1、第三章综合测试 A时间 120 分钟，满分 150 分一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题有 4 个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1若向量 a 与 b 不共线，ab0，且 ca b，则 a 与 c 的夹角为( )(aaab)A0 B6C. D3 2答案 D解析 ac|a| 2 (ab)(aaab)|a |2 aa0，ab.2对于任意向量 a(a 1，a 2，a 3)，b(b 1，b 2，b 3)，给出下面两个命题：a b ；a1b1 a2b2 a3b3若 a1a 2a 31，则 a 为单位向量其中正确命题的个数为( )A0 B1C
2、2 D3答案 A解析 由 a b 但 ab/ ；若 a1a 2a 31，则a1b1 a2b2 a3b3 a1b1 a2b2 a3b3|a| ， 都不正确故选 A.33与向量(3，4,5)共线的单位向量是( )A( ， ， )和( ， ， )3210 4210 22 3210 4210 22B( ， ， )3210 4210 22C( ， ， )3210 4210 22D( ， ， )和( ， ， )3210 4210 22 3210 4210 22答案 A解析 所求的单位向量 e 与 (3，4,5)方向相同或相反，且|e|1，求得( ， ， )和( ， ， )3210 4210 22 3210
3、 4210 224若直线 l 与平面 所成的角为 ，直线 a 在平面 内，且与直线 l 异面，则直线 l 与3直线 a 所成的角的取值范围是( )A0， B ， 23 3 23C ， D ， 2 23 3 2答案 D解析 由定理知直线 l 与直线 a 所成的最小角为 .又 l，a 为异面直线，则所成角的最3大值为 .25(2013淄博模拟)已知空间四边形 ABCD 中，M，G 分别为 BC，CD 的中点，则 ( )等于( )AB 12BD BC A. BAG CG C. DBC 12BC 答案 A解析 如图所示：( ) ， .12BD BC BG AB BG AG 6已知 ABCD 是四面体，
4、O 为BCD 内一点，且 ( )，则 是 OAO 13AB AC AD AO 为BCD 的重心的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案 C解析 用向量的运算法则，充要条件的概念来判定7已知向量 a(8，x)，b (x,1,2)，其中 x0.若 ab，则 x 的值为( )x2A8 B4C2 D0答案 B解析 ab存在 R 使 ab(8，x)( x，2 )Error!Error!x28如图，正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，AA 12AB .则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为( )A. B15 25C. D35 45答案 D解析 用坐标
5、法求向量夹角9已知向量 n(1,0，1)与平面 垂直，且 经过点 A(2,3,1)，则点 P(4,3,2)到 的距离为( )A. B32 22C. D2322答案 B解析 (2,0，1)，又 n 与 垂直，所以 P 到 的距离为PA ，故选 B.| 2，0， 11，0， 1|12 12 12 2210在 60的二面角的一个面内有一个点，它到棱的距离是 8，那么它到另一个面的距离是( )A. B23 3C3 D43 3答案 D解析 设二面 l 为 60， 内一点为 A，过 A 作 AB 于 B，AOl 于 O，连OB，则 OBl ，AOB60 ，AB8sin604 .311已知 A，B，C 三点
6、不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，下列条件中能确定点 M与点 A， B，C 一定共面的是 ( )A. OM OA OB OC B. 2 OM OA OB OC C. OM OA 12OB 13OC D. OM 13OA 13OB 13OC 答案 D解析 选项 D 中的三个系数和： 1，故 M 与点 A，B，C 一定共面13 13 1312如图，P 是边长为 a 的正六边形 ABCDEF 平面外一点，PAAB，PAAF，为求P 与 CD 的距离作 PQCD 于 Q，则( )AQ 为 CD 的中点BQ 与 D 重合CQ 与 C 重合D以上都不对答案 C解析 连 AC，则 ACCD，由三垂线定
7、理知 PCCD ，Q 与 C 重合故选 C.二、填空题(本大题共 4 个小题，每空 4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上)13三个平面两两垂直，它们交于一点 O，空间一点 P 到三个面的距离分别为 ，2和 2 ，则 PO_.3 5答案 5解析 PO 5. 22 32 25214已知 a(2，1,2)，b(2,2,1)，则以 a、b 为邻边的平行四边形的面积为_答案 65解析 因为|a| b|，所以平行四边形为菱形又 ab(4,1,3)，ab(0， 3,1)，|ab| ，|ab| ，26 10S |a b|ab| .12 12 26 10 6515给出命题：在ABCD 中， ；在ABC
8、 中，若 0，则AB AD AC AB AC ABC 是锐角三角形；在梯形 ABCD 中，E、F 分别是两腰 BC、DA 的中点，则 ( )；在空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、DA 的中点，则 (FE 12AB DC FE 12 )以上命题中，正确命题的序号是_AB DC 答案 解析 满足向量运算的平行四边形法则，正确； | | |cosA0 A90，但B、C 无法确定，ABC 是否是锐角三角AB AC AB AC 形无法确定，错误；符合梯形中位线，正确；如图： ； 2 2( )2 ，则DC DA AC DC AB DA AB AC DA AE FA AE FE ( )FE
9、12AB DC 16正ABC 边长为 a，ADBC 于点 D，沿 AD 把ABC 折起来使BDC90，这时点 B 到 AC 的距离是_答案 a74解析 过 D 作 DHAC 于 H，连 BH，则 DH a， BH a.34 a22 34a2 74三、解答题(本大题共 6 个大题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 中，AB 1，AD 2 ，AA 13，BAD90 ，BAA 1DAA 160，求 AC1 的长解析 ，AC1 AB AD AA1 | |2( )2AC1 AB AD AA1 2 2 22 2 2 A
