1、第三章综合测试(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在以下命题中，不正确的个数为( )|a |b| a b|是 a，b 共线的充要条件；若 ab，则存在唯一的实数 ，使 a b；对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，若 2 2 ，则OP OA OB OC P，A ，B ，C 四点共面；若a，b，c为空间的一个基底，则 ab，bc，ca构成空间的另一个基底；|( ab)c|a| b|c|.A2 个 B3 个C4 个 D5 个答案 C解析 |a| b|ab| a 与
2、 b 的夹角为 ，故是充分不必要条件， 不正确b为非零向量，故不正确2211，故不正确正确不正确2已知ABC， c， b， a，用向量 a，b，c 的数量积的形式表示ABCAB AC BC 为锐角三角形的充要条件是( )Abc0，ac0Bab0，bc0 ，ac 0Cab0Dab0，bc0，ac ，所以60.故二面角ab|a|b| 2058 12l 的大小为 120.7如图所示，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，以 D 为原点建立空间直角坐标系，E为 BB1 的中点， F 为 A1D1 的中点，则下列向量能作为平面 AEF 的一个法向量的是( )A(1，2,4) B(4,1，2)C(2，
3、2,1) D(1,2 ，2)答案 B解析 设平面 AEF 的法向量 n( x，y，z) ，正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，则由题设得 (0,1， )， ( ，0,1)AE 12 AF 12由Error!得Error!取 z2 时，则 x4，y 1，所以 n(4,1，2) 8.如图，在棱长为 3 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M、N 分别是棱 A1B1、A 1D1 的中点，则点 B 到平面 AMN 的距离是( )A. B.92 3C. D2655答案 D解析 以 、 、 为 x 轴，y 轴，z 轴的正向建立直角坐标系，则 M( ，0,3)，AB AD AA1 32N
4、(0，3)，A (0,0,0)，易知平面 AMN 的法向量 n(2,2，1)， (3,0,0) ，32 AB d 2，故选 D.|AB n|n|9如右图所示，正方体 ABCDABC D中，M 是 AB 的中点，则 sin ，DB 的值为( )CM A. B.12 21015C. D.23 1115答案 B解析 以 DA，DC ，DD 所在直线分别为 x，y，z 轴建立直角坐标系 Dxyz，设正方体棱长为 1，则 D(0,0,0)，B (1,1,1)，C (0,1,0)，M(1 ， 0)，则 (1,1,1) ，12 DB (1 ， ，0)，cos ， ，则 sin ， .CM 12 DB CM
5、1515 DB CM 2101510在棱长为 a 的正方体 OABCO ABC中，E、F 分别是棱 AB、BC 上的动点，且 AEBF，则异面直线 AF 与 CE 所成角的大小为( )A锐角 B直角C钝角 D不确定答案 B解析 如图，以 O 为原点建立空间直角坐标系，设 AEBFx，则 A( a,0，a)、F(a x，a,0)、C(0，a，a)、E(a，x,0)， (x，a ，a) ， ( a，xa，a)，A F C E xaa(x a )a 20，A F C E AFC E.11已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 为底面 A1B1C1D1 的中心，若 ，则 的值为( )AE AA
6、1 AB AD A2 B.32C1 D.34答案 C解析 连接 B1D，A 1E，由于 E 为 A1B1C1D1 的中心，则 E 为 B1D1 的中点， ，所以 ，1.AE AA1 A1E AA1 12A1B1 12A1D1 AA1 12AB 12AD 1212在正四棱锥 SABCD 中，O 为顶点 S 在底面的射影，P 为侧棱 SD 的中点，且SOOD，则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是( )A75 B60C45 D30答案 D解析 如图，以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，设SOODOA OBOC a ，则 A(a,0,0)，B(0，a,0) ，C( a,0,0)，S(0,0，a)
7、 ，D(0，a,0)，则 P(0， ， )， (a， a,0)， (a， ， )， ( 2a,0,0)a2 a2 BC AP a2 a2 AC 设平面 PAC 的法向量为 n (x，y，z)，由Error!，可得Error! ，取 y1，则z1，n (0,1,1)设直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 ，则 sin|cos| ，又BC |BC n|BC |n| a2a 2 12直线与平面所成的角的范围为0，90，所以 30.二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，将正确答案填在题中横线上)13已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 的方向向量和法向量，若cos ，则
8、直线 l 与平面 所成角的大小为_12答案 30解析 因为 cos ，所以120，又直线 l 与平面 所成角的范围12为0 ，90，所以所求角的大小为 30.14设|m| 1，|n|2,2mn 与 m3n 垂直，a4m n ，b7m2n，则a，b_.答案 0解析 由于(2mn)(m3n) 0，可得：mn2，则：ab(4mn)(7m2n )18.|a| 6，4m n2|b| 3，7m 2n2cosa，b 1， a，b0.186315边长为 1 的等边三角形 ABC 中，沿 BC 边高线 AD 折起，使得折后二面角BADC 为 60，点 D 到平面 ABC 的距离为_答案 1510解析 如图所示，
