1、 国内首创艾宾智源网络学习法，基于多媒体学习、掌握分析、记忆力测试，量身化解决学生的学习、练习和复习问题！更多学习资料请登陆智源教 育网（www.c ）！三角函数最值或值域的求法三角函数的最值问题是本章的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。类型一：利用 这一有界性求最值。1cossin,x例 1：求函数 的值域。yi2解：由 变形为 ，知 ，则有 ，由xysin21(1)sin21yxy21sinyx，则此函数|sin|x222|()()y03的值域是 ,03y国内首创艾宾智源网络学习法，基于多媒体学习、掌握分析、记忆力测试，量身化解决学生的学习、练习和复习问题！更多学习资料请登陆
2、智源教 育网（www.c ）！类型二： 型。此类型通常可以可化为 求其最xbaycosin 2sinco()yaxbabx值（或值域） 。例 2：求函数 （ ）的最值。)3in()6i(Rx解法 1： ，函数的最大)12sin(4)6sin(2)6cos()sin( xxxxy值为 ，最小值为 。22分析 2：运用公式 sin( ) = sin cos cos sin解法 2： 函数的最大值为 ，最小值为 。xxycos13si3 国内首创艾宾智源网络学习法，基于多媒体学习、掌握分析、记忆力测试，量身化解决学生的学习、练习和复习问题！更多学习资料请登陆智源教 育网（www.c ）！分析 3：观
3、察发现角 与角 的差恰好为 ，故将 看成基本量，将函数化归)3(x)6(x2)6(x为同一角 的函数式。)6(x解法 3： （运用和差化积公式 ）函数的最大值为 ，最小值为 。)4cos()12sin(y )12sin(x22类型三： 型。此类型可化为 在区间)0(sini2acxbay )0(2acbty上的最值问题。1,例 3：求函数 （ ）的最值13coRx分析：转化为一个角的同一种函数 sinx，将问题化归为“二次函数”的最值问题，用配方法。解： 49)23(sinsisin2 xy函数的最大值为 ，最小值为4945国内首创艾宾智源网络学习法，基于多媒体学习、掌握分析、记忆力测试，量身
4、化解决学生的学习、练习和复习问题！更多学习资料请登陆智源教 育网（www.c ）！例 4：求函数 （ ， ）的最大值。1sin3cos2xayRx解： 转化为 配方得：i2x2si3sin2ya4)(sin2y国内首创艾宾智源网络学习法，基于多媒体学习、掌握分析、记忆力测试，量身化解决学生的学习、练习和复习问题！更多学习资料请登陆智源教 育网（www.c ）！当 ，即 时，在 sinx=1，即 时，123a32 )(2zkx13maxy当 时，即 时，在 sinx=1，即 时，a当 ，即 时，在 ，即12a32aax23sin或 时，kx3rcsin )(rczkkx24maxy综上： 2ma
5、x1()332)41(aya类型四： 型。此类型可利用倍角公式、半角公式进行降次、)0(cosinsi2 axbxay整理，再利用辅助角公式求出最值。例 5：求函数 的最值，并求取得最值)247(cosin4i35)(22 xxf时 x 的值。分析：先化简函数，化成一个角的一种函数再由正弦，余弦函数的有界性，同时应注意角度的限定范围。解：由降幂公式和倍角公式，得国内首创艾宾智源网络学习法，基于多媒体学习、掌握分析、记忆力测试，量身化解决学生的学习、练习和复习问题！更多学习资料请登陆智源教 育网（www.c ）！xxxf 2sinco132cos135)( in2)6s(4 ， ，27x4362
6、3x 21)6cos(2x 的最小值为 ，此时 ， 无最大值。()f7)f类型五： 型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：转化为dxcbafosin)(再利用辅助角公式求其最值；利用万能公式求解；采用数形结合法（转化为bxassin斜率问题）求最值。例 6：求函数 的值域。ics2yx解法 1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点 P(cosx, sinx)与定点 Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过 Q 点的直线与单 位圆相切时得斜率便是函数 得最值，由几何知识，incosyx 易求得过 Q 的两切线得斜率分别为 、 。结合图形可知，3此函数的值域是 。3,
