1、07 三角函数的值域与最值【基础再现】1若 f(x)Asinx 的最大值为 ，则 A 2答案： 2意图：函数 yA sin(x)的最大值与最小值2ysin x，ycosx 在( ， )上值域分别是_；_6 23答案：( ，1 ；( ，112 12意图：正弦、余弦函数求值域3ytanx 在( ， )上的值域为 3 3答案：( ， ) 3 3意图：正切函数求值域4y 的定义域是 ，值域是 cos2xsinx cosx答案：x| xk ，k Z，( ， )4 2 2意图：考察正弦函数与余弦函数复合的函数值域5当 x( ， )时，函数 y2sin(2x )的最大值为 ，最小值为 6 3 6答案：1，2
2、意图：考察函数 yA sin(x )在某区间上的最大值与最小值【典型例题】【例 1】 求函数 y1sinxcos x 的值域答案： ， 12 32变式 1：已知函数 y sinxcosx，x R，当 y 取得最大值时，求自变量 x 的取值集合 3答案：x| x2k ，k Z3变式 2：求 ysin x2sinx cosx3cos x 的值域2 2 解：原函数解析式可化为：y1sin2 x2cos x2sin2xcos2x 2 sin(2x )，2 24可得：2 y 2 2 2变式 3：已知 f(x)sin(2x )sin(2x )2cos 2x，x ， ，求函数 f(x)的最大值6 6 6 2
3、答案：3意图：利用辅助角公式进行化简，最终转化为只含有一个角的三角函数式，体现化归思想【例 2】 求函数 ycos 2xcosx2 的最值解：令 tcosx ，t1，1， 则原函数转化为二次函数 yt 2t2，t1，1，所以当 tcosx 时，y min ，12 94当 tcosx1 时， ymax0变式 1：求函数 ycos 2x2sinx 3 的值域答案：1，3 变式 2：已知 cosxcosy ，求 cosxsin y 的最大值和最小值。13 2解：cosxsin ycosx(1cos y)cos2ycosy (cosy ) ，2 2 23 122 1112-1cosx cosy1， 又
4、-1cosy1，13 cosy1cosxsin2y 的最大值为 ，最小值为 23 49 1112意图：转化为二次函数的形式，本质还是统一角，统一函数名称【例 3】 求函数 y 的值域3sinx 1sinx 2答案：2， 43意图：考察部分分式化简，转化为关于 sinx 的值域问题变式 1：求函数 y 的值域(sinx 1)(sinx 3)sinx 2答案：0， 83意图：本题综合性较强，可针对能力强的学生讲解变式 2：求函数 y 的值域sinxcosx 2答案： ， 【例 4】 求函数 ysinxcos xsinxcosx 的最小值与最大值答案：最小值 ，最大值 112 2意图：考察“知一求二
5、”问题，换元法转化为二次函数【课后强化】1函数 f(x) sinx cosx 的值域为 2答案： ， 3 32函数 y32cos(x )的最大值为_，此时 x_4答案：5， 2 k，kZ43若|x| ，则 f(x)cos 2xsin x 的最小值是 4答案 144函数 y2 1 的最大值是 ，最小值是 sinx 答案：3，325函数 ytan x2tanx3 的值域是 2 答案：2，）6函数 y 的最大值是 12 sinx cosx答案：17y 最大值为 2sinx 1sinx 3答案：748y 的值域为 sin2xsinx1 cosx答案： ，4)129函数 f(x) 的最大值为 ，最小值为
6、 sin4x cos4x sin2xcos2x2 sin2x答案： ，34 1410求函数 y24sinxcos2 x 的最大值和最小值解：y24sinx(12sin 2x)2sin 2x4sin x12(sinx1) 21设 sinx t，1t1，则 y2( t1) 21 t1 时，y 的最小值为 -1, t1 时 y 的最大值为 7.11已知 0， ，且 cos()， ,求 tan 的最大值2 sinsin 2解：由 coscossinsin ，sinsin( sin)sin coscos1sintan 此时 tan 即 tan 的最大值为 12若 cos 2msin 2m20 对 R 恒成立，求实数 m 的取值范围。2 解：由题 1sin 22msin2m20 m(2sin 2)sin 21若 sin1，0 2 恒成立若 sin1，2sin20， m 右边 (1sin 2)112 21 sin 2m 1 213求函数 ysinxcosx sinxcosx 的值域解：设 tsinx+cosx sin(x+ ) ， ，则 sinxcosx . 24 2 2y t t (t1) 1,当 t 时，函数取得最大值为 ；当 t1 时取最小值122 12 12 2 2 12 21.则函数值域为1， .12 2