9、AD 平面 BCD，AD ，32BDCDBC ，12V ABCD ADSBCD .13又V A BCDV DABC hSABC ，13由等积法可解得 h .151016已知 ABCDA 1B1C1D1 是正方体，有以下命题：( )23 2；A1A A1D1 A1B1 A1B1 ( )0；A1C A1B1 A1A 向量 与向量 的夹角为 60；AD1 A1B 正方体 ABCDA 1B1C1D1 的体积为| |.AB1 AA1 AD 其中正确命题的序号是_答案 解析 由 ， ， 两两垂直易知正确；中， ， A1A A1D1 A1B1 A1B1 A1A AB1 AB1 ，故正确；中， 与 所在直线为
10、异面直线，夹角为 60，但 与 的夹角A1C A1B AD1 AD1 A1B 为 120，故 错；中，设正方体棱长为 a，则| | | |cos45 | a2AB1 AA1 AD AB1 AA1 AD |a 3，故正确AD 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)已知空间四边形 OABC，棱 OA，OB，BC 两两垂直，OAOBBC 1，N 是 OC 的中点，点 M 在 AB 上，且 MNAB，求 AMAB 的值解析 如图所示，设 x，则 x .AMAB AM AB (1x) x ，OM OA OB ( )，ON 12
11、OC 12OB BC MN ON OM (1x) x12OB 12BC OA OB (x1) ( x) .OA 12 OB 12BC 又知 ，MNAB，AB OB OA 所以 0.MN AB 即(x1) ( x) ( )0.OA 12 OB 12BC OA OB 进行向量运算，考虑到 、 、 两两垂直且它们的长度都为 1，运算结果得OA OB BC x1x0.12解得 x .所以 MNAB34.3418(本小题满分 12 分)如图，四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的所有棱长都相等，ACBD O，A 1C1B 1D1 O1，四边形 ACC1A1 和四边形 BDD1B1 均为矩形(1)证明：O
12、 1O底面 ABCD；(2)若CBA 60，求二面角 C1OB 1D 的余弦值解析 (1)证明：四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的所有棱长都相等，四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1 均为菱形ACBDO，A 1C1B 1D1O 1，O，O 1 分别为 BD，B 1D1 中点四边形 ACC1A1 和四边形 BDD1B1 为矩形，OO 1CC 1 BB1 且 CC1AC，BB 1BD，OO 1BD ， OO1AC，又ACBDO 且 AC，BD底面 ABCD，OO 1底面 ABCD.(2)解法 1：过 O1 作 B1O 的垂线交 B1O 于点 E，连接 EO1，EC 1.不妨设四棱柱AB
13、CD A1B1C1D1 的边长为 2a.OO 1底面 ABCD 且底面 ABCD面 A1B1C1D1，OO 1平面 A1B1C1D1，又O 1C1平面 A1B1C1D1，O 1C1OO 1，四边形 A1B1C1D1 为菱形，O 1C1O 1B1，又O 1C1OO 1 且 OO1O 1C1O 1，O 1O，O 1B1平面 OB1D.，O 1C1平面 OB1D，又B 1O平面 OB1D，B 1OO 1C1，又B 1OO 1E 且 O1C1O 1EO 1，O 1C1，O 1E平面 O1EC1，B 1O面 O1EC1，O 1EC1 为二面角 C1OB 1D 的平面角，cosO 1EC1 ，O1EEC1
14、CBA60且四边形 ABCD 为菱形，O 1C1a，B 1O1 a，OO 12a，B 1O a，3 B1O21 OO21 7则 O1EB 1O1sinO 1B1OB 1O1 a a，O1OB1O 3 2a7a 2217再由O 1EC1 的勾股定理可得 EC1 a，O1E2 O1C21127a2 a2 197则 cosO 1EC1 ，O1EEC12217 a197a 25719所以二面角 C1OB 1D 的余弦值为 .25719解法 2：四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的所有棱长都相等，四边形 ABCD 是菱形，ACBD ，又 O1O平面 ABCD，从而 OB、OC、OO 1 两两垂直，以
15、O 为坐标原点，OB、OC、OO 1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，不妨设AB 2，ABC60 ，OB ，OC1，于是各相关点的坐标 O(0,0,0)，B 1( ，0,2)，3 3C1(0,1,2)，易知 n1(0,1,0)为平面 BDD1B1 的一个法向量，设 n2(x，y，z)是平面 OB1C1 的一个法向量，则Error!即Error!取 z ，则 x2，y2 ，3 3n 2(2,2 ， )3 3设二面角 C1OB 1D 的大小为 ，易知 为锐角，cos ，|n1n2|n1|n2| 25719二面角 C1OB 1D 的余弦值为 .2571919(本小题满分 1
16、2 分)如图，在四棱锥 ABCDE 中，平面 ABC平面BCDE， CDEBED 90，ABCD2，DE BE 1，AC .2(1)证明：AC平面 BCDE；(2)求直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值解析 (1)取 CD 中点 G，连结 BG.CDEBED90， BECD.又 CD2，BE1，BE 綊 DG，四边形 DEBG 为矩形，BGDE 1，BGC90又 GC CD1，BC .12 2又 AC ，AB2，2AB 2AC 2 BC2，即 ACBC.又平面 ABC平面 BCDE 且交线为 BC，AC平面 ABC，AC平面 BCDE.(2)解法 1：过点 E 作 EFBC 交 BC 延长线于 F，由(1)知 EFAC，ACBC C，EF平面 ABC，连结 AF，则EAF 即为 AE 与平面 ABC 所成的角由已知得GBC45，EBF45BFEF，又 BE1BFEF ，22在 Rt AFC 中，AC ，2
