1、第 1 页 共 4 页课题：3.7 三角函数的值域与最值教案编号 020 备课人 罗广志 使用时间三维目标1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法教学重点三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题教学难点三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题教学方法 讲练结合教 学 过 程【基础练习】1.函数 在区间 上的
2、最小值为 1 xycos3sin0,22.函数 的最大值等于 )(21)(Rxf 3.函数 且 的值域是ta)y4x_4.当 时，函数 的最小值为 4 20xxf2sin8co1)(5.已知 k4，则函数 ycos2 x k(cosx1)的最小值是 1 6.若 ，则 的最大值与最小值之和为2cos6in43(,1,)第 2 页 共 4 页_2_【范例解析】例 1.（1）已知 ，求 的最大值与最小值1sin3xy2sincoyx（2）求函数 的最大值coiyx分析：可化为二次函数求最值问题解：（1）由已知得： ， ，1sinsi3yin1,y则 2sin,13x，当 时， 有最小值2co(si)
3、1yxsi2x2sicoyx；当 时， 有最小值 12i2incoy49（2）设 ，则 ，则sincoxt()t21sincotx，当 时， 有最大值为 2ytty1点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围例 2.求函数 的最小值cos(0)inxy分析：利用函数的有界性求解解法一：原式可化为 ，得sic2(0)xx，即 ，21sin()2yx2n()1y故 ，解得 或 （舍） ，所以 的最小值为 2y3yy3解法二： 表示的是点 与 连cos(0)inx(0,2)A(sin,co)Bx线的斜率，其中点 B在左半圆 上，由图像知
4、，当 AB与21ab半圆相切时， 最小，此时 ，所以 的最小值为 y3ABky3点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解第 3 页 共 4 页例 3.已知函数 ， 2()sin3cos24fxxx42，（I）求 的最大值和最小值； f（II）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值()2fxm4x， m范围分析：观察角，单角二次型，降次整理为 形式 sincosaxb解：（） ()1cos2321i3cos2fxx x 12sin3又 ， ，即 ，4x 263x 12sin3x maxmin()3()ff，（） ， ，2()()2ffxfx 4且 ，max
5、()f minf，即 的取值范围是 14 (14)点评：第（）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力例 4扇形 的半径为 1，中心角为 ， 是扇形的内接矩形，AOB60PQRS问 在怎样的位置时，矩形 的面积最大，并求出最大值PPRS分析：引入变量 ，建立目标函数x解：连接 ，设 ，则 ， ，sinxcosOSx3cosinRSx，(i)ssin(2)6xx ABO R S PQ 例 4第 4 页 共 4 页，所以当 时， 在圆弧中心位置， 03x6xPmax36S点评：合理引进参数，利用已知条件，结合图形建立面积与参数之间的函数关系式，这是解题的关键布置作业学案板书设计3.7 三角函数的值域与最值基础练习 例 1 例 2 例 3. 解析 解析 解析反馈演练课后反思1.利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题时要注意变量的取值范围。2.恒成立问题，利用参数分离转化为求最值问题本节课主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力注：1、课题字体：黑体小二加粗2、栏目字体：仿宋四号加粗3、内容字体：宋体小四
