1、本册综合测试（一）时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1(2015北京西城区高二期末测试) 命题“a、bR，如果 ab，则 a2ab”的否命题是( )Aa、bR，如果 a2ab，则 abBa、bR，如果 a2ab，则 abCa、bR，如果 a2ab，则 abDa、bR，如果 ab，则 a2ab答案 D解析 否命题既否定条件，又否定结论，故原命题的否命题是“a、bR，如果ab，则 a2ab” 2(2015湖南澧县一中高二期中测试) 下列说法中正确的是( )A “x5”是“x3”的
2、必要条件B命题“x R，x 210”的否定是“xR ，x 21 0”CmR，使函数 f(x)x 2mx (xR) 是奇函数D设 p、q 是简单命题，若 pq 是真命题，则 pq 也是真命题答案 B解析 命题“x R，x 210”的否定是“xR ，x 210” ，故选 B.3(2015山东烟台高二期末) 已知 A、B 、C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，下列条件中能确定点 M 与点 A、B、C 一定共面的是( )A. OM OA OB OC B. 2 OM OA OB OC C. OM OA 12OB 13OC D. OM 12OA 13OB 16OC 答案 D解析 若点 M 与点
3、 A、B、C 一定共面，则 x y z 且 xyz1，故OM OA OB OC 选 D.4已知方程 1 表示双曲线，则 k 的取值范围是 ( )x21 k y24 kA14Ck4答案 B解析 由题意，得(1 k)(4k)0，k 4 或 kb”是“(ab) b20”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 B解析 当 a1，b0 时，ab，而( ab)b 20，故 ab (ab)b 20； /当(ab) b20 时，b 20，ab0，a b，故(ab) b20ab，选 B.6(2015河南封丘一中高二期末测试) 以下说法错误的是( )A命题“若 x23x20，
4、则 x1”的逆否命题是“若 x1，则 x23x20”B “x 1”是 “x23x20”的充分不必要条件C若 pq 为假命题，则 p、 q 均为假命题D若命题 p：x 0R，使得 x x 010)，又点 P 在抛物线上，则k24p，|PF| 4 24，即 p4，k4.p29一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别为(1,0,1)、(1,1,0)、(0,1,1)、(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为( )答案 A解析 在空间直角坐标系中画出各点，可见这四点为正四面体的四个顶点，将其置于正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，易得
5、此四面体在 zOx 平面投影图形为 A.10设抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与 C 交于 A, B 两点若|AF|3| BF|，则 l 的方程为( )Ayx1 或 yx 1By (x1)或 y (x1)33 33Cy (x1)或 y (x1)3 3Dy (x1)或 y (x1)22 22答案 C解析 由抛物线方程 y24 x 知焦点 F(1,0)，准线 x1 ，设直线 l：xmy 1，代入y24x 中消去 x 得，y 24my40.由根与系数的关系得，y 1y 24m ，y 1y24，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y10y2，|AF| 3|BF|
6、， y 13y 2，由Error!，解得 y2 ， y12 .23 3m ，y1 y24 33直线 l 的方程为 x y1.33由对称性知，这样的直线有两条即 y (x1)311椭圆 C： 1 的左、右顶点分别为 A1、A 2，点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的x24 y23取值范围是2，1，那么直线 PA1 斜率的取值范围是 ( )A ， B ， 12 34 38 34C ，1 D ，112 34答案 B解析 如图：直线 A2M 的方程为 y(x2) ，即 y2x，代入椭圆方程 1 中消去 y 得，7x 216x40，x24 y232x ，x ，M 点坐标为( ， )167 27 27
7、 127同理可得 N 点坐标为( ， )2619 2419KA 1M ，KA 1N ，12727 2 3424192619 2 38直线 PA1 斜率的取值范围是 ， 38 3412在三棱锥 PABC 中，ABBC ，AB BC PA，点 O、D 分别是 AC、PC 的中12点，OP 底面 ABC，则直线 OD 与平面 PBC 所成角的正弦值为( )A. B.216 833C. D.21060 21030答案 D解析 OP 平面 ABC，OAOC，ABBC，OAOB ，OAOP，OBOP.以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.设 ABa，则 A( a,0,0)、B(0， a,
8、0)、C( a,0,0)22 22 22设 OPh，则 P(0,0，h)，PA2a，h a.142 ( a,0， a)OD 24 144由条件可以求得平面 PBC 的法向量 n(1,1， )，77cos ，n .OD OD n|OD |n| 21030设 OD 与平面 PBC 所成的角为 ，则 sin|cos ，n | .OD 21030二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上)13(2015江苏阜宁中学高二期中测试) 已知双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线x2a2 y2b2为 y x，则此双曲线的离心率为_34答案 54解析 由题意知 ， ，