7、 xQPyO国内首创艾宾智源网络学习法，基于多媒体学习、掌握分析、记忆力测试，量身化解决学生的学习、练习和复习问题！更多学习资料请登陆智源教 育网（www.c ）！解法 2：将函数 变形为 ， 由sinco2xycosin2yxy2sin()1yx，解得： ，故值域是2|sin()1x()33,解法 3：利用万能公式求解：由万能公式 ， ，代入 得到21sintx2cos1txsinco2xy则有 知：当 ，则 ，满足条件；当 ，由21ty20yt t0y0t， ，故所求函数的值域是 。40 33,解法 4：利用重要不等式求解：由万能公式 ， ，代入 得到21sintx21costxsinco
8、2xy当 时，则 ，满足条件；当 时， ，如果 t 213ty0ty03()ytt0，则 ，此时即有 ；如果 t 0，则231(3)tt，此时有 。综上：此函数的值域是 。21()3()ytt03y3,类型六：含有 的最值问题。解此类型最值问题通常令 ，xxcosincsi与 xtcosin， ，再进一步转化为二次函数在区间上的最值问题。xtosin212t例 7：求函数 的最大值并指出当 x 为何值时，取得最大值。sicsicyxx解法 1： ，当 sin2x = 1，且)4sin(2si1onx，即 ，解得 ，)4sin(2x )(242zkxk)(zkmax2y解法 2：设 t=sinx
9、+cosx，则 )4si(t 2,t )1(cosin2t国内首创艾宾智源网络学习法，基于多媒体学习、掌握分析、记忆力测试，量身化解决学生的学习、练习和复习问题！更多学习资料请登陆智源教 育网（www.c ）！ 1)(2)1(2tty当 时，函数 y 是减函数 ,21,y当 时，函数 y 是增函数 t 即21,21,y 2,1当 时， ，即 ，t cosinx解得， 时， 。)(4zkxmay类型七：形如 或 型函数最值问题。xy2cosin )0,0(sini baxbx构造条件并利用均值不等式求解。例 8：求下列函数的量值并说明当 x 为何值时，取得最值。（1） ； （2） ， ；22ta
10、n4cotyxxysico2)2,0(分析：观察发现可以用重要不等式求其最值。解（1） ， ， 当且仅当2t02tx22tan4ttancot4x，即 时，等号成立， ， ，即当tancoxgrcgkx)(zk时，y 有最小值，最小值为 4，没有最大值。)(zkrtk（2） ，2,sin2x0cos2 ，xy4cosin 4221i(sincos)xx7)3(2)3s(1222当且仅当 时等号成立， 时，显然 ， xcsi 0cos2xx22cssi),0(可得 ，即 ，解 ，x22osin2tgtg()karctgkz当 时， ， ，()karkz742y)2,(93,0y当 ，y 有最大值
11、 ，y 无最小值。2ctx93类型九：条件最值问题。例 9：已知 ，求 的取值范围。sin2siin322sini分析：用函数的思想分析问题，这是已知关于 sin ，sin 的二元条件等式求二元二次函数的值域问题，应消元，把二元变一元，注意自变量的范围。解： ， sisi2i sii23i1sin02国内首创艾宾智源网络学习法，基于多媒体学习、掌握分析、记忆力测试，量身化解决学生的学习、练习和复习问题！更多学习资料请登陆智源教 育网（www.c ）！ 32sin01sini232 解 得 。21)(si21ii2s y 32sin0sin=0 时， ； 时， 。0miny3s94maxy 94i例 10：求函数 的最大值和最小值，并指出当 x 分别为何值时取到最大值和最小x1值。解：定义域为 0x1，可设 且2cos20，22sinco1x )4sin(ci y ， ， 即20434122y当 或 ，即 =0 或 （此时 x=1 或 x=0） ，y=1；当 ，即 时， （此时 ） ， ，1xy当 x=0 或 x=1 时，y 有最小值 1；当 时，y 有最大值 。22评析：利用三角换元法求解此类问题时，要注意所设角的取值范围，要同原函数定义域相一致，尽量恰到好处。
