1、第二章综合测试(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若抛物线 y28x 上的点 P(x0，y 0)到焦点 F 的距离为 3，则|y 0|等于( )A. B22 2C2 D4答案 B解析 过点 P 作抛物线的准线 l 的垂线，P 1 为垂足，则|PF| PP1|x 0 x 023，所以 x01，于是| y0|2 2 .p2 2x0 22(2015四川理，5)过双曲线 x2 1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线y23的两条渐近线于 A，B 两点，则| AB|( )A.
2、 B2433 3C6 D4 3答案 D解析 双曲线的右焦点为 F(2,0)，过 F 与 x 轴垂直的直线为 x2，渐近线方程为x2 0，将 x2 代入 x2 0 得：y 212，y 2 ，|AB| 4 .选 D.y23 y23 3 33已知椭圆 x2my 21 的离心率 e( ，1) ，则实数 m 的取值范围是( )12A(0， ) B( ，)34 43C(0， )( ，) D( ，1)(1， )34 43 34 43答案 C解析 椭圆 x2my 21 的标准方程为 x2 1. ；当椭圆的焦点在 y 轴上时， a2 ，b 21，则 0 .34 434(2014全国大纲理，6)已知椭圆 C： 1
3、( ab0)的左、右焦点为 F1、F 2，离x2a2 y2b2心率为 ，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若AF 1B 的周长为 4 ，则 C 的方程为( )33 3A. 1 B. y 21x23 y22 x23C. 1 D. 1x212 y28 x212 y24答案 C解析 根据条件可知 ，且 4a4 ，a ，c 1，b2，椭圆的方程为 ca 33 3 3 x231.y225设圆 C 与圆 x2(y 3) 21 外切，与直线 y0 相切，则圆 C 的圆心轨迹为( )A抛物线 B双曲线C椭圆 D圆答案 A解析 动圆圆心 C 到定点(0,3)的距离与到定直线 y1 的距离相等，符合
4、抛物线的定义，故选 A.6设椭圆 C1 的离心率为 ，焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1513的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2 的标准方程为( )A. 1 B. 1x242 y232 x2132 y252C. 1 D. 1x232 y242 x2132 y2122答案 A解析 对于椭圆 C1，长轴长 2a126，a 113，又离心率 e1 ，c 15.c1a1 513由题意知曲线 C2 为双曲线，且与椭圆 C1 同焦点，c 2 5，又 2a28，a 24，b 23，又焦点在 x 轴上，c2 a2曲线 C2 的标准方程为 1.x242 y2327
5、设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2ax(a0) 的焦点 F，且和 y 轴交于点 A.若OAF(O 为坐标原点 )的面积为 4，则抛物线方程为( )Ay 24x By 28xCy 2 4x Dy 28x答案 B解析 抛物线 y2ax (a0)的焦点 F 的坐标是( ，0) ，直线 l 的方程是 y2(x )，a4 a4令 x0，得 y ，即点 A 的坐标为(0 ， )由 | | |4，得 a8，故抛物线的方a2 a2 12a4 a2程为 y28x.8(2015重庆文，9)设双曲线 1(a0，b0)的右焦点是 F，左、右顶点分别是x2a2 y2b2A1，A 2，过 F 作 A1A2 的垂线与
6、双曲线交于 B，C 两点若 A1BA 2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A B12 22C1 D 2答案 C解析 由已知得右焦点 F(c,0)(其中 c2a 2b 2，c0)，A 1(a,0)，A 2(a,0)；B(c， )，b2aC(c， )；从而 A1B (ca， )， (ca， )，又因为 A1BA 2C，所以b2a b2a A2C b2aA1B A2C 0，即(ca)( ca) ( )( )0；化简得到 1 1，即双曲线b2a b2a b2a2 ba的渐进线的斜率为1；故选 C.9已知双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线方程是 y x，它的一个焦点在抛x2a2 y2b2 3物线 y