10、B AD AA1 AB AD AB AA1 AD AA1 12 23 22| | |cos ， 2| | |cos ， AB AD AB AD AB AA1 AB AA1 2| | |cos ， 14212cos902 13cos60223cos60AD AA1 AD AA1 23，| | ，即 AC1 .AC1 23 2318(本小题满分 12 分)在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别为 DD1和 BB1 的中点(1)求证：AEC 1F 是平行四边形；(2)求 AE 和 AF 之间的夹角的余弦值；(3)求四边形 AEC1F 的面积解析 (1)证明：如下图，以 D
11、A，DC ，DD 1 所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则 A(a,0,0)，E(0,0， )，F( a，a， )，C 1(0，a，a) a2 a2 (a,0， )， (a,0， )AE a2 FC1 a2 ， AEC1F 为平行四边形AE FC1 (2)解：由 (0，a， )，AF a2得 cos ， .AE AF AE AF |AE |AF | 15(3)解：由(2)知 sinEAF .256SAEC 1F| | |sinEAF a2.AE AF 6219(本小题满分 12 分)已知空间四边形 OABC，棱 OA，OB，BC 互相垂直，OAOBBC 1，N 是 OC 的中点，点 M
12、在 AB 上，且 MNAB，求 AMAB 的值解析 如图所示，设 x，则 x .AMAB AM AB (1x) x ，OM OA OB ( )，ON 12OC 12OB BC MN ON OM (1x) x12OB 12BC OA OB (x1) ( x) .OA 12 OB 12BC 又知 ，MNAB，AB OB OA 所以 0.MN AB 即(x1) ( x) ( )0.OA 12 OB 12BC OA OB 进行向量运算，考虑到 、 、 互相垂直且它们的长度都为 1，运算结果得OA OB BC x1x0.12解得 x .34所以 MNAB 34.20(本小题满分 12 分)如图，设动点
13、P 在棱长为 1 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 的对角线 BD1 上，记 ，当 APC 为钝角时，求 的取值范围D1PD1B解析 以 ， ， 为单位正交基底，建立空间直角坐标系 Dxyz，则有 A(1,0,0)，DA DC DD1 B(1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，从而 (1,1，1) ， (1,0，1)， (0,1 ，1)，D1B D1A D1C (， ，)，D1P D1B (， ， )(1,0，1)PA PD1 D1A (1，1)， (，1，1)，PC PD1 D1C 显然APC 不是平角，所以APC 为钝角等价于 0，PA PC 即(1)(1)(1) 2
14、(1)(31)0，解得 1，13因此 的取值范围是 ( ，1). 1321(本小题满分 12 分)已知三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABAC，PAACAB，N 为 AB 上一点，AB4AN ，M，S 分别为 PB，BC 的中点12(1)证明：CMSN ；(2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小解析 以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设 PA1，则 P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0 ， )，N( ，0,0)，S(1 ，0)12 12 12(1) (1 ， 1， )， ( ， ，0)，CM 12 SN 12 12因为 00，CM SN 1
15、2 12所以 ，所以 CMSN.CM SN (2)易得 ( ，1,0)，设 n(x，y，z)为平面 CMN 的一个法向量，NC 12则Error!得Error!，取 x2，则 y1，z2，n(2,1， 2)因为|cosn， | ，SN |nSN |n|SN | 22所以 SN 与平面 CMN 所成角的大小为 45.22(本小题满分 14 分)如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AA 1C1C 是边长为 4 的正方形平面 ABC平面 AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA 1平面 ABC；(2)求二面角 A1BC 1B 1 的余弦值；(3)证明：在线段 BC1 上存在点 D，使得
16、ADA 1B，并求 的值BDBC1解析 (1)因为 AA1C1C 为正方形，所以 AA1AC ，因为平面 ABC平面 AA1C1C，且 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC，所以 AA1平面 ABC.(2)由(1)知 AA1AC，AA 1AB.由题知 AB3，BC5，AC4，所以 ABAC .如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系 Axyz，则 B(0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C1(4,0,4)，设平面 A1BC1 的法向量为 n (x，y，z)，则Error!即Error!令 z3，则 x0，y 4，所以 n(0,4,3)同理可得，平面 B1BC1 的法向量为 m(3,4,0)，所以 cosn， m .nm|n|m| 1625由题知二面角 A1BC 1B 1 为锐角，所以二面角 A1BC 1B 1 的余弦值为 .1625(3)设 D(x，y， z)是直线 BC1 上一点，且 .BD BC1 所以(x， y3，z)(4，3,4)解得 x4，y33 ，z4.所以 (4 ，33，4 )AD 由 0，即 925 0，AD A1B 解得 .925因为 0,1，所以在线段 BC1 上存在点 D，使得 ADA 1B.925此时， .BDBC1 925