9、ba 34 b2a2 916 ，e 2 ，e .c2 a2a2 916 2516 5414已知在空间四边形 OABC 中， a、 b、 c，点 M 在 OA 上，且OA OB OC OM3 MA，N 为 BC 中点，用 a、b、c 表示 ，则 等于_MN MN 答案 a b c34 12 12解析 显然 ( ) b c a.MN ON OM 12OB OC 34OA 12 12 3415(2015江苏阜宁中学高二期中测试) 若双曲线 1 的一个焦点与抛物线x2m y2m 2y28x 的焦点相同，则实数 m_.答案 1解析 抛物线 y28x 的焦点坐标为(2,0) ，双曲线 1 的一个焦点为(2
10、,0)，x2m y2m 2a 2m，b 2m2，c 2 2m24，m1.16过二面角 l 内一点 P 作 PA 于 A，作 PB 于 B，若PA 5，PB8，AB7，则二面角 l 的度数为_答案 120解析 设 a， b，由条件知|a|5，| b|8，| |7，PA PB AB AB 2| |2|ba| 2AB |b |2 |a|22a b64252ab49，ab20，cosa，b ，ab|a|b| 12a，b60，二面角 l 为 120.三、解答题(本大题共 6 个大题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)(2015江苏阜宁中学高二期中测试)已知
11、命题 p：“方程 x2a 11 表示焦点在 y 轴上的椭圆” ；命题 q：“xR ，使得 x2(a1)x10，a 22a30，a3 或 a|PF2|，求 的值|PF1|PF2|解析 (1)设椭圆 C 的标准方程为 1.x2a2 y2b2由题意得 c2，b2 ， a4.3故椭圆 C 的标准方程为 1，离心率 e .x216 y212 ca 12(2)当点 P 为短轴的一个端点时，F 1PO30，F 1PF260.故不论点 P 在椭圆 C 上的任何位置时， F 1PF290.|PF 1|PF2|，PF 2F190.|PF 2| 3.b2a 124又|PF 1| PF2|2a8，|PF 1| 5，
12、.|PF1|PF2| 5319(本小题满分 12 分)四棱锥 PABCD 中，PC 平面 ABCD，PC2，在四边形ABCD 中， CBABCD 90，AB4，CD1，点 M 在 PB 上，且 PB4PM，PB 与平面 ABC 成 30角(1)求证：CM平面 PAD；(2)求证：平面 PAB平面 PAD.证明 如图所示，建立空间直角坐标系 Cxyz .(1)PC平面 ABCD，PBC 为 PB 与平面 ABC 所成的角，PBC30.|PC | 2，|BC|2 ，3|PB| 4，得 D(0,1,0)、B(2 ，0,0，)、A(2 ，4,0)、P(0,0,2)，3 3又|PB| 4|PM|， |P
13、M |1， M( ，0， )，32 32 ( ，0， )、 (0，1,2) 、 (2 ，3,0)，CM 32 32 DP DA 3设 ，CM DP DA 则 2 ，3 0,2 ，332 32 ， ，即 ，34 14 CM 34DP 14DA 、 、 共面CM DP DA C平面 PAD，CM平面 PAD.(2)作 BEPA 于 E，|PB |AB|4，E 为 PA 的中点， E( ， 2,1)，3 ( ，2,1) BE 3 ( ，2,1)(2 ，3,0)0，BE DA 3 3 ( ，2,1)(0，1,2) 0，BE DP 3BEDA ，又 BEDP，BE平面 PAD，由于 BE平面 PAB，则
14、平面 PAB平面PAD.20(本小题满分 12 分)(2015湖南澧县一中高二期中测试)如图，四边形 ABCD 是正方形，四边形 BDEF 是矩形，AB 2BF，DE 平面 ABCD.(1)求证：CF平面 ADE；(2)求二面角 CEF B 的余弦值解析 (1)四边形 ABCD 是正方形，ADBC.又四边形 BDEF 是矩形，BF DE .又BCBF B，BC平面 BCF，BF平面 BCF，AD 平面 ADE，DE平面ADE，平面 BCF平面 ADE，又CF平面 BCF，CF平面 ADE.(2)建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz.设 ABa，则 BF ，则 B(a，a,0)、a2C(a,0
15、,0)、E (0,0， )、F(a， a， )a2 a2 (a,0， )、 (0 ，a， )、 ( a，a， )、 (0,0， )CE a2 CF a2 BE a2 BF a2设平面 CEF 的一个法向量为 n1(x 1，y 1，z 1)，平面 BEF 的一个法向量为n2( x2， y2，z 2)则Error!，Error!.即Error!， Error!，解得Error!，Error!.n 1(1,1,2)，n 2(1,1,0)cosn 1，n 2 .n1n2|n1|n2| 223 33二面角 CEFB 的余弦值是 .3321(本小题满分 12 分)设双曲线 C： y 21( a0)与直线
16、l：x y1 相交于两个不x2a2同的点 A、B .(1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围；(2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且 ，求 a 的值PA 512PB 解析 (1)由 C 与 l 相交于两个不同的点，故知方程组Error! ，有两组不同的实数解，消去 y 并整理得 (1a 2)x22 a2x2a 20.所以Error!，解得 0 ，且 e ，262 2即离心率 e 的取值范围为( ， )( ，)62 2 2(2)设 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)、P (0,1)， ，(x 1，y 11) (x2，y 21)PA 512PB 512由此得 x1 x2，由于 x1、x 2 都是方程的根，且 1a 20，所以512x2 ， x .1712 2a21 a2 5122 2a21 a2消去 x2 得， .2a21 a2 28960由 a0，所以 a .171322(本小题满分 14 分)(2014天津理，17)如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD， ADAB，ABDC，AD DCAP2，AB1，点 E 为棱 PC 的中点
