1、第 2 章 推理与证明 (A)(时间：120 分钟 满分：160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分)1下列推理过程是类比推理的是_人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为12科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼通过检测溶液的 pH 值得出溶液的酸碱性由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数2观察式子：1 0，有 f(x2)f(x 1)f .(x1 x22 )17(14 分) 已知 a0，b0，ab1，求证： 2.a 12 b 1218(16 分) 如图所示，ABC 是正三角形，AE 和 CD 都垂直于平面 ABC，且AE AB2a，CDa，F 是 BE 的
2、中点(1)求证：DF 平面 ABC；(2)求证：AFBD.19(16 分) 设二次函数 f(x)ax 2bx c (a0)中的 a，b，c 均为整数，且 f(0)，f(1)均为奇数，求证：方程 f(x)0 无整数根20(16 分) 观察下表：1，2,3，4,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，问：(1)此表第 n 行的最后一个数是多少？(2)此表第 n 行的各个数之和是多少？(3)2 008 是第几行的第几个数？第 2 章 推理与证明(A)答案121 0，有 f(x2)f (x1)x x (x 2x 1)(x x 1x2x )32 31 2 21(x 2x 1) 2，(1x
3、1 1)(1x2 1) ( 2x1 x2 1)事实上，00.x1 x221 x1 x2x1x2x1 x22 2，(1x1 1)(1x2 1) ( 2x1 x2 1)即有 lg lg 2，(1x1 1)(1x2 1) ( 2x1 x2 1)故 f(x1)f( x2)f .12 (x1 x22 )17证明 1ab2 ，ab .ab14 (ab) ab 1.12 14 1.(a 12)(b 12)从而有 22 4.(a 12)(b 12)即 2 4.(a 12) (b 12) (a 12)(b 12) 24.(a 12 b 12) 2.a 12 b 1218证明 (1)取 AB 的中点 G，连结 F
4、G，CG，可得 FGAE，FG AE，12又 CD平面 ABC，AE平面 ABC，CDAE ，CD AE，12FGCD，FGCD.又FG平面 ABC，四边形 CDFG 是矩形，DFCG，CG平面 ABC，DF平面 ABC，DF 平面 ABC.(2)RtABE 中，AE2a，AB2a，F 为 BE 的中点，AF BE，ABC 是正三角形，CGAB ，DFAB ，又 DFFG ，FGABG，DF平面 ABE，DFAF，又DFBEF，AF平面 BDF，又 BD平面 BDF，AFBD.19证明 假设方程 f(x)0 有一个整数根 k，则 ak2bkc 0.因为 f(0)c，f(1) abc 均为奇数，
5、所以 ab 必为偶数，当 k 为偶数时，令 k2n (nZ)，则 ak2bkc 4n2a2nb c2n(2nab) c 必为奇数，与式矛盾；当 k 为奇数时，令 k2n1 (nZ)，则 ak2bkc (2n1)(2naab)c 为一奇数与一偶数乘积加上一个奇数，必为奇数，也与式矛盾，故假设不成立综上可知方程 f(x)0 无整数根20解 (1)由表知，从第二行起，每行的第一个数为偶数，所以第 n1 行的第一个数为 2n，所以第 n 行的最后一个数为 2n1.(2)由(1)知第 n1 行的最后一个数为 2n1 1，第 n 行的第一个数为 2n1 ，第 n 行的最后一个数为 2n1.又由观察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等差数列求和公式得，Sn 2 2n3 2 2n2 2 n2 .2n 12n 1 2n 12(3)因为 2101 024,2112 048，又第 11 行最后一个数为 21112 047，所以 2 008 是在第 11 行中，由等差数列的通项公式得，2 0081 024 (n1)1，所以 n985，所以 2 008是第 11 行的第 985 个数