7、224x 的准线上则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x236 y2108 x29 y227C. 1 D. 1x2108 y236 x227 y29答案 B解析 因为双曲线 1(a0，b0)的一个焦点在抛物线 y224x 的准线上，所x2a2 y2b2以 F(6,0) 是双曲线的左焦点，即 a2b 236，又双曲线的一条渐近线方程是 y x，3所以 .联立，解得 a29，b 227，所以双曲线的方程为 1，故选 B.ba 3 x29 y22710双曲线的虚轴长为 4，离心率 e ，F 1、F 2 分别是它的左，右焦点，若过 F1 的62直线与双曲线的左支交于 A、B 两点，且| AB|是|
8、AF 2|与|BF 2|的等差中项，则|AB|为( )A8 B4 2 2C2 D82答案 A解析 利用双曲线定义，A、B 在左支上，|AF 2| |AF1| 2a，|AF2|BF 2|(|AF 1|BF 1|) 4a，又2| AB| AF2|BF 2|，|AF 1| BF1| AB|，2| AB| AB| 4a，|AB|4a ，而Error!|AB|8 ，选 A.211已知点 F 为抛物线 y28x 的焦点，O 为坐标原点，点 P 是抛物线准线上一动点，点 A 在抛物线上，且|AF|4，则|PA| |PO|的最小值为( )A6 B24 2C2 D4213 5答案 C解析 设点 A 的坐标为(x
9、 1，y 1)，由已知得x 12| AF|4，则x12，y 8x 116，取 y14，得 A(2,4) 设点 O 关于准线 x2 的对称点为 B，则21B(4,0)，连接 AB 交准线于一点，则该点就是满足要求的使 |PA|PO|取得最小值的点 P，此时|AB| 2 ，即 |PA|PO|的最小值为 2 .13 1312已知双曲线 E 的中心为原点，F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A、B两点，且 AB 的中点为 N(12，15)，则 E 的方程为( )A. 1 B. 1x23 y26 x24 y25C. 1 D. 1x26 y23 x25 y24答案 B解析 设双
10、曲线的方程为 1(a0，b0)，由题意知 c3，a 2b 29，设x2a2 y2b2A(x1，y 1)，B (x2，y 2)则有：Error! 两式作差得： ，又 AB 的斜率是y1 y2x1 x2 b2x1 x2a2y1 y2 4b25a21，所以 b2 a2，代入 a2b 29 得，a 24，b 25，所以双曲线标准方程是 15 0 12 3 54 1，故选 B.x24 y25二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，将正确答案填在题中横线上)13(2015浙江理，9)双曲线 y 21 的焦距是_，渐近线方程是_x22答案 2 y x322解析 由题意得：a ，b1，
11、c ，2 a2 b2 2 1 3焦距为 2c2 ，渐近线方程为 y x x.3ba 2214.右图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1米后，水面宽_米答案 2 6解析 本题考查了抛物线的标准方程与数学建模能力设抛物线方程为 x22py ，代入 P(2，2)得 2p2，x 22y，当 y3 时，x26，x ，则此时水面宽为 2 米，建立平面直角坐标系，将实际问题转化为数学6 6问题15已知抛物线 y28x 的准线过双曲线 1(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的x2a2 y2b2离心率为 2，则该双曲线的方程为_答案 x 2 1y23解析 抛物线 y2
12、8x 的准线方程为 x2，则双曲线的一个焦点为(2,0) ，即c2，离心率 e 2.a1，由 a2b 2c 2 得 b23，所以双曲线的方程为 x2 1.ca y2316已知直线 xy m0 与双曲线 x2 1 相交于 A，B 两点，线段 AB 的中点在y22圆 x2y 25 上，则 m_.答案 1解析 由Error!，得 x22mxm 220，设点 A，B 的横坐标分别为 x1，x 2，AB 的中点为( x0，y 0)，则 x0 m ，y 0x 0m2m ，从而 m2(2m) 25，解得 m1.x1 x22三、解答题(本大题共 6 个小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
13、)17(本小题满分 12 分)已知三点 P(5,2)，F 1(6,0) ，F 2(6,0)(1)求以 F1，F 2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；(2)设点 P，F 1，F 2 关于直线 yx 的对称点分别为 P，F 1，F 2，求以 F 1，F 2为焦点过点 P的双曲线的标准方程解析 (1)由题意可设所求椭圆的标准方程为 1(ab0)，则x2a2 y2b2c6,2a| PF1| PF2| 6 ，所以112 22 12 22 5a3 ， b2a 2c 24536 9.5故所求椭圆的标准方程为 1.x245 y29(2)点 P(5,2)，F 1(6,0)，F 2(6,0)关于直线 yx 的
