1、本册综合测试（二）时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1对命题“一次函数 f(x)axb 是单调函数”改写错误的是 ( )A所有的一次函数 f(x)axb 都是单调函数B任意一个一次函数 f(x)ax b 都是单调函数C任意一次函数 f(x)ax b，f(x)是单调函数D有的一次函数 f(x)不是单调函数答案 D解析 由全称命题的表示形式可知选项 D 错误2已知命题 p：xR ，使 sinx ；命题 q：xR，都有 x2x10.给出下列结52论：命题“pq”是真命题；命题“p(
2、q)”是假命题；命题“(p)q”是真命题；命题“(p)(q)”是假命题其中正确的是( )A BC D答案 B解析 因为对任意实数 x， |sinx|1，而 sinx 1，所以 p 为假；因为 x2x1052的判别式 3 是方程 1 表示双曲线的 ( )x2k 3 y2k 3A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 若 k3，则方程 1，表示双曲线；若方程 1 表示双曲x2k 3 y2k 3 x2k 3 y2k 3线，则Error!或Error!，解得 k3 或 kcosxC任意 x(0 ，) ，x 2x14Dx 00 ， 使得 sinx0x02答案 C解析
3、本题主要考查全称命题与特称命题真假的判断对于 A 选项：xR，sin 2 cos 2 1，故 A 为假命题；对于 B 选项：存在x xx ，sinx ，cosx ，sin x1)和双曲线 y 21(n0)，P 是它x2m x2n们的一个交点，则PF 1F2 的形状是( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D随 m，n 的变化而变化答案 B解析 由题设得|PF 1|PF 2|2 ，|PF 1|PF 2|2 ，并且 m1n1.所以m n|PF1|2 |PF2|2 2|PF1|PF2|4m ，|PF 1|2| PF2|22| PF1|PF2|4n，则|PF 1|2| PF2|22(m n)4(
4、m 1)|F 1F2|2，所以PF 1F2 为直角三角形12在正四棱锥 SABCD 中，O 为顶点 S 在底面的射影，P 为侧棱 SD 的中点，且SOOD，则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是( )A75 B60C45 D30答案 D解析 如图，以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，设SOODOA OBOC a ，则 A(a，0,0)、B(0，a,0) 、 C(a,0,0)、S(0,0， a)、D(0，a,0)，则 P(0， ， )， ( a，a,0)，a2 a2 BC (a， ， )， ( 2a,0,0)AP a2 a2 AC 设平面 PAC 的法向量为 n (x，y，z)，由Error
5、!，可得Error! ，取 y1，则z1，n (0,1,1)设直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 ，则 sin|cos| ，又BC |BC n|BC |n| a2a 2 12直线与平面所成的角的范围为0，90，所以 30.二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上)13已知 p： 0，q：4 x2 xm0，若 p 是 q 的充分条件，则实数 m 的取值范x 1x围是_答案 m6解析 由 0，即Error! ，得 0 或 0，即 2k2k10 ，解得 k 或 k 时，直线 l 与抛物线没有公共点1220(本小题满分 12 分)如图，四棱柱 ABC
6、DA 1B1C1D1 的所有棱长都相等，ACBD O，A 1C1B 1D1 O1，四边形 ACC1A1 和四边形 BDD1B1 均为矩形(1)证明：O 1O底面 ABCD；(2)若CBA 60，求二面角 C1OB 1D 的余弦值解析 (1)证明：四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的所有棱长都相等，四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1 均为菱形ACBDO，A 1C1B 1D1O 1，O，O 1 分别为 BD，B 1D1 中点四边形 ACC1A1 和四边形 BDD1B1 为矩形，OO 1CC 1 BB1 且 CC1AC，BB 1BD，OO 1BD ， OO1AC，又ACBDO 且 AC，
7、BD底面 ABCD，OO 1底面 ABCD.(2)解法一：过 O1 作 B1O 的垂线交 B1O 于点 E，连接 EO1、EC 1.不妨设四棱柱ABCD A1B1C1D1 的边长为 2a.OO 1底面 ABCD 且底面 ABCD面 A1B1C1D1，OO 1平面 A1B1C1D1，又O 1C1平面 A1B1C1D1，O 1C1OO 1，四边形 A1B1C1D1 为菱形，O 1C1O 1B1，又O 1C1OO 1 且 OO1O 1C1O 1，O 1O，O 1B1平面 OB1D.，O 1C1平面 OB1D，又B 1O平面 OB1D，B 1OO 1C1，又B 1OO 1E 且 O1C1O 1EO 1
8、，O 1C1，O 1E平面 O1EC1，B 1O面 O1EC1，O 1EC1 为二面角 C1OB 1D 的平面角，cosO 1EC1 ，O1EEC1CBA60且四边形 ABCD 为菱形，O 1C1a，B 1O1 a，OO 12a，B 1O a，3 B1O21 OO21 7则 O1EB 1O1sinO 1B1OB 1O1 a a，O1OB1O 3 2a7a 2217再由O 1EC1 的勾股定理可得 EC1 a，O1E2 O1C21127a2 a2 197则 cosO 1EC1 ，O1EEC12217 a197a 25719所以二面角 C1OB 1D 的余弦值为 .25719解法二：四棱柱 ABC
9、DA 1B1C1D1 的所有棱长都相等，四边形 ABCD 是菱形，ACBD ，又 O1O平面 ABCD，从而 OB、OC、OO 1 两两垂直，以 O 为坐标原点，OB、OC、OO 1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，不妨设AB 2，ABC60 ，OB ，OC1，于是各相关点的坐标 O(0,0,0)、B 1( ，0,2)、3 3C1(0,1,2)，易知 n1(0,1,0)为平面 BDD1B1 的一个法向量，设 n2(x，y，z)是平面 OB1C1 的一个法向量，则Error!，即Error!.取 z ，则 x2，y2 ，3 3n 2(2,2 ， )3 3设二面角 C1O
10、B 1D 的大小为 ，易知 为锐角，cos ，|n1n2|n1|n2| 25719二面角 C1OB 1D 的余弦值为 .2571921(本小题满分 12 分)如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AA 1C1C 是边长为 4 的正方形平面 ABC平面 AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA 1平面 ABC；(2)求二面角 A1BC 1B 1 的余弦值；(3)证明：在线段 BC1 上存在点 D，使得 ADA 1B，并求 的值BDBC1解析 (1)因为 AA1C1C 为正方形，所以 AA1AC ，因为平面 ABC平面 AA1C1C，且 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC，所以 AA1平面 ABC.(2)由(1)知 AA1AC，AA 1AB.由题知 AB3，BC5，AC4，所以 ABAC .如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系 Axyz，则 B(0,3,0)、A 1(0,0,4)、B 1(0,3,4)、C1(4,0,4)，
