1、专题研究 1 三角函数的值域与最值1函数 ycos(x )，x 0， 的值域是( ) 6 2A( ， B ， 32 12 12 32C ， D ， 12 32 32 12答案 B解析 x0， ，x ， ，y ， 2 6 6 23 12 322如果|x| ，那么函数 f(x)cos 2xsinx 的最小值是( ) 4A. B2 12 2 12C1 D.1 22答案 D解析 f(x) sin2xsinx 1(sinx )2 ，当 sinx 时，有最小值，y min .12 54 22 24 22 1 223(2018湖南衡阳月考)定义运算： a*b 例如 1*21，则函数 f(x)sinx*cos
2、x 的值域为( )a， a b，b， ab.)A ， B1，122 22C ，1 D 1， 22 22答案 D解析 根据三角函数的周期性，我们只看在一个最小正周期内的情况即可设 x0，2 ，当 x 时，4 54sinxcosx，f(x)cosx，f(x)1， ，当 0xsinx，f(x)sinx ，f(x)0， )22 4 54 221，0 综上知 f(x)的值域为 1， 224(2018河北石家庄一检)若函数 f(x) sin(2x)cos(2x)(00. 6(1)求函数 yf(x)的值域；(2)若 f(x)在区间 ， 上为增函数，求 的最大值32 2答案 (1)1 ，1 (2)3 316解
3、析 (1)f(x)4( cosx sinx)sinxcos2x32 122 sinxcosx2sin 2xcos 2xsin 2x3 sin2x1，3因为1sin2x1，所以函数 yf(x)的值域为1 ，1 3 3(2)因 ysinx 在每个闭区间2k ，2k (kZ )上为增函数，故 f(x) sin2x1(0)在每个闭区间2 2 3 ， (kZ)上为增函数k 4 k 4依题意知 ， ， 对某个 kZ 成立，此时必有 k0，于是 解得32 2 k 4 k 4 32 4，2 4， ) ，故 的最大值为 .16 161(2018湖北重点校联考)已知函数 f(x)sin( 2x) 2sin(x )
4、cos(x )56 4 34(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若 x ， ，且 F(x)4f(x)cos(4x )的最小值是 ，求实数 的值12 3 3 32答案 (1)T ，k ， k (kZ ) (2) 6 3 12解析 (1)f(x)sin( 2x) 2sin(x )cos(x ) cos2x sin2x(sinxcosx)(sinxcosx)56 4 34 12 32 cos2x sin2xsin 2xcos 2x12 32 cos2x sin2xcos2x12 32 sin2x cos2xsin(2x )，T .32 12 6 22由 2k 2x 2k (kZ)得 k xk (kZ)，函数 f(x)的单调递增区间为k ，k 2 6 2 6 3 6 3(kZ)(2)F(x)4f(x)cos(4x )34sin(2x )12sin 2(2x )6 62sin 2(2x )4sin(2x )16 62sin(2x ) 212 2.6x ， ， 02x ， 0sin(2x )1.12 3 6 2 6当 1 时，当且仅当 sin(2x )1 时，F(x) 取得最小值 14 ，由已知得 14 ，解得 ，这与 16 32 58相矛盾综上所述，实数 的值为 .12