14、对称点分别为 P(2,5) ，F 1(0，6)，F 2(0,6)设所求双曲线的标准方程为 1(a 10，b 10)，由题意知，y2a21 x2b21c16,2a 1|PF 1| PF 2| |4 ，所以22 112 22 12 5a12 ，b c a 36 2016.5 21 21 21故所求双曲线的标准方程为 1.y220 x21618(本小题满分 12 分)已知椭圆 C： y 21 的焦点分别为 F1，F 2，设点 P(x0，y 0)x22满足 0 或 0，可得Error!SPF 1F2 |F1F2| .12 335 33520(本小题满分 12 分)若点 O 和点 F(2,0)分别是双曲
15、线 y 21(a0)的中心和左x2a2焦点，点 P 为双曲线右支上的任意一点，求 的取值范围OP FP 解析 因为 F(2,0)是双曲线的左焦点，所以 a214 ，即 a23，所以双曲线方程为 y 21.设点 P(x0，y 0)(x0 )，则 y 1(x 0 )，解得 y 1( x0 )因为x23 3 x203 20 3 20 x203 3 (x02，y 0)， (x 0， y0)，所以 x 0(x02) y x 0(x02)FP OP OP FP 20 1 2x 01，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x0 .因为 x0 ，所以当x203 4x203 34 3x0 时， 取得最小值 32 1
16、32 ，故 的取值范围是3 OP FP 43 3 3 OP FP 32 ，)321(本小题满分 12 分)已知椭圆 C：x 22y 24.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设 O 为原点，若点 A 在椭圆 C 上，点 B 在直线 y2 上，且 OAOB，试判断直线AB 与圆 x2y 22 的位置关系，并证明你的结论解析 (1)由题意，椭圆 C 的标准方程为 1.x24 y22所以 a24，b 22，从而 c2a 2b 22，因此 a2，c ，2故椭圆 C 的离心率 e .ca 22(2)直线 AB 与圆 x2y 22 相切证明如下：设点 A，B 的坐标分别为( x0，y 0)，( t,2)，其
17、中 x00.因为 OAOB ，所以 0，即 tx02y 00，解得 t .OA OB 2y0x0当 x0t 时，y 0 ，代入椭圆 C 的方程，得 t ，t22 2故直线 AB 的方程为 x .2圆心 O 到直线 AB 的距离 d ，2此时直线 AB 与圆 x2y 22 相切当 x0t 时，直线 AB 的方程为 y2 (xt )，y0 2x0 t即(y 0 2)x(x 0t)y2x 0ty 00.圆心 O 到直线 AB 的距离 d .|2x0 ty0|y0 22 x0 t2又 x 2y 4，t ，20 202y0x0故 d .|2x0 2y20x0|x20 y20 4y20x20 4|4 x2
18、0x0 |x40 8x20 162x20 2此时直线 AB 与圆 x2y 22 相切22(本小题满分 14 分)(2015湖南文，20)已知抛物线 C1：x 24y 的焦点 F 也是椭圆C2： 1(a b0)的一个焦点，C 1 与 C2 的公共弦的长为 2 .过点 F 的直线 l 与 C1 相y2a2 x2b2 6交于 A， B 两点，与 C2 相交于 C，D 两点，且 A 与 B 同向C D (1)求 C2 的方程；(2)若|AC| |BD| ，求直线 l 的斜率解析 (1)由 C1：x 24y 知其焦点 F 的坐标为(0,1)，因为 F 也是椭圆 C2 的一个焦点，所以 a2b 21 ；又
19、 C1 与 C2 的公共弦长为 2 ，C 1 与 C2 都关于 y 轴对称，且 C1 的方程为：x 24y，由6此易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为( ， )， 1，632 94a2 6b2联立得 a29，b 28，故 C2 的方程为 1.y29 x28(2)如图，设 A(x1，y 1)，B(x 2， y2)，C (x3，y 3)，D(x 4，y 4)，因 与 同向，且|AC| | BD|，AC BD 所以 ，从而 x3x 1 x4x 2，即 x3x 4x 1x 2，于是AC BD (x3x 4)24x 3x4( x1x 2)24x 1x2 设直线 l 的斜率为 k，则 l 的方程为 ykx1，由Error!，得 x24kx40，由 x1，x 2 是这个方程的两根，x 1x 24k， x1x24 由Error!，得(98k 2)x216kx 640，而 x3，x 4 是这个方程的两根，x3x 4 ，x 3x4 16k9 8k2 649 8k2将、代入，得 16(k21) .162k29 8k22 4649 8k2即 16(k21) ，1629k2 19 8k22所以(98k 2)2169，解得 k ，64即直线 l 的斜率为64.
