件,则,只订一种报,又这两件事是互不相容的,由概率加法公式及性,质 4,有,解,记事件,则,只订一种报,又这两件事是互不相容的,由概率加法公式及性,质 4,有,解,记事件,则,只订一种报,又这两件事是互不
10、相容的,由概率加法公式及性,质 4,有,完,课堂练习,1.,设,求事件,的逆事件的概率.,2.,设,求,3.,相等，,且,求,完,练习解答,1.,设,求事件,的逆事件的概率.,解,由,得,故,完,练习解答,完,2.,设,求,解,因为,所以,练习解答,3.,相等，,且,求,解,因为,所以,完,内容小结,1.,.,2.,一个随机事件是否发生,虽然事先不能确定,但其发生的可能性的大小,事,件发生的频率,事件发,生的可能性大小,我们,把随机事件,值),是可用数值来度量的.,是客观存在的,以及它的稳定性表明:,内容小结,2.,一个随机事件是否发生,虽然事先不能确定,但其发生的可能性的大小,事,件发生的频
11、率,事件发,生的可能性大小,我们,把随机事件,值),是可用数值来度量的.,是客观存在的,以及它的稳定性表明:,内容小结,2.,一个随机事件是否发生,虽然事先不能确定,但其发生的可能性的大小,事,件发生的频率,事件发,生的可能性大小,我们,把随机事件,值),是可用数值来度量的.,是客观存在的,以及它的稳定性表明:,3.,概率的频率解释为,从,频率的稳定性及其性质,人,们经过漫长的探索,给出了概率的公理化定,义.,概率提供了经验基础,得到启发和抽象,内容小结,3.,概率的频率解释为,从,频率的稳定性及其性质,人,们经过漫长的探索,给出了概率的公理化定,义.,概率提供了经验基础,得到启发和抽象,内容小结,3.,概率的频率解释为,从,频率的稳定性及其性质,人,们经过漫长的探索,给出了概率的公理化定,义.,概率提供了经验基础,得到启发和抽象,4.,从概率的公理化定义,可推导出概率的重要,性质.,利用这些性质来计算随机事,件的概率,能起到化难为易的作用.,完,
